[obm-l] prob
Olá bom dia mestres, poderiam ajudar com a seguinte questão? *Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que 10?* *a) 312* *b) 449* *c) 455* *d) 412* *e) 378* -- Silas Gruta -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] prob
C15,3 - somaC(i+3-1,3) (i=6 a 9)=C15,3-C11,3-C(10,3)-C(9,3)-C(8,3) 2014-12-06 9:34 GMT-02:00 Silas Gruta silasgr...@gmail.com: Olá bom dia mestres, poderiam ajudar com a seguinte questão? *Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que 10?* *a) 312* *b) 449* *c) 455* *d) 412* *e) 378* -- Silas Gruta -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Oi Bernardo, Na realidade eu pensei em usar a formula do perímetro, mas aí cairia novamente em calculos (não sei se da para analisar sem meter a mão na massa). De qqer forma, vou tentar mais um pouco. Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Tem a relação de áreas abaixo : S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R x^2c/4R abc/4R x^2 ab mas ainda não vejo como usá-laalém disso, de pitágoras, podemos, tb, tirar o resultado : 2x^2= c^2 a^2+b^2=c^2 x^2 = (a^2+b^2)/2 x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2) 2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) a+b 2a^2+2b^2a^2+2ab+b^2 a^2-2ab+b20 (a-b)^20 Isto é sempre verdade, exceto para a=b. Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Rapaz, que discussão sadia e legal, extremamente didática ao mesmo tempo em que há um tom de pesquisa. Armas são levantadas, de maneira que surja a descoberta! Olha pessoal, essas últimas discussões estão exatamente às voltas de onde parei, daí decidi postar na lista. Maximizar a soma de lados, dado que a soma dos quadrados desses lados é constante, nunca pensei que fosse tão complicado (me refiro ao nível de discussão desta lista) sem o uso de trigonometria (pois são alunos do 9º ano). 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Tem a relação de áreas abaixo : S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R x^2c/4R abc/4R x^2 ab mas ainda não vejo como usá-laalém disso, de pitágoras, podemos, tb, tirar o resultado : 2x^2= c^2 a^2+b^2=c^2 x^2 = (a^2+b^2)/2 x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2) 2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) a+b 2a^2+2b^2a^2+2ab+b^2 a^2-2ab+b20 (a-b)^20 Isto é sempre verdade, exceto para a=b. Abs Felipe --- Em *ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com* escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brhttp://br.mc657.mail.yahoo.com/mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são fixos, podemos escrever a=(c/senC)senA b=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e segue a+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado sai analogamente, sem construções geométricas, já que basta maximizar/minimizar cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do produto. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer ! E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito ! grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa um eterno fã das construções geométricas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Você sabia que o Hotmail mudou? Clique e descubra as novidades. http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema Prático
