Oi, Srgio,
Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na
resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio
sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-)
Ficou ENOORME Espero que te
ajuda... e que o majordomo no me "cape"...
0) No fundo no fundo, um "par de eixos" um
belo artifcio para modelar inmeros objetos ou situaes em matemtica
(e fsica, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro
exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo voc falou pelo menos em 3
abstraes: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar...
1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano,
usando os dois eixos como "referenciais" (como poderamos estar
interessados em posicionar um ponto na Terra, atravs da longitude e
latitude; ou a posio de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai,
claro, que dois nmeros (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem
adequadamente esta situao.
Ento conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par
de nmeros e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem
depois - , que a reta e os reais so amiguinhos). Veja que,
concretamente, um ponto (uma abstrao geomtrica) no tem NADA,
absolutamente NADA que haver com um par de nmeros (outra abstrao),
mas esta "identificao" nos pemite trabalhar em dois "ambientes"
diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de
nmeros a um conjunto de pontos do plano (que no fundo uma figura -
ou seja, um objeto da geometria)
Portanto, associamos pares de nmeros a figura da geometria plana.
2) Vejamos, agora outra associao. Dada uma "relao real - uma equao ou inequao"
envolvendo duas variveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar
que ela verdadeira para vrios pares de nmeros x e y e como j
pensamos em pares de nmeros reais h pouco, poderamos ento imaginar
que o conjunto soluo desta "relao" identificvel com um conjunto
de pontos do plano... Ento, olha que genial: conseguimos (viva
Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura
geomtrica) a uma equao (uma outra abstrao)... Da, "olhamos"
para a equao x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma
circunferncia. No brbaro a naturalidade com que fazemos isto sem
muitas vezes perceber a brutal abstrao envolvida ? Ah, adoraria que
todos os profesores do mundo percebessem como isto um novo paradigma
para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a srie (agora 8a e 9a)... No a toa
que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e no
consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria
analitica... Foram maltratados l no
incio... e tambm no fim :-)
.
3) Vetorzinhos da Fsica...
A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua
direo, sentido e mdulo. Bem, ai adoraramos que as setinhas nos
ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direo e sentido...). Mas
uma setinha de um ponto A a um ponto B NO um vetor. Verdade que
outras setinhas tambm podem ter o mesmo mdulo direo e sentido e
ento um vetor identificado com o conjunto das setinhas bl, bl, bl
(ta uma boa oportunidade para falar em relaes de equivalncia -
entre setinhas, etc, etc)
Ento, podemos imaginar que til pr caramba representar um vetor de
tal mdulo, direo e sentido por uma setinha na origem de um sistema
de eixos (ortogonais). A, d para perceber que suas projees sobre
os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha
anterior... (um pulo do gato!).
Ento ficou interessante identificarmos um vetor por um par de nmeros
que representam suas projees sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal
par de numeros seria (tambm) o ponto extremidade da setinha de origem
na origem e que o representa Depois, o professor de Fsica nos
ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois
descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores
que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que til imaginar
que estamos somando e subtraindo pares de nmeros reais pois isto
MUITO til para a Fsica
Ento, os pares de nmeros que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade.
Quando imaginamso que os pares de nmeros representam vetores do plano
(suas componentes) j botamos as manguinas de fora e estamos somando e
subtarindo pares de nmeros reais PORQUE TILpelo menos pros
nossos vetorzinhos...
Mas ai (para no me alongar quase
infinitamente...) a Fsica vem com o papo que interessante calcular
a projeo de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por
exemplo, onde u1 e v1 so as projees de u e v sobre Ox e u2 e v2
sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer |u|.
cos alfa, onde alfa o ngulo entre u e v... e esta conta d u1.v1 +
u2.v2 que a Fsica (e ns tambm) adoramos chamar de produto escalar
de dois vetores(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto).
Ento, os tadinhos dos pares de pontos que comearam apenas sendo uma
forma til de localizar pontos no plano, alm de j terem sido
"somados" e