Re: [obm-l] limite de sin(n)^n
Caros Salvador et al,
Essa serie converge sim, mas nao e' muito facil provar. A minha solucao
usa o fato de pi ser diofantino (o que tem a ver com a linha que o Salvador
sugeriu - a ideia principal e' que aproximacoes racionais boas nao sao
frequentes demais): de fato, para todo racional p/q com q suficientemente
grande, |pi-p/q|1/q^24, como esta' provado no livro Pi and the AGM : a
study in analytic number theory and computational complexity, de Jonathan
M. Borwein e Peter B. Borwein (parece que o primeiro resultado desse tipo se
deve a Mahler, com 1/q^42 em vez de 1/q^24, e o melhor conhecido e' algo
como 1/q^14,65, provado por Chudnovsky e Chudnovsky). Vamos la':
Primeiro note que se n e' grande e |2/pi-m/n| d 1/n entao
|pi-2n/m| d.n.pi/m 5d, donde 5d 1/m^24, e logo d 1/n^25. Sabemos,
pelo teorema de Dirichlet, que para todo inteiro positivo N, existem q com
1=q=N e p inteiros com |2.q/pi-p|1/N. O fato acima mostra que devemos ter
necessarimente q N^(1/24). Vamos agora usar argumentos da prova de que se
x e' irracional entao nx(mod 1) e' uniformemente distribuida para tentar
estimar o tamanho do conjunto dos n tais que 2n/pi esta' perigosamente perto
de algum inteiro (como o Salvador sugeriu):
Dado k inteiro, existem inteiros positivos p e q=2^(k/72) tais que
|2.q/pi-p|1/2^(k/72) (e, alem disso, |2.q/pi-p| 1/q^24=1/2^(k/3)). Assim,
se n percorre os termos de uma PA de razao q contida em [1,2^k],
n.2/pi(mod 1) percorre uma PA (mod 1, i.e., no circulo) com razao entre
1/2^(k/3) e 1/2^(k/72). Como o numero de termos de uma tal PA de valores de
n e' essencialmente n/q=2^(71k/72)1/2^(k/3), n.2/pi (mod 1) da' no maximo
(2^k/q)/2^(k/72) voltas no circulo, e portanto o numero de valores de n em
uma tal PA com |2.n/pi-r|1/2^(k/3) para algum inteiro r e' no maximo
2.(2^k/q)/2^(k/72) (pois em cada volta passamos no maximo duas vezes perto
do 0), donde, como temos q tais PA's (uma para cada classe de conguencia
mod. q), o numero total de tais n com n=2^k e' limitado por 2.2^(71k/72)
2^(72k/73). Assim, em particular, existem no maximo 2^(72k/73) valores de
n com 2^(k-1)=n=2^k tais que |2.n/pi-r|1/2^(k/3). A soma de
(1/n).((2+sen(n))/3)^n para esses n e' limitada pela soma de 1/n para
esses n, que e' no maximo 2^(72k/73).1/2^(k-1)=2/2^(k/73) 1/2^(k/74).
Para os outros valores de n entre 2^(k-1) e 2^k, temos
|n-r.pi/2|=(pi/2)/2^(k/3)1/2^(k/3), e logo,
como sen(pi/2+d) = 1-d^2/3 se d e' suficientemente pequeno,
(1/n).((2+sen(n))/3)^n=(1/2^(k-1)).(1-1/(3.2^(2k/3)))^(2^(k-1))
(1/2^(k-1)).e^(-2^(k-1)/(3.2^(2k/3))) = (1/2^(k-1)).e^(-2^(k/3))/6), e
logo sua soma para esses n e' no maximo 2^(k-1).(1/2^(k-1)).e^(-2^(k/3))/6) =
= e^(-2^(k/3))/6) 1/2^k.
Assim, a soma os termos da nossa serie com 2^(k-1)=n 2^k e' no maximo
1/2^(k/74)+1/2^k 1/2^(k/75), cuja serie em k converge, o que prova a
convergencia da serie original.
