Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
a) Você pode simplesmente fazer a divisão dos polinômios e deduzir o que deve ocorrer para que o resto nunca tenha um grau menor que m. b) Você pode usar d divide. a^m -1 | a^n - 1 a^m -1 | a ^(n-m) . (a^m -1) Aí você consegue eliminar o a^n e fica com outro expoente. Repita sucessivamente e chegue a conclusão... c) a^m -1 | a^n - 1 == m.d.c.(a^m-1;a^n - 1) = a^m - 1 para a b m.d.c (a,b) = m.d.c(b,r) onde a = qb+r e 0=rb. Você pode usar para polinõmios e considerar a b como grau de P1(x) grau de P2(x). Tente desenvolver. Bons estudos. Em 11/12/12, Tiagohit0...@gmail.com escreveu: Em geral, quando a gente quer mostrar que um número divide outro, uma boa dica é: divida um pelo outro e mostre que o resto é 0. Ou seja, suponha q e r, com r menor que m tais que n = qm + r e use que a^m - 1 divide a^n - 1 para concluir que r = 0. 2012/12/11 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com Date: Tue, 11 Dec 2012 16:40:31 +0100 Subject: Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Use congruências. Tem algum lado que você consegue fazer? 2012/12/11 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.commailto:pauloarg...@outlook.com Caros Colegas, Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n? (a, m e n são inteiros positivos.) Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com ___ Olá, Tiago ( e demais colegas) Minha dificuldade é provar que a condição é necessária, ou seja: se a^m - 1 divide a^n - 1, então m divide n. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
Observemos que a^n - 1 = (a - 1)(1 + a...+ a^(n - 1)). Suponhamos que m divida n. Então, n = km para algum inteiro positivo k. Logo, a^n - 1 = a^(km) - 1 = ((a^m))^k - 1 = (a^m - 1) (1 + a^m ... + ...(a^m)^(k - 1)). Como no parênteses da direita do segundo membro as parcelas são todas inteiras, fica demonstrado que a^m - 1 divide a^n - 1. Suponhamos agora que m não divida n. Existem então um inteiro positivo k e um inteiro 0 r m tais que n = km + r. Assim, a^n - 1 = a^(km + r) - 1 = a^r a^(km) - 1 = a^r a^(km) - a^r + a^r - 1= a^r[a^(km) - 1] + a^r - 1. Como m divide km, segue-se da conclusão anterior que a^m - 1 divide a^(km) - 1, havendo assim um inteiro positivo c tal que a^(km) - 1 = c(a^m - 1). Temos portanto que a^n - 1 = c a^r (a^m - 1) + a^r - 1. ca^r é inteiro. E como r m, a^r - 1 a^m - 1. Da igualdade acima concluímos então que a^m - 1 não divide a^n - 1. A recíproca fica assim demonstrada por contraposição. Abraços Artur Costa Steiner Em 11/12/2012, às 13:19, Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com escreveu: Caros Colegas, Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n? (a, m e n são inteiros positivos.) Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
Caros Colegas, Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n? (a, m e n são inteiros positivos.) Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
Use congruências. Tem algum lado que você consegue fazer? 2012/12/11 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com Caros Colegas, Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n? (a, m e n são inteiros positivos.) Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
RE: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
Date: Tue, 11 Dec 2012 16:40:31 +0100 Subject: Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Use congruências. Tem algum lado que você consegue fazer? 2012/12/11 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.commailto:pauloarg...@outlook.com Caros Colegas, Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n? (a, m e n são inteiros positivos.) Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com ___ Olá, Tiago ( e demais colegas) Minha dificuldade é provar que a condição é necessária, ou seja: se a^m - 1 divide a^n - 1, então m divide n. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
