[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN: PQ+QN = PN então AC/2+BD/2=0.5 AC+BD=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!! __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade Triangular
Faltou um detalhe ai no enunciado,não? From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
PN = 0.5,certo? Interessante a solução! From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500 Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN: PQ+QN = PN então AC/2+BD/2=0.5 AC+BD=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!! __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
é verdade, PN=0,5 obrigado pela correção Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 14:17:16 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular PN = 0.5,certo? Interessante a solução! From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500 Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN: PQ+QN = PN então AC/2+BD/2=0.5 AC+BD=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!! __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade Triangular
Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
RE: [obm-l] Desigualdade Triangular
Considerando que o raio e um, temos que ac =1 Alem Disso bd maximo eh o diametro []s Joao From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
[obm-l] desigualdade triangular
Sauda¸c~oes, Hah algum tempo pediram para demonstrar que |b-c| a |b+c| . Usando o resultado -1 cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc 1 vem: -2bc b^2 + c^2 - a^2 2bc (bc 0)b^2 + c^2 - 2bc a^2 b^2 + c^2 +2bc(b-c)^2 a^2 (b+c)^2 |b-c| a |b+c| qed []'s Luìs _ Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search GRÁTIS! http://desktop.msn.com.br/
Re: [obm-l] Desigualdade triangular
Se a, b e c são medidas dos lados de um triângulo, então existem x, y e z tais que a=y + z, b=x + z e c=x + y ( basta examinar os segmentos determinados sobre os lados pela circunferência inscrita). A parte 2 sai fácil! Piola. - Original Message - From: Raul To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 24, 2003 12:35 PM Subject: [obm-l] Desigualdade triangular Esta estava na Olimpíada da Unicamp: "Seja a, b e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove que: 3/2 ou= (a/(b+c)) + (b/(a+c)) + (c/(a+b)) ou= 2." Aguardo boas soluções. Obrigado. Raul
RE: [obm-l] Desigualdade triangular
Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando!Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma outra forma de analisarmos a desigualdade do lado esquerdo, tomando porbase a mesma ideia apresentada pelo Marcio, eh considerarmos o problema deProgramacao LinearMinimizar F(a,b,c)= a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c), sujeito a a+b+c=p e a,b,c0.Conforme o Marcio mostrou, f(x) = x(p-x) tem segunda derivada(em x)positiva, sendo assim convexa. Isto acarreta que F seja convexa na regiaopositiva de R^3 {(a,b,c) em R^3 | a,b,c0} (isto porque o Hessiano - matrizdas segundas derivadas parciais - de funcoes separaveis como F eh uma matrizdiagonal na qual os termos da diagonal principal sao as derivadas segundasdas funcoes de uma variavel que compoem F. Como tais derivadas saopositivas, os autovalores do Hessiano sao positivos e a matriz eh postivadefinida.) Utilizando os multiplicadores de Lagrange, temos pela simetria deF que se a=b=c entao as condicoes de otimalidade de primeira ordem saosatisfeitas. E como a funcao eh convexa, as condicoes de segunda ordem -Hessiano positivo definido - nos mostram que em tais pontos ocorre um minimorelativo que, no caso, eh global. E como p eh arbitrario, concluimos que aexpressao dada eh sempre maior que 3/2 (valor obtido fazendo-se a=b =c) paraa,b,c0. Observemos que nesta analise nao consideramos as desigualdades triangulares.Mas, ao inclui-las, nada muda, pois as mesmas sao automaticamente atendidasquando a=b=c (pois existem triangulos equilateros!). Na linguagem daProgramacao Matematica, tais restricoes sao ditas redundantes, isto eh, ainclusao das mesmas nao "corta fora" a solucao otima. Uma observacao interessante eh que 2 eh de fato o supremo da expressaoapresentada quando consideramos as desigualdades triangulares. Para vermosisto, fixemos a e b em , digamos, 1. Fazendo-se c tender a zero peladireita, as duas primeiras parcelas da expressao tornam-se arbitrariamenteproximas de 1, ao passo que a ultima tende para zero. Logo, podemos tornar aexpressao tao proxima de 2 quanto desejarmos. O supremo 2, entretanto,jamais e igualado. Mo membro da direita, a desigualdade eh, na realidade,estrita (a menos que se considerem triangulos degenerados em segmentos dereta, o que equivale a desigualdades triangulares do tipo a= b+c). Um abraco a todosArtur Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho inclusive que fui eu quemcolocou a duvida na epoca..Para o lado direito: Pela desigualdade triangular, a (b+c). Isso apenas nao basta, mas sevc somar b+c, a+b+c 2(b+c), donde b+c p (semiperimetro).Logo, a/(b+c) a/p, e somando as desigualdades correspondentes aos outrostermos, vc ve que da a/p+b/p+c/p = 2. Uma solucao alternativa é você multiplicar todo mundo pelo denominadorcomum e passar para o mesmo lado.. desenvolvendo, vc logo conclui adesigualdade (usando que a-b-c 0, ou mais precisamente, que a^2 (a-b-c) 0).Para o lado esquerdo: Esse lado valemesmo supondo apenas qa,b,c sejam positivos:Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu nao fiz, mas acreditoque tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao f(x) = x/(p-x) =p/(p-x) - 1. f''(x) 0, logo ela tem concavidade paracima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p tem-se:[f(a)+f(b)+f(c)]/3 = f [ (a+b+c)/3 ]Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) = 3 * [ (1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] =3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja, a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) =3/2 Isso pode soar pouco natural a principio, mas eh apenas uma aplicacao deuma conhecida desigualdade para fcs convexas (Jensen), que eh inclusivebastante intuitiva. A idéia de fazer a+b+c = p tmb ajuda em diversosproblemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e, multiplicar todas asvariaveis por um real r 0 nao muda a cara do problema). ATTACHMENT part 2 application/ms-tnef name=winmail.dat Yahoo! Mail
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RE: [obm-l] Desigualdade triangular
Qual seria entao outra
alternativa caro Dirichlet ?