Abracos,
Gugu
Caro Gugu,
Desculpe incomoda-lo com isso, mas queria saber se voce pensou sobre a
convergencia daquela soma, onde aparecia
((2+sin(x))/3)^n
Eu estou pensando em algo um pouquinho mais simples,
soma de |sin(n)|^n e acho que isto esta ligado ao
--
n
seguinte problema:
Pegue todos os pares (n,m) tais que |2/pi*n-m|1/(n^0.5) (*)
O que se pode dizer da soma do inverso dos n que satisfazem (*) ?
Desculpe se te incomodo com isso.
Um abraco,
Salvador
Oi Cláudio!
Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor copiou
mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era trivial)
Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
ainda não encontraram a solução.
A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que você,
e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
questão de seqüências equidistribuídas.
Ele não me parece tão difícil, o que você acha?
Abraço, Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Pessoal!
E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
Abraço, Duda.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] limite de sin(n)^n
Caro Claudio, Essa problema eh f... Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n tal que |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a: |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh irracional, se existirem convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn, entao, |2/pi.qn-(1+4kn)|1/qn. Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei se eh verdade. Vamos supor que existem infinitos convergentes tais que pn == 1 mod 4. Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que sin(qn) eh aprox. igual a (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n. Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece que vai a 1. Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a hipotese sobre os convergentes eh verdade, mas parece que esse limite nao existe. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] limite de sin(n)^n
Oi Salvador, Voce tem toda razao: limsup(sen(n)^n)=1. De fato, pelo menos um entre cada dois p_n consecutivos e' impar (segue de p_(-1)=1, p_(n+2)=p_n (mod p_(n+1)). Assim, se p_n e' impar e p_(n+1) e' par entao p_(n+2) e' impar. Agora, se p_n e' impar mas e' 3 mod 4 entao 3.p_(n+1) e' 3 mod 4 e |2/pi-(3.p_n)/(3.q_n)|= =|2/pi-p_n/q_n|1/(q_n)^2, e logo |3.q_n-(3.p_n).pi/2|3.pi/(2.q_n), e voce pode concluir do mesmo jeito. Para quem nao sabe direito do que a gente esta' falando, leiam meu artiguinho sobre fracoes continuas na Eureka 3... Abracos, Gugu P.S.: Acho que da' para mostrar tambem que o liminf e' -1, mas certamente para a maioria dos valores de n a sequencia fica bem perto de 0... Quoting Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED]: Caro Claudio, Essa problema eh f... Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n tal que |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a: |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh irracional, se existirem convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn, entao, |2/pi.qn-(1+4kn)|1/qn. Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei se eh verdade. Vamos supor que existem infinitos convergentes tais que pn == 1 mod 4. Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que sin(qn) eh aprox. igual a (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n. Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece que vai a 1. Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a hipotese sobre os convergentes eh verdade, mas parece que esse limite nao existe. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] limite de sin(n)^n
on 23.10.03 19:07, Salvador Addas Zanata at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Claudio, Essa problema eh f... Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n tal que |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a: |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh irracional, se existirem convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn, entao, |2/pi.qn-(1+4kn)|1/qn. Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei se eh verdade. Vamos supor que existem infinitos convergentes tais que pn == 1 mod 4. Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que sin(qn) eh aprox. igual a (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n. Oi, Salvado: Vejamos se eu entendi: |(2/pi)*qn - pn| 1/qn == |qn - (pi/2)*pn| (pi/2)/qn == (pi/2)*pn - (pi/2)/qn qn (pi/2)*pn + (pi/2)/qn == E ja que estes 3 numeros sao bem proximos uns dos outros, os seus senos tambem serao. Mas como pn == 1 (mod 4), os senos dos numeros das extremidades sao ambos iguais a cos((pi/2)/qn) ~ 1 - (pi^2/8)/qn^2. Logo, sen(qn) ~ 1 - c/qn^2, onde c eh uma constante que nao depende de n. Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece que vai a 1. Concordo. Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a hipotese sobre os convergentes eh verdade, mas parece que esse limite nao existe. Realmente, a rigor o argumento acima nao prova nada mas me parece uma bela evidencia a favor da sua conclusao. Alias, serah que isso quer dizer que os valores de aderencia de sen^n(n) sao apenas 1 e 0 (e talvez -1)? Agora, supondo que esse seja o caso, o que podemos dizer sobre a serie: SOMA(n=1) sen^n(n)/n? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
