Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Seria a conjectura dual, certo?
A conjectura (de fato, teorema) original
é:
Se dois polígonos regulares têm o mesmo perímetro,
então aquele com o maior número de lados tem a maior área.
Da mesma forma, podemos conjecturar:
Se dois polígonos regulares têm a mesma área, então
aquele com o maior número de lados tem o menor perímetro.
LEMA:
Para 0 < x < Pi/2, temos: sen(x) <
x*sec(x).
DEM:
F(x) = x*sec(x) - sen(x) = x/cos(x) - sen(x) = [x -
sen(x)*cos(x)]/cos(x) =
[2x - 2*sen(x)*cos(x)]/[2*cos(x)] = [2x -
sen(2x)]/{2*cos(x)]
Mas para x em (0,Pi/2), temos sen(2x) < 2x e
cos(x) > 0. Logo F(x) > 0.
*
Sejam "L" e "a" o lado e o apótema,
respectivamente, do polígono regular de n lados.
Teremos: L/(2a) = tg(Pi/n) ==> a =
(L/2)*ctg(Pi/n)
Área do Polígono = A = n*(1/2)*L*a =
n*(1/2)*L*(L/2)*ctg(Pi/n) = n*(L^2/4)*ctg(Pi/n)
Perímetro = P = n*L
Logo, P^2 = 4*A*n*tg(Pi/n)
dP^2 / dn = 4*A*[ tg(Pi/n) - (Pi/n)*sec^2(Pi/n)
] =
4*A*sec(Pi/n)*[ sen(Pi/n) - (Pi/n)*sec(Pi/n) ] <
0, pelo lema, com x = Pi/n (dado que n >= 3).
Logo, com A
constante, P^2 (e, portanto, P) é uma função decrescente de n, ou
seja:
Se dois polígonos regulares têm a mesma área, então
aquele com o maior número de lados tem o menor perímetro
PERGUNTA: Valem os dois resultados acima com
"convexos" no lugar de "regulares" ?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Luis
Lopes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, February 18, 2003 10:39
AM
Subject: Re: [obm-l] um problema com:
Q,T,C
Sauda,c~oes,
Não conhecia o artigo. Vou dar uma olhada.
E podemos imaginar um outro problema: seja
(i) o perímetro do polígono regular de i
lados
com a mesma área. Somos então levados
a
qual conjectura? Talvez o mesmo artigo
trate
disso também.
[]´s
Luís
-Mensagem Original-
De:
Cláudio (Prática)
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 17 de
fevereiro de 2003 18:43
Assunto: Re: [obm-l] um problema com:
Q,T,C
Tem um artigo razoavelmente elementar do
Nicolau e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade
isoperimétrica.
O ele pode ser encontrado aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Luis
Lopes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 17, 2003 4:12
PM
Subject: Re: [obm-l] um problema com:
Q,T,C
Sauda,c~oes,
Seja [i] a área do polígono regular de i
lados
com o mesmo perímetro. Somos então levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < < [n] < ... <
C.
Prova?
[]´s
Luís
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
De modo resumido,voce tem que provar que se o poligono e feio sua area e pequena.Sendo mais explicitos,o poligono deve ser o mais regular possivel.Se o poligono e concavo pode-se desfazer a concavidade. Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Sauda,c~oes, Não conhecia o artigo. Vou dar uma olhada. E podemos imaginar um outro problema: seja (i) o perímetro do polígono regular de i lados com a mesma área. Somos então levados a qual conjectura? Talvez o mesmo artigo trate disso também. []´s Luís -Mensagem Original- De: Cláudio (Prática) Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 18:43 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade isoperimétrica. O ele pode ser encontrado aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Luis Lopes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a área do polígono regular de i lados com o mesmo perímetro. Somos então levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < < [n] < ... < C. Prova? []´s Luís Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Sauda,c~oes, Não conhecia o artigo. Vou dar uma olhada. E podemos imaginar um outro problema: seja (i) o perímetro do polígono regular de i lados com a mesma área. Somos então levados a qual conjectura? Talvez o mesmo artigo trate disso também. []´s Luís -Mensagem Original- De: Cláudio (Prática) Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 18:43 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade isoperimétrica. O ele pode ser encontrado aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Luis Lopes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Sauda,c~oes, Seja [i] a área do polígono regular de i lados com o mesmo perímetro. Somos então levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < < [n] < ... < C. Prova? []´s Luís
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Tem um artigo razoavelmente elementar do Nicolau e
do Gugu que trata justamente disso - a desigualdade isoperimétrica.
O ele pode ser encontrado aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Luis
Lopes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 17, 2003 4:12
PM
Subject: Re: [obm-l] um problema com:
Q,T,C
Sauda,c~oes,
Seja [i] a área do polígono regular de i lados
com o mesmo perímetro. Somos então levados
a conjecturar que
[3] < [4] < [5] < < [n] < ... <
C.
Prova?
[]´s
Luís
-Mensagem Original-
De:
Tertuliano
Carneiro
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 14 de
fevereiro de 2003 14:58
Assunto: Re: [obm-l] um problema com:
Q,T,C
Olá!
Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos:
1) Q=(t/4)^2=(t^2)/16
2) T=[(t/3)^2]*sqrt3/4=(t^2)*sqrt3/36
3) O comprimento do circulo é t=2r*Pi. Daí,
C=Pi*[t/(2*pi)]^2=(t^2)/(4*Pi)
Comparando, temos q TTertuliano Carneiro.
elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
Três
pedaços de arame de mesmo comprimento forammoldados: um na forma de um
quadrado, outro na formade um triângulo equilátero e outro na forma de
umcírculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas dasregiões
limitadas por esses arames, então é verdadeque:a) Qb)
Cc) Td) T___Busca
Yahoo!O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar
o Yahoo!
encontra.http://br.busca.yahoo.com/=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO
administrador desta lista é
<[EMAIL PROTECTED]>=
< b! r>
Busca Yahoo! O serviço
de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
encontra.
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Sauda,c~oes, Seja [i] a área do polígono regular de i lados com o mesmo perímetro. Somos então levados a conjecturar que [3] < [4] < [5] < < [n] < ... < C. Prova? []´s Luís -Mensagem Original- De: Tertuliano Carneiro Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 14 de fevereiro de 2003 14:58 Assunto: Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C Olá! Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos: 1) Q=(t/4)^2=(t^2)/16 2) T=[(t/3)^2]*sqrt