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: Tuesday, May 27, 2003 8:47
AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
triangular
Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar
faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando!
Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma outra forma de analisarmos a desigualdade do lado esquerdo, tomando
por
base a mesma ideia apresentada pelo Marcio, eh considerarmos o problema de
Programacao Linear
Minimizar F(a,b,c)= a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c), sujeito a
a+b+c=p e a,b,c0.
Conforme o Marcio mostrou, f(x) = x(p-x) tem segunda derivada(em x)
positiva, sendo assim convexa. Isto acarreta que F seja convexa na regiao
positiva de R^3 {(a,b,c) em R^3 | a,b,c0} (isto porque o Hessiano - matriz
das segundas derivadas parciais - de funcoes separaveis como F eh uma matriz
diagonal na qual os termos da diagonal principal sao as derivadas segundas
das funcoes de uma variavel que compoem F. Como tais derivadas sao
positivas, os autovalores do Hessiano sao positivos e a matriz eh postiva
definida.) Utilizando os multiplicadores de Lagrange, temos pela simetria de
F que se a=b=c entao ! as condicoes de otimalidade de primeira ordem sao
satisfeitas. E como a funcao eh convexa, as condicoes de segunda ordem -
Hessiano positivo definido - nos mostram que em tais pontos ocorre um minimo
relativo que, no caso, eh global. E como p eh arbitrario, concluimos que a
expressao dada eh sempre maior que 3/2 (valor obtido fazendo-se a=b =c) para
a,b,c0.
Observemos que nesta analise nao consideramos as desigualdades triangulares.
Mas, ao inclui-las, nada muda, pois as mesmas sao automaticamente atendidas
quando a=b=c (pois existem triangulos equilateros!). Na linguagem da
Programacao Matematica, tais restricoes sao ditas redundantes, isto eh, a
inclusao das mesmas nao corta fora a solucao otima.
Uma observacao interessante eh que 2 eh de fato o supremo da expressao
apresentada quando consideramos as desigualdades triangulares. Para vermos
isto, fixemos a e b em , digamos, 1. Fazendo-se c tender a zero pela
direita, as du! as primeiras parcelas da expressao tornam-se arbitrariamente
proximas de 1, ao passo que a ultima tende para zero. Logo, podemos tornar a
expressao tao proxima de 2 quanto desejarmos. O supremo 2, entretanto,
jamais e igualado. Mo membro da direita, a desigualdade eh, na realidade,
estrita (a menos que se considerem triangulos degenerados em segmentos de
reta, o que equivale a desigualdades triangulares do tipo a= b+c).
Um abraco a todos
Artur
Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho inclusive que fui eu quem
colocou a duvida na epoca..
Para o lado direito:
Pela desigualdade triangular, a (b+c). Isso apenas nao
basta, mas se
vc somar b+c, a+b+c 2(b+c), donde b+c p (semiperimetro).
Logo, a/(b+c) a/p, e somando as desigualdades correspondentes aos
outros
termos, vc ve que da a/p+b/p+c/p = 2.
Uma solucao alternativa é você multiplicar todo mundo pe! lo
denominador
comum e passar para o mesmo lado.. desenvolvendo, vc logo conclui a
desigualdade (usando que a-b-c 0, ou mais precisamente, que a^2 (a-b-c)
0).
Para o lado esquerdo:
Esse lado valemesmo supondo apenas qa,b,c sejam
positivos:
Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu nao fiz, mas acredito
que tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao
f(x) = x/(p-x) =p/(p-x) - 1. f''(x) 0, logo ela tem concavidade para
cima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p tem-se:
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 = f [ (a+b+c)/3 ]
Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) = 3 * [ (1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] =
3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja,
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) =3/2
Isso pode soar pouco natural a principio, mas eh apenas uma
aplicacao de
uma conhecida desigualdade para fcs convexas (Jensen), que eh inclusive
bastante i! ntuitiva. A idéia de fazer a+b+c = p tmb ajuda em diversos
problemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e, multiplicar todas as
variaveis por um real r 0 nao muda a cara do problema).
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Re: [RE: [obm-l] Desigualdade triangular]
Leandro Lacorte Recôva [EMAIL PROTECTED] wrote: - Attachment: MIME Type: multipart/alternative - Qual seria entao outra alternativa caro Dirichlet ? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Tuesday, May 27, 2003 8:47 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Desigualdade triangular Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando! Tudo bem...hehehe! Ma usar Lagrange naum eh complicar, eh apenas um outro processo. Eu tenho a tendencia de ver as coisas um pouco por este prisma, porque trabalho com modelos de otimizacao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] desigualdade triangular
Aproveito esta oportunidade para propor alguns exercícios de desiguladade triangular e agradecer aqueles que me ajudaram em meu ultimo e-mail. Obrigado. 1- O segmento que une um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado opsto é maior que a metade do excesso da soma dos outros dois lados sobre o primeiro. Provar. 2-ABC é um triângulo no qual o lado AB é maior que o lado AC e AM é a mediana relativa ao lado BC. Demonstrar que o ângulo BMA é maior que o ângulo AMC e que o ângulo BAM é menor que o ângulo CAM.
