[obm-l] taxas
Uma lampada está no topo de um poste de 16 pes de altura. Um rapaz de 5 pés de altura afasta-se do poste à razao de 4pes/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele está a 18 pes do poste? 64/11 pes/s. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] taxas
Oi O problema pede a taxa de variação da posição da ponta da sombra pelo tempo. Então, chamando p a distancia da ponta da sombra para o poste, x a distancia do rapaz para o poste e t o tempo temos que achar dp/dt. Veja que há 2 triangulos: um que tem como catetos o poste e o chão e outro que tem como catetos o rapaz e chão. Desenhando voce vai ver que eles são semelhantes. Então: (p-x)/p = 5/16 = p = 16x/11. Fazendo p e x como funções do tempo e derivando dos dois lados temos: dp/dt = 16/11 * dx/dt. Mas dx/dt é a taxa de variação da posição do rapaz em relação ao poste pelo tempo, e isso foi dado: 4 pes/s. Logo dp/dt = 16/11 * 4 = 64/11 pes/s. Acho que é isso. - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 10, 2007 10:29 PM Subject: [obm-l] taxas Uma lampada está no topo de um poste de 16 pes de altura. Um rapaz de 5 pés de altura afasta-se do poste à razao de 4pes/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele está a 18 pes do poste? 64/11 pes/s. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Taxas e Derivadas
Oi pessoal, gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema. Uma calha horizontal possui 200cm de comprimento e tem como seção transversal um triangulo isosceles de 8cm de base e 10cm de altura. Devido a chuva, a agua em seu interior está se elevando a uma razão de 0,5 cm por minuto. Quão rápido o volume de água em seu interior estará crescendo no instante em que o nível da água for de 5cm. obrigado . paulo Barclay
Re: [obm-l] Taxas e Derivadas
volume:V = (1/2).B.h.L (I)(L - comprimento da calha) triângulo:B/h = 8/10 = B = (4/5).h (II) altura e função do tempo:h = (1/2).t (III)5 = t/2 = h = 5cm para t = 10s (II) e (III) em (I):V = (1/2)(4/5)(h^2).L = (1/2)(4/5)(1/4)(t^2).LV = (1/10).L.t^2 dV/dt = (L/10)tdV/dt = (200/10).10 = 200 cm^3/min em t = 10s Em 27/03/06, paulobarclay[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi pessoal, gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema. Uma calha horizontal possui 200cm de comprimento e tem como seção transversal um triangulo isosceles de 8cm de base e 10cm de altura. Devido a chuva, a agua em seu interior está se elevando a uma razão de 0,5 cm por minuto. Quão rápido o volume de água em seu interior estará crescendo no instante em que o nível da água for de 5cm. obrigado . paulo Barclay = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Taxas e Derivadas
Ola, o volume da calha em funcao da altura da agua eh: da semelhanca de triangulo, temos: x / 10 = b / 8 entao: V(x) = 200 * x * b / 2 = 100 * x * 8 * x / 10 = 80 * x^2 (cm^2) V(x) = 80 * x^2 dV(x) / dx = 160 * x dV/dt = dV/dx * dx/dt = 160 * x * 0,5 = 80 * x Logo, o volume de agua cresce a velocidade de 400 cm^2 / min = 20/3 cm^2 / segundo acho que eh isso, abracos, Salhab Oi pessoal, gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema. Uma calha horizontal possui 200cm de comprimento e tem como seção transversal um triangulo isosceles de 8cm de base e 10cm de altura. Devido a chuva, a agua em seu interior está se elevando a uma razão de 0,5 cm por minuto. Quão rápido o volume de água em seu interior estará crescendo no instante em que o nível da água for de 5cm. obrigado . paulo Barclay = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
