[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
De fato, se o intervalo fechado contiver um aberto que contenha o ponto em questao, entao nao faz qualquer diferenca. Eu acho que o uso de intervalos abertos na definicao de limite eh para garantir que o intervalo, ao conter a, contenha pontos do dominio de f aa direita e aa esquerda de a, caso existam. Artur Eu nao entendi esse argumento. De fato, acho que nao se usa um intervalo fechado apenas porque um tal intervalo pode ser degenerado, ou seja, consistir de um unico ponto (mais precisamente, um intervalo fechado pode degenerar num conjunto unitario). No caso do limite de f(x) quando x - a, o importante eh excluir o a da nossa analise, ou seja, estamos interessados nos valores de f(x) com x proximo de a e diferente de a, e isso pode ser feito tambem com um intervalko fechado (nao-degenerado). Alem disso, todo intervalo fechado e nao-degenerado de centro em a e raio epsilon contem um intervalo aberto centrado em a (de raio epsilon/2, por exemplo). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Title: Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6 on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f. Seja S = a + b + c + d + e + f. Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000. Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos: S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864. De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c). Suponhamos que S = 86. Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 == delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==. S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d). Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50 e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53 d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55 c*(70 - c) = 549 == c = 9 ou c = 61 b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65 a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66 Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20. Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria? []s, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha
caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha
recebido este seu e-mail.
Artur
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas
sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em
intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e
se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi,
Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para
garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que
x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser
possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem
funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma
infinidade de possibilidaes.
2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
parte ele fala sobre ser
importante perceber que (delta) depende de
(épsilon), não percebi isso e
além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
deva depender também do
(delta)...
Vc primeiro estavbelece arbitrariamente o valor de
epsilon. Para este
epsilon, vc tem que encontra um delta que satisfaca
aa definicao de limite.
De modo geral, o delta depende do epsilon o do valor
de a no qual se avalia
o limite. Isto eh, de modo geral, o valor de delta
associadao a um epsilon
que funciona para um dado a nao funciona para todos
os pontos de acumulacao
do dominio da funcao. Por exemplo, a funcao f(x) =
x^2 apreenta limite em
todo os elementos de R (eh continua), mas, fixado
eps, a escolha do delta
sempre vai depender de x. ja para a funcao
identidade f(x) = x eh possivel,
para um mesmo eps, achar um delta que funcione para
todos o reais x. Isto
esta ligado ao conceito de continuidade uniforme.
3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
não entendi aquela do
livro do iezzi por redução ao absurdo...
(observação: sei o que é redução ao
absurdo mais não entendi uma parte do
desenvolvimento).
Ele provavelmente fez algo deste tipo: Suponhamos
que, em um ponto a, f
apresente limites distintos L1 e L2. Seja r = |L1
-L2|/2. Entao, r0 e os
intervalos abertos I1 e I2, de raio r e centros em
L1 e L2, nao se
intesectam. Pela definicao de limite, existem reais
positivos d1 e d2 tais
que, f(x) estah em I1 se x estiver no dominio de f
e 0|x-a| d1, e f(x
estah em I2 se x estiver no dominio de f e 0|x-a|
d2. Temos entao que d =
minimo{d1, d2} eh positivo e que, se x estiver no
dominio de f e 0|x-a| d,
entao f(x) estah em I1 e f(x) estah em I2. Isto
signfica que I1 e I2 contem
em comum o elemento f(x), contrariamente aa
conclusao anterior de que sao
disjuntos. Logo, o limite de f em um ponto de
acumulacao de seu dominio, se
existir, eh unico.