Claro, Hugo! Sem querer, imaginei que a segunda camisinha foi retirada para que a primeira fosse recolocada. Bom feriado. PC 2009/9/4 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com Caro Paulo César. Não estará se expondo ao risco ao realizar a inversão da camisinha inicialmente deixada de lado porque neste momento ele ainda está usando a primeira que teria colocado. Tiago. Um pouco mais de bom humor numa sexta véspera de feriado não lhe faria nenhum mal. Abraços. Hugo. 2009/9/4 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Mas ao inverter a posição da camisinha inicialmente usada, não estará o homem expondo-se ao risco? Vamos supor que a primeira camisinha (a que ficou por cima da outra) tenha um lado A e um lado B. O lado B entra em contato com a primeira Prima, ao passo que o lado A fica limpo. Ao mudar de posição para usá-la com a terceira entrevistada do Superpop, o lado B entrará em contato direto com o homem. Ou será que estou errado? De qualquer forma, o problema é bem interessante. Mas tem sempre alguém (que provavelmente não conhece as nobres meretrizes) pra reclamar. Abraço PC 2009/9/4 tiago lucas gouveia tiago-lucas-gouv...@hotmail.com Meu, vê se tem um pouco de respeito com as pessoas que participam dessa lista -- Date: Fri, 4 Sep 2009 07:15:28 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Problema Prático To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, Me passaram este problema e achei bem interessante e instrutivo ::)) Um homem contrata três prostitutas e quer fazer sexo com todas. Todos os envolvidos podem ter doenças sexualmente transmissíveis, e todos querem usar preservativos. Infelizmente, só há duas camisinhas. Pior ainda, estão no meio do nada e não podem comprar mais camisinhas. Poderá o homem fazer sexo com todas as três mulheres sem risco para qualquer um dos quatro -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis!http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prob abilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois triangulos internos ao quadrado unitario, conforme descrito na solucao. Repare que os tais dois triangulos sao simplesmente o conjunto de pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o segmento unitario, conforme o enunciado. Para isso, e' necessario e suficiente que x e y satisfacam 'as seguintes condicoes: - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2 - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2 - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2 ** OBS: quando acontece um igual , temos um triangulo degenerado (com area zero). []'s Rogerio Ponce. 2008/7/7 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Os valores possiveis de x e y equivalem a area do quadrado unitario, que vale 1. Nao entendi, seria o produto xy que equivaleria a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Prob. de Troco!!
Se alguém conhece este problema e puder da um ajudinha ...( será que tá faltando dados ou é assim mesmo???) desde jáagradeço !!! Uma bilheteria está sem troco. o valor do bilhete é de R$ 5,00. Tem uma quantidade N de pessoas na fila dessa bilheteria. Cada pessoa dessas fila possui apenas uma nota de R$ 5,00 ou de R$ 10,00. De quantas maneiras o vendedor da bilheteria pode organizar essa fila de modo que a fila siga sem que falte troco para ninguém ?
Re: [obm-l] Prob. de Troco!!
Acho que falta determinar quantas pessoas tem nota de 5 e quantas tem nota de 10. Ou entao resolva em função disso. Considere que k pessoas tem uma nota de 5, e N-k tem uma de 10. Ai basta encontrar os arranjos em que nunca teremos mais pessoas do primeiro grupo do que no segundo, contando a partir da primeira pessoa da fila. IuriOn 8/17/06, gustavo [EMAIL PROTECTED] wrote: Se alguém conhece este problema e puder da um ajudinha ...( será que tá faltando dados ou é assim mesmo???) desde jáagradeço !!! Uma bilheteria está sem troco. o valor do bilhete é de R$ 5,00. Tem uma quantidade N de pessoas na fila dessa bilheteria. Cada pessoa dessas fila possui apenas uma nota de R$ 5,00 ou de R$ 10,00. De quantas maneiras o vendedor da bilheteria pode organizar essa fila de modo que a fila siga sem que falte troco para ninguém ?