Caro Marcos Reynaldo: Aqui vão alguns comentários. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) R = raio do depósito (constante) x = espessura da camada de gelo (variável) V(gelo) = (4/3)*Pi*(R+x)^3 - (4/3)*Pi*R^3 A(gelo) = 4*Pi*(R+x)^2 dV/dt = k * dA/dt == dV/dx * dx/dt = k * dA/dx * dx/dt == dV/dx = k * dA/dx == 4*Pi*(R+x)^2 = k * 8*Pi*(R+x) == (R+x)^2 = k * 2*(R+x) == R+x = 2*k == x é constante == Dexterno = 2*(R+x) é constante == dDexterno/dt = 0 Realmente, nas condições do problema (dV/dt = k*dA/dt) o diâmetro esté decrescendo a uma taxa constante e igual a zero == a camada de gelo está fixa. Na verdade, o que acontece é o seguinte: Expressando V(gelo) em função de A(gelo), teremos: A = 4*Pi*(R+x)^2 == (A/(4*Pi))^(3/2) = (R+x)^3 == (4/3)*Pi*(R+x)^3 = (4/3)*Pi*[A/(4*Pi)]^(3/2) = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) == V = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) - (4/3)*Pi*R^3 == dV/dA = 1/(4*raiz(Pi))*raiz(A) dV/dt = (dA/dt) / (dV/dA) == 4*raiz(Pi) * (1/raiz(A)) * dA/dt Ou seja, a taxa de variação no volume é diretamente proporcional à taxa de variação da Área e INVERSAMENTE PROPORCIONAL À RAIZ QUADRADA DA ÁREA. ** 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu não tenho o livro mas do jeito que você colocou o enunciado, eu diria que o comprimento mínimo é de 0,30 m - escada paralela ao chão tocando o muro e a parede.Será que não tem alguma figura ou alguma restrição adicional? *** 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Realmente, as unidades estão esquisitas, pra dizer o mínimo (pressão variando a 1 km/cm^2 ) - mesmo que este seja um um livro de cálculo e não de física é duro de perdoar De qualquer forma, supondo que as unidades sejam: Pressão = kgf/cm^2, Volume = cm^3 e Taxa de Variação da Pressão = kgf/(cm^2 * seg), teremos: P*V = c == 206 * 1.230 = c == c = 253.380 kgf * cm V = c/P == dV/dt = - (c/P^2) * dP/dt = - (253.380/206^2) * (-1) = 5,97 kgf/(cm^2*seg) (o volume está aumentando) O que diz seu gabarito? Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas relacionadas que não estou conseguindo resolver e um outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde já toda a ajuda. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu fiz o seguinte: usei semelhança de triângulos e determinei o comprimento da escada em função da distancia do pé da escada ao muro. Derivei e achei os pontos críticos. Fiz o estudo do sinal da derivada e conclui a respeito do mínimo. Só que achei 3,98m , enquanto a resposta é 4,48m. Minha dúvida é saber se os passos que fiz estão corretos e se o gabarito está realmente certo. 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos colegas que certamente entendem mais do que eu. []´s Marcos ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas relacionadas que não estou conseguindo resolver e um outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde já toda a ajuda. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu fiz o seguinte: usei semelhança de triângulos e determinei o comprimento da escada em função da distancia do pé da escada ao muro. Derivei e achei os pontos críticos. Fiz o estudo do sinal da derivada e conclui a respeito do mínimo. Só que achei 3,98m , enquanto a resposta é 4,48m. Minha dúvida é saber se os passos que fiz estão corretos e se o gabarito está realmente certo. 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos colegas que certamente entendem mais do que eu. []´s Marcos ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
- Original Message - From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 5:58 PM Subject: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas relacionadas que não estou conseguindo resolver e um outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde já toda a ajuda. (...) 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos colegas que certamente entendem mais do que eu. []´s Marcos Furado, no caso, é o que os americanos chamariam de understatement. A melhor tradução para este termo, ainda no caso, é samba do crioulo doido. Pressão é força dividido por área. Força é massa vezes aceleração. O dimensional de pressão é, portanto, (M L T^-2)/(L^-2)=M L^-1 T^-2) e as unidades mais usuais são atmosfera e pascal. Aí em cima é dito que a pressão está medida em 'k/cm^2', mas 'k' não é unidade de coisa alguma. O que mais se aproxima é 'kgf/cm^2', com 'kgf' sendo o quilograma-força, que é o peso de uma massa de 1 kg submetida à aceleração da gravidade, isto é, a força de gravidade que atua em uma massa de 1 kg. Se não formos muito rigorosos, podemos assumir que quando se escreve kg/cm^2 está-se querendo dizer kgf/cm^2. Logo, no exercício acima, é válido assumir que a pressão inicial é de 206 kgf/cm^2. Mas não há