Re:[obm-l] soma da Eureka romena
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)) ==
tan(a)*tan(b) = (tan(a)-tan(b))/tan(a-b) - 1
a = (k+1)x e b = kx ==
tan((k+1)x)*tan(kx) = (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ==
Soma(1=k=n-1) tan((k+1)x)*tan(kx) =
Soma(1=k=n-1) ( (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ) =
(tan(nx) - tan(x))/tan(x) - (n-1)
x = pi/n ==
Soma(1=k=n-1) tan(k*pi/n)*tan((k+1)*pi/n) =
(tan(pi) - tan(pi/n))/tan(pi/n) - (n-1) = -n.
(a condicao de n ser impar eh necessaria para evitar o termo correspondente a k
= n/2, o qual contem tan(pi/2))
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 19 Mar 2007 14:20:33 +
Assunto: [obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
[]'s
Luis
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[obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
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\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
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Luis
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Re: [obm-l] soma da Eureka romena
hm...
Para facilitar a notação, seja w = \pi/n. Note que w não depende de k.
tg(w) = tg((k+1)w - kw) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/[1 + tg(kw)tg((k+1)w)]
Logo
1 + tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w),
ou seja,
tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1
e a soma S fica simples:
S = soma([tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1)
= [tg(2w) - tg(w)]/tg(w) - 1 + [tg(3w) - tg(2w)]/tg(w) - 1 + ... + [tg(nw) -
tg((n-1)w)]/tg(w) - 1
= [1/tg(w)][tg(2w) - tg(w) + tg(3w) - tg(2w) + ... + tg(nw) - tg((n-1)w)] -
(n-1)
= [1/tg(w)][tg(nw) - tg(w)] - (n-1)
Mas tg(nw) = tg(\pi) = 0. Logo
S =[1/tg(w)][-tg(w)] - (n-1) = -1 - (n-1) = -n.
[]'s
Shine
- Original Message
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 19, 2007 11:20:33 AM
Subject: [obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
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\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
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