Artur
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor
de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Eu fiz assim Montadas as equações a(b+c+d+e+f)= 264 b(a+c+d+e+f)= 325 c(a+b+d+e+f)= 549 d(a+b+c+e+f)= 825 e(a+b+c+d+f)= 901 f(a+b+c+d+e)= 1000 Primeiro perceber que 901 é igual a 17 X 53 e esses dois são primos ou seja... e(a+b+c+d+f)= 901 ou a letra ( e ) é igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa... bem com isso vou tentar descobrir quem é a letra ( f )... vou pegar essa equação f(a+b+c+d+e)= 1000 da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17) e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 então = (a+b+c+d+f) = 53 ou seja: (a+b+c+d) = 53 f Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 f +e)= 1000, mas nessa suposição o ( e ) é igual a 17 então f(53 f +17) = 1000. Pronto mas agora você já pode perceber que se você invertese quem era 17 e 53 você chegaria na mesma expressão! Seria bem assim f(17 f + 53) = 1000 que é a mesma coisa... resultado interesante... Você vai tentar com as outrasincognitas e vai achar equações do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando você calcular as raízes de( f )você vai achar 50 e 20. e(a+b+c+d+f)= 901 olha bem essa... se o( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equações do segundo grau todas as possíveis raízes são positivas, só para você nãopensar que as raízes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro). Você já sabe que aincognita ( e ) é 17. Masas outrasincognitas todas com exceção da letra( f )tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a( f )perde uma de suas raízes...Você sabe todas raízes menos a( f ). Masachar a ( f ) é fácil,(a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja( f )só pode ser 20. O resultado que ele quer é a soma de todas as raízes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70. Resposta letra D Legal sua resolução Cláudio, Obrigado. Alguém por favor, me ajude nas dúvidas de limites. Atenciosamente André Sento Sé Barreto Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f.Seja S = a + b + c + d + e + f.Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000.Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos:S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864.De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c).Suponhamos que S = 86.Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 ==delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==.S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d).Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55c*(70 - c) = 54! 9 == c = 9 ou c = 61b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20.Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria?[]s,Claudio. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha recebido este seu e-mail. Artur Nao existe a mais leve razao para pedir desculpas! O outro Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Title: Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6 on 08.11.04 11:34, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu fiz assim Montadas as equações a(b+c+d+e+f)= 264 b(a+c+d+e+f)= 325 c(a+b+d+e+f)= 549 d(a+b+c+e+f)= 825 e(a+b+c+d+f)= 901 f(a+b+c+d+e)= 1000 Primeiro perceber que 901 é igual a 17 X 53 e esses dois são primos ou seja... e(a+b+c+d+f)= 901 *** Nesse ponto, voce poderia ter arriscado a conjectura de que: e = 17, a + b + c + d + f = 53 == soma = 70 Dai era soh testar os outros casos, ou seja, verificar se as raizes de: a(70 - a) = 264, b(70 - b) = 325, etc. eram inteiras, da mesma forma que na minha solucao. Voce teria descoberto que sim e que, alem disso, a soma das menores raizes da cada equacao era, de fato, igual a 70. Repare que voce descobre nao soh a soma dos numeros, mas o valor de dada um deles. []s, Claudio. ou a letra ( e ) é igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa... bem com isso vou tentar descobrir quem é a letra ( f )... vou pegar essa equação f(a+b+c+d+e)= 1000 da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17) e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 então = (a+b+c+d+f) = 53 ou seja: (a+b+c+d) = 53 f Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 f +e)= 1000, mas nessa suposição o ( e ) é igual a 17 então f(53 f +17) = 1000. Pronto mas agora você já pode perceber que se você invertese quem era 17 e 53 você chegaria na mesma expressão! Seria bem assim f(17 f + 53) = 1000 que é a mesma coisa... resultado interesante... Você vai tentar com as outras incognitas e vai achar equações do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando você calcular as raízes de ( f ) você vai achar 50 e 20. e(a+b+c+d+f)= 901 olha bem essa... se o ( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equações do segundo grau todas as possíveis raízes são positivas, só para você não pensar que as raízes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro). Você já sabe que a incognita ( e ) é 17. Mas as outras incognitas todas com exceção da letra ( f ) tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a ( f ) perde uma de suas raízes... Você sabe todas raízes menos a ( f ). Mas achar a ( f ) é fácil, (a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja ( f ) só pode ser 20. O resultado que ele quer é a soma de todas as raízes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70. Resposta letra D Legal sua resolução Cláudio, Obrigado. Alguém por favor, me ajude nas dúvidas de limites. Atenciosamente André Sento Sé Barreto Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f. Seja S = a + b + c + d + e + f. Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000. Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos: S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864. De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c). Suponhamos que S = 86. Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 == delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==. S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d). Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50 e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53 d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55 c*(70 - c) = 54! 9 == c = 9 ou c = 61 b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65 a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66 Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20. Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria? []s, Claudio. Yahoo! Acesso Grátis http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
on 08.11.04 09:58, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma infinidade de possibilidaes.
Eu nao entendi esse argumento. De fato, acho que nao se usa um intervalo
fechado apenas porque um tal intervalo pode ser degenerado, ou seja,
consistir de um unico ponto (mais precisamente, um intervalo fechado pode
degenerar num conjunto unitario). No caso do limite de f(x) quando x - a, o
importante eh excluir o a da nossa analise, ou seja, estamos interessados
nos valores de f(x) com x proximo de a e diferente de a, e isso pode ser
feito tambem com um intervalko fechado (nao-degenerado).
Alem disso, todo intervalo fechado e nao-degenerado de centro em a e raio
epsilon contem um intervalo aberto centrado em a (de raio epsilon/2, por
exemplo).
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas sobre Limites e mostrar uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em intervalo aberto. Por que em intervalo aberto?Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número reala seja f uma função definida para xE I - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática Elementar).
2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa parte ele fala sobre ser importante perceberque (delta) depende de (épsilon), não percebi isso e além de nãoperceber não vejo porque o (épsilon) não deva depender também do (delta)...
3) A demonstração do teorema da unicidade do limite, não entendi aquela do livro do iezzi por redução ao absurdo... (observação: sei o que é redução ao absurdo mais não entendi uma partedo desenvolvimento).
E essa é a questão legal...
Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale?
a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86
Obrigado anstes de tudo!!!
Atenciosamente
André Sento Sé Barreto
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