imaginação que ajude a entender o que vem a ser uma taxa de variação de pressão medida em km/cm^2. Se a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2 (dimensional L/L^2 = L^-1) ela drecresce à razão de 1[coisa nenhuma]/[unidade de distância]. E isso me faz lembrar de um professor de química que, quando nos esquecíamos de indicar as unidades nas respostas, ele completava com periquitos, bananas ou similares, e para dar a nota procedia da mesma forma que havíamos procedido com a unidade - dava como nota a ausência de nota, isto é, zero. Saindo da física e indo para a matemática, já que PV=k, o que se pode dizer é que a taxa de variação do volume é o inverso da taxa de variação da pressão. Se usarmos as unidades certas, é só fazer as contas. JF PS: É inacreditável que alguém tenha publicado um livro com o samba do crioulo doido acima no quesito unidades. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Taxas relacionadas
Olá pessoal ! Estou com dificuldade de montar as funções relacionadas aos exercicios abaixo. Agradeço se puderem me ajudar. (Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski, pags 202 e 205). 1) Uma luz esta no alto de um poste de 5m. Um menino de 1,6m afasta-se do poste a razão de 1,2 m/s. Quando o mesmo encontrar-se a 6 m do poste: a) com que velocidade estará alongando sua sombra ? b) a que razão estará movendo-se a extremidade dela ? 2) A figura mostra a montagem de um pedal de uma bicicleta. Determine a relação entre a velocidade angular d(theta)/dt (em rd/s) do pedal e a velocidade da bicicleta (em km/h). (Devido a limitações não dá pra enviar a figura, mas é simples : é um pneu traseiro da bicicleta de raio 35 cm, com a catraca de raio 5 cm e a coroa do pedal com 12 cm de raio) []´s Marcos ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Taxas relacionadas
- Original Message - From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 24, 2003 11:22 AM Subject: [obm-l] Taxas relacionadas Olá pessoal ! Estou com dificuldade de montar as funções relacionadas aos exercicios abaixo. Agradeço se puderem me ajudar. (Os exercícios foram tirados do livro do Swokowski, pags 202 e 205). 1) Uma luz esta no alto de um poste de 5m. Um menino de 1,6m afasta-se do poste a razão de 1,2 m/s. Quando o mesmo encontrar-se a 6 m do poste: a) com que velocidade estará alongando sua sombra ? b) a que razão estará movendo-se a extremidade dela ? Sejam: x = distância do poste até o menino; y = distância do poste até a extremidade da sombra; Desenhe a figura e você verá dois triângulos retângulos semelhantes, um cujos catetos são 5 e y e outro cujos catetos são 1,6 e (y-x). Assim, (y-x)/1,6 = y/5 == y = 5x/3,4. Derivando em relação ao tempo, teremos: y'(t) = 5 / 3,4 * x'(t). x'(t) é a velocidade do menino = 1,2 m/s y'(t) é a velocidade da extremidade da sombra == y'(t) = 5 * 1,2 / 3,4 = 1,7647 m/s A velocidade de alongamento da sombra é a velocidade de sua extremidade relativa ao menino, ou seja, y'(t) - x'(t) = 0,5647 m/s. Respostas: a) 0,5647 m/s b) 1,7647 m/s. *** 2) A figura mostra a montagem de um pedal de uma bicicleta. Determine a relação entre a velocidade angular d(theta)/dt (em rd/s) do pedal e a velocidade da bicicleta (em km/h). (Devido a limitações não dá pra enviar a figura, mas é simples : é um pneu traseiro da bicicleta de raio 35 cm, com a catraca de raio 5 cm e a coroa do pedal com 12 cm de raio) Quando a coroa do pedal dá uma volta completa, a corrente se desloca 2*Pi*12 = 24*Pi cm e faz com que a catraca do pneu traseiro dê (24*Pi)/(2*Pi*5) = 2,4 voltas. Naturalmente, a roda traseira também dá 2,4 voltas, o que corresponde a um deslocamento linear da bicicleta igual a 2,4*2*Pi*35 = 168*Pi cm. Ou seja, um deslocamento angular de 2*Pi radianos do pedal faz com que a bicicleta se desloque 168*Pi cm. Assim, se V = velocidade da bicicleta, teremos que: V = (168*Pi)/(2*Pi) * d(theta)/dt = 84 *d(theta)/dt cm / seg. 1 cm / seg = 3600 cm / hora = 0,036 km / hora == V = 84 * 0,036 * d(theta)/dt == V = 3,024 d(theta)/dt km / hora, onde d(theta)/dt é expresso em rad/seg. * Um abraço, Claudio. []´s Marcos ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