[obm-l] Prob 3 OBM U (2004) 2a. fase
Alguém poderia me mostrar alguma solução para o problema 3 da OBM universitária 2004, 2a. fase? Já tentei de diversas formas mas não consegui. []'s
Re: [obm-l] prob 98 eureka 20
Perfeito, cheguei em casa e resolvi, os lados sao 6, 8 e 10 []'s Olá Osvaldo , Observe que você escreveu : " 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x)) " e no entanto S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) , onde p=semi-perímetro e você usou o perímetro dentro do radical.Acredito que tenha sido este o problema ,ok ? []´s Carlos Victor At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: 98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo. , Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira
Re: [obm-l] prob 98 eureka 20
Olá Osvaldo , Observe que você escreveu : 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x)) e no entanto S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) , onde p=semi-perímetro e você usou o perímetro dentro do radical.Acredito que tenha sido este o problema ,ok ? []´s Carlos Victor At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: 98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo. ,
Re: [obm-l] prob 98 eureka 20
Olá Osvaldo , eu acho que consegui fazer o exercício da eureka. A área do triângulo pode ser escrita como pr=S mas S=2p , igualando temos que r = 2 e assim temos que R = 5 . Outra forma de expressar a área do triângulo é S = (a-s)(a+s)a/4R onde 's' é a razão da P.A . Assim temos que 3a = (a-s)(a+s)a/20 == a^2 - s^2= 60 (i) . Agora usando o radical de Heron temos : sqrt(p.(p-a+s)(p-a-s).(p-a))=2p ,resolvendo esta equação chegamos em (ii) : 48 = a^2 - 4s^2 , resolvendo o sistema achamos a = 8 e s = 2 . Logo os lados do triângulo são 8 , 10 ,12 Um abraço , Luiz Felippe Medeiros On Thu, 23 Dec 2004 19:51:54 -0200, Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Osvaldo , Observe que você escreveu : 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x))e no entanto S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) , onde p=semi-perímetro e você usou o perímetro dentro do radical.Acredito que tenha sido este o problema ,ok ? []´s Carlos Victor At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: 98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo. , = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] prob 98 eureka 20
ops .. os lados do triângulo são 6 , 8 e 10 valeu ! On Thu, 23 Dec 2004 23:22:56 -0200, Luiz Felippe medeiros de almeida [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Osvaldo , eu acho que consegui fazer o exercício da eureka. A área do triângulo pode ser escrita como pr=S mas S=2p , igualando temos que r = 2 e assim temos que R = 5 . Outra forma de expressar a área do triângulo é S = (a-s)(a+s)a/4R onde 's' é a razão da P.A . Assim temos que 3a = (a-s)(a+s)a/20 == a^2 - s^2= 60 (i) . Agora usando o radical de Heron temos : sqrt(p.(p-a+s)(p-a-s).(p-a))=2p ,resolvendo esta equação chegamos em (ii) : 48 = a^2 - 4s^2 , resolvendo o sistema achamos a = 8 e s = 2 . Logo os lados do triângulo são 8 , 10 ,12 Um abraço , Luiz Felippe Medeiros On Thu, 23 Dec 2004 19:51:54 -0200, Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Osvaldo , Observe que você escreveu : 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x))e no entanto S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) , onde p=semi-perímetro e você usou o perímetro dentro do radical.Acredito que tenha sido este o problema ,ok ? []´s Carlos Victor At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: 98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo. , = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] prob 98 eureka 20
98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo. Sendo a-x, a, a+x os lados temos que 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x))=9a^2=6a^2.(4a^2-x^2) (#) 3/2=4a^2-x^2=x^2=4a^2-3/2.(*) Do enunciado R/r=5/2=[(a.(a+x)(a-x))/4S] / [(S/(3a/2))]= [a(a^2-x^2)(3a/2)]/[4.(3a.2a.(2a-x)(2a+x))]=5/2(**) De * e **, vem: 3a^2.(a^2+3/2-4a^2)/(48a^2.(3/2))=5/2= (9/2-9a^2)/72 =5/2=180-9/2=-9a^2 (== pois a medida de lado, logo real) e se considero o sinal negativo para o segundo membro de # caio no mesmo problema. Alguem pode me indicar o erro ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira
RES: [obm-l] prob
Hmmm... Para ser exato, não sei se esta resposta está correta -- depende do que se
quer dizer com ao acaso. Para ilustrar meu raciocínio, suponha que há apenas 2
gavetas A e B com capaciidade máxima de 3 pastas cada, digamos, A1 A2 A3 B1 B2 B3. Uma
secretária põe 4 pastas ao acaso nestas gavetas... Qual é a chance de haver 2 pastas
em cada gaveta?
Uma maneira de pensar é: pode ser 1+3, 2+2 ou 3+1, então a probabilidade é 1/3. Parece
razoável? Bom, mas quem disse que estas 3 coisas são igualmente prováveis? Se você
acredita que escolher ao acaso é escolher aleatoriamente uma destas possibilidades
de pares ordenados que somam 4, esta é a resposta.
