[obm-l] sequencia das medias ponderadas
Embora bastante atrasado, vou finalmente apresentar
ademonstracao que a Ana pediu sobre a desigualdade
valida para a seq. das medias ponderadas.
Sejam x_n uma sequencia de numeros reais e p_n uma
seq. de pesos nao negativos com p_10. Para
n=1,2...definamos s_n =
(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/Soma(i=1,n)p_i). Se Soma(i=1,oo)
p_i divergir, entao, no sistema dos reais expandidos,
temos que lim inf x_n = lim inf s_n = lim sup s_n =
lim sup x_n.
A desigualdade do meio vale para qualquer seq. de
numeros reais. Vou mostrar a da esquerda. A prova da
desig. da direita eh inteiramente analoga.
Como os p_i sao não negativos, a divergencia de
Soma(n==1,oo)p_i implica que esta serie diverge para +
oo. Se lim inf x_n = -oo, entao a desigualdade eh
trivialmente satisfeita. Se lim inf x_n for real,
entao para todo q lim inf x_n existe um inteiro
positivo k tal que x_n q para n k. Seja w = minimo
{x_1,...x_k}. Para nk, temos entao que s_n =
(Soma(i=1,k)p_i*x_i +
Soma(i=k+1,n)p_i*x_i))/(Soma(i=1,n)p_i)
(Soma(i=1,k)p_i*w +
Soma(i=k+1,n)p_i*q))/(Soma(i=1,n)p_i) =
w*Soma(i=1,k)p_i +
q*Soma(i=k+1,n)p_i)/(Soma(i=1,n)p_i) =
(w*Soma(i=1,k)p_i + q*(Soma(i=1,n)p_i-
Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) =
((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q.
Mantendo-se k e q fixos, definamos, para nk, y_n =
((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q. Como
(Soma(i=1,n)p_i) -oo quando n-oo, temos que y_n-q.
E como s_n y_n para nk, temos que lim inf s_n =
lim inf y_n = lim y_n = q. Para todo q lim inf x_n
temos, portanto, que lim inf s_n = q, o que implica
automaticamente que lim inf x_n = lim inf s_n.
As desigualdades apresentadas implicam tambem que, se
x_n - x e Soma(p_n) diverge, entao s_n - x
(inclusive se x = + ou - oo, nos reais expandidos).
Outra conclusao mais facil de mostrar eh que, se x_n
eh limitada em R e Soma(p_n) converge, entao s_n
converge (desta vez, se x_n convergir nao precisamos
ter lim s_n = lim x_n).
No meu caso real eu tenho uma sequencia s_n
correspondente a uma x_n limitada e nao negativa e a
uma p_n limitada. Eu conheco limites superiores para
x_n e p_n, mas os termos de ambas sao gerados
estocasticamente por um programa de simulacao. Estou
quase certo que Soma(p_n) diverge. Serah que existe
algum processo para decidir se s_n converge? Alguem
tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
__
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[obm-l] sequencia das medias ponderadas
Oi, Hah alguns dias alguem comentou este tipo de sequencia, acho que foi o Artur ou algum destesque parecem ir ao Nirvana quando se trata deepsilons, deltas, supremos e infimos (brincadeira!). Eu tenho alguma dificuldade para trabalhar com estes conceitos e tentei demonstrar a afirmacao feita de que, sex_n ehuma seq. de numeros reais, p_n eh uma sequencia de pesos positivos tal que (Soma p_n) divergee s_n e dada por s_n = ((p1*x_1 +...p_n*x_n))/(p_1...+ p_n), entao liminf x_n = liminf s_n = limsup s_n = limsup s_n. Eu tentei me basear na demonsntracao destas desigualdades que o Artur deupara o caso dasequencia das medias aritmeticas e fazer uma generalizacao, mas me perdi porque a prova dada estava um tanto resumida (certamente foi feita com pressa e ele extrapolou um pouco nos "eh imediatoque"risos) e eu nao me sinto ainda a vontade com estes conceitos de limif e limsup. Seria possivel ajudar! (nao e exercicio de casa, nao).? Eu acho muito mais facil enteder os liminf e limsup como o menor e o maior limite de uma subsequencia do que por aqueladefinicao baseada no supremo e infimo de conjuntos de infimos e supremos.Mas tenho dificuldade com suas propriedades Ana PS.: O autor da mensagem original disse que a seq das medias ponderadas foi usada num problema real. Gostaria der saber qual foi, se for possivel dizer.__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] sequencia das medias ponderadas
