[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de distância. Só para conferir Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a distância entre eles seria: 5, isso é correto? Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1. Agradeço sua explicação Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil 2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/4 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito
de
distância.
Oi Julio,
Só para conferir
Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?
Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é
1.
Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em distância de A até B e distância de B até A, cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o r valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)
Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
mais longe do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a distância de
A até B é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.
Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a distância de A até B como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância = a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a distância de B até A é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.
Agora, de volta ao problema:
Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a distância entre x e A (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A - B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = distância
de A até B, e h(A,B) = max{d(A - B), d(B - A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na bola em volta de A de raio r. (bola
em volta de A = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).
Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
Oi Samuel,
Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?
Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)
suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C)
Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?
Obrigado
Julio Saldaña
-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 2 Apr 2011 00:58:01 +
Asunto : [obm-l] conjuntos, difícil
Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.
Compactos de M e defina a distância por:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y
em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Provar que (K(M) é espaço métrico).
i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer).
ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.
Agora vem o problemático (para mim)
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M).
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
Obrigado.
__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] conjuntos, difícil
Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.
Compactos de M e defina a distância por:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y
em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Provar que (K(M) é espaço métrico).
i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer).
ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.
Agora vem o problemático (para mim)
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M).
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
Obrigado.