Outra maneira é: pode ser {1,3} ou {2,2}, então a probabilidade é 1/2. Aqui, a
secretária escolheu ao acaso uma das possibilidades de CONJUNTOS de dois números
menores ou iguais a 3 que somam 4. Não gostou? Bom, vejamos outras interpretações mais
convincentes.
Esta é bem convincente: escolhemos 4 lugares de A1 a B3 para colocar as pastas, que é
equivalente a escolher ao acaso 2 lugares para ficarem vazios. Há 6x5/2=15 maneiras
de fazer isto. Destas, apenas 3x3 dão um local vazio de cada gaveta. Então a
probabilidade é 9/15=3/5. Se foi assim que a secretária escolheu onde colocar as
pastas, isto está correto! Particularmente, também não é esta a minha interpretação
favorita...
Na minha opinião, a melhor interpretação é: a secretária arquiva as pastas uma a uma;
a cada pasta a ser arquivada, a secretária escolhe aleatoriamente uma gaveta (ainda
não cheia) para colocar a pasta. Podemos chamar a primeira gaveta a ser escolhida de
A. Há assim 1/4 de chance dela escolher a seguir AA (e então forçosamente B), e 1/8
de chance de escolher cada uma das outras escolhas não-forçadas ABB, ABA, BAA, BAB,
BBA, BBB. Apenas 4 destas possibilidades dão a divisão equânime de pastas... Então, a
probabilidade de ter 2 pastas em cada é 4/8=1/2 (!).
Esta última é equivalente a pensar que a secretária escolhe uma gaveta para NÃO pôr
uma pasta, depois outra gaveta (possivelmente a mesma!) para NÃO PÔR outra pasta. Em
suma, pense nela enchendo todas as gavetas com 6 pastas e então RETIRANDO 2 pastas das
gavetas (no sentido de que ela escolhe a GAVETA de maneira aleatória e então retira
uma pasta daquela gaveta): ela pode retirar de AA, AB, BA ou BB. Probailidade de tirar
igualmente de A e B é 2/4=1/2, que é a resposta.
Como eu gosto mais desta maneira de interpretar a expressão ao acaso, faço isso com
as 4 gavetas de 5 pastas e as 18 pastas do problema original. Penso que a secretária
escolhe AO ACASO uma gaveta (dentre as não cheias) para colocar cada pasta, uma a uma.
Bom, isto é equivalente a usar o mesmo processo para RETIRAR 2 pastas a partir de
gavetas cheias. Se as gavetas são ABCD, ela escolhe AA, AB, AC, ... ou DD para RETIRAR
(ou NÃO COLOCAR) 2 pastas. Destas 16 possibilidades, há 3+3=6 com a gaveta A
mencionada apenas uma vez: AB, AC, AD, BA, CA, DA. Assim, a probabilidade de a gaveta
A ter exatamente 4 pastas é 6/16=3/8.
Note como esta minha resposta é diferente daquela presente na mensagem abaixo (que,
repito, não está *ERRADA*, mas é uma interpretação de ao acaso com a qual não
concordo não). Em suma, porque os 10 casos apresentados lá seriam igualmente prováveis?
Eu *APOSTO* que este problema vai gerar polêmica... ;)
Abraços,
Ralph
-Mensagem original-
De: Andr Linhares [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: segunda-feira, 18 de novembro de 2002 17:37
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] prob
Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5
pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem,
agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas
restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As
únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4.
a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5
a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5
Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4
pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2.
Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 =
3/10 = 30%
From: Marcelo Roseira [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] prob
Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200
Caros amigos:
Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada
gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18
pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas
na gaveta a?
Grato.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL
[obm-l] prob
Caros amigos: Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a? Grato.
Re: [obm-l] prob
Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5 pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem, agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4. a b c d | a b c d | a b c d | a b c d 5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5 a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d 5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5 Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4 pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2. Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 = 3/10 = 30% From: Marcelo Roseira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] prob Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200 Caros amigos: Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a? Grato. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