Oi Ana. Fui eu sim que comentei a sequencia das medias ponderadas. Epsilons e deltas, limites sao bonitos, certo? Alias, estes assuntos um tanto abstratos condizem muito com a alma feminina. De fato, a demosntracao daquela desigualdade no caso mais geral eh muito semelhante a da sequencia das medias aritm. Se ninguem apresentar antes sem extrapolar nos eh imediato (eu fiz isso?), eu amanha mando a prova para o caso geral - eh bem simples, mas de fato exige que se conhecam as prporiedades de lim sup e lim inf. Isto estava sendo usado num problema real sim, mas de forma mais simplificada. Era para estimar um conceito denomimnado de energia garantida de um empreendimento de energia eletrica, valor que vai ser usado nos leiloes de energia eletrica no Brasil, agora no inicio de dezembro. Mas nao hah limites, hah uma media ponderada com 2000 termos, s, truncou-se a sequencia. Estah no site do MME. Eu queria aprofundar este estudo, que envolve sequencias estocasticas, mas nao hove tempo por ora. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] sequencia das medias ponderadas Data: 01/12/04 20:40 Oi, Hah alguns dias alguem comentou este tipo de sequencia, acho que foi o Artur ou algum destes que parecem ir ao Nirvana quando se trata de epsilons, deltas, supremos e infimos (brincadeira!). Eu tenho alguma dificuldade para trabalhar com estes conceitos e tentei demonstrar a afirmacao feita de que, se x_n eh uma seq. de numeros reais, p_n eh uma sequencia de pesos positivos tal que (Soma p_n) diverge e s_n e dada por s_n = ((p1*x_1 +...p_n*x_n))/(p_1...+ p_n), entao liminf x_n = liminf s_n = limsup s_n = limsup s_n. Eu tentei me basear na demonsntracao destas desigualdades que o Artur deu para o caso da sequencia das medias aritmeticas e fazer uma generalizacao, mas me perdi porque a prova dada estava um tanto resumida (certamente foi feita com pressa e ele extrapolou um pouco nos eh imediato querisos) e eu nao me sinto ainda a vontade com estes conceitos de limif e limsup. Seria possivel ajudar! (nao e exercicio de casa, nao).? Eu acho muito mais facil enteder os liminf e limsup como o menor e o maior limite de uma subsequencia do que por aquela definicao baseada no supremo e infimo de conjuntos de infimos e supremos. Mas tenho dificuldade com suas propriedades Ana PS.: O autor da mensagem original disse que a seq das medias ponderadas foi usada num problema real. Gostaria der saber qual foi, se for possivel dizer. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencia das medias ponderadas
Boa tarde. Eu estava trabalhando com um algoritmo e me apareceu uma sequencia que pode ser vista como a seq. das medias ponderadas. Se x_n eh uma sequencia de numeros reais e p_n, com p_n0 para todo n, eh uma sequencia de pesos, entao a sequencia das medias ponderadas de x_n com relacao aos pesos p_n eh s_n = (p_1*x_1+p_n*x_n)/(p_1...+p_n). Eu estava precipitadamente assumindo que se x_n - x entao s_n - x, e aih me dei conta que isto nem sempre eh verdade. Um exercicio interessante eh demonstrar o seguinte (a menos que eu tenha me enganado) Se a serie Soma(p_n, n=1,oo) divergir, entao valem para s_n aquelas mesma desigualdades validas para a seq. das medias aritmeticas, ou seja, lim inf x_n = lim inf s_n = lim sup s_n = lim sup x_n. Temos portanto que, se, se x_n - x, entao s_n - x. Isto eh valido nao apenas em R como tambem no R expandido, caso x= oo ou x = - oo. Se a serie Soma(p_n, n=1,oo) convergir em R e x_n for limitada, entao s_n converge para algum real s. Logo, se x_n convergir para algum real x, entao x_n eh limitada e s_n converge para algum real s, mas s e x nao tem que ser iguais. Para os outros casos, creio que nao eh possivel dar uma condicao generica, cada um tem que ser analisado individualmente. Artur __ Do you Yahoo!? Meet the all-new My Yahoo! - Try it today! http://my.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
