Claudio como a sua desigualdade nao é estrita acho que podemos apenas
afirmar que é estavel e nao assintoticamente estavel.
Agora eu fiquei realmente na duvida pq vc pegou a apresentou
V(x,y) = x^2 + y^2
e a estabilidade foi estavel
e eu apresentei
V(x,y) = by^2
e a estabilidade foi assintoticamente estavel.
Agora eu nao sei mais como decidir.
Estou usando este teorema:
Seja y0 um ponto de equilibrio do sistema de eq. dif
Sejam U C M aberto tal que y0 pert U e V : U - R de classe C^1.
Suponha que V satisfaz
i) V(y) V(y0) qq y pert U, y =! y0,
ii) V'(y) := Jacobiano[V(y)].F(y) 0, qq y pert U, y =! y0
Entao y0 é assintoticamente estavel segundo Liapunov
claudio.buffara wrote:
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 28 Jun 2005 11:58:23 -0300
Assunto:[obm-l] sistemas dinamicos
Olá pessoal, estou estudando aspectos basicos de sistemas dinamicos
em um curso de eq. diferenciais que estou
fazendo.
Por falta de referencias aqui em casa estou com uma duvida
aparentemente boboca e esta dificil achar alguma
resposta pelo google.
Bom, é pedido para se estudar a estabilidade do equilibrio (0,0) do
sistema
x' = y - x*f(x,y)
y' = -x - y*f(x,y)
onde f é C infinito, f(0,0) = 0, e f = 0 numa vizinhanca da origem.
Bom, começei inocentemente analisando o sistema linearizado, porem
como os autovalores resultantes são
imaginarios puros nao podemos concluir com certeza nada.
Fui então em busca de uma funcao de Liapunov.
Chutei V(x,y) = a*x^2 + b*y^2 com a e b ambos nao nulos.
Bom, fazendo as continhas
V' = 2a(xy - f(x,y)*x^2) - 2b(xy + f(x,y)*y^2)
Agora a conclusao:
Como f = 0 numa vizinhanca da origem, para x e y positivos e
suficientemente pequenos (ou proximos da origem),
basta tomar a= 0 e b 0 e com isso
V' = -2b(xy + f(x,y)*y^2) 0, pq qq x,y nesta vizinhança.
logo, a origem é assintoticamente estavel segundo liapunov.
Gostaria de saber se esta abordagem esta correta já que fiz às cegas,
não tenho nenhum exemplo resolvido por
perto para dar uma sapiada.
Tambem pergunto onde entra a hipotese que f(0,0) = 0. Para a
linearizacao ela é até util mas nao vi motivo para
usa-la no uso de funcoes auxiliares.
Obrigado
Niski
Oi, Niski:
Eu não manjo nada de sistemas dinâmicos, mas vou dar um pitaco mesmo
assim...
Minha idéia é ver o que acontece com U = x^2 + y^2 = quadrado da
distância à origem a medida que o tempo passa, para (x,y)
suficientemente próximo da origem (de modo que f(x,y) = 0).
dU/dt = 2xx' + 2yy' = 2xy - 2x^2f(x,y) - 2xy - 2y^2f(x,y) =
-2(x^2+y^2)f(x,y) = 0, pois f(x,y) = 0.
Assim, concluímos que dU/dt = 0, ou seja, o sistema não se afasta da
origem e pode realmente se aproximar quando f(x,y) 0.
É isso que se chama de sistema assintóticamente estável?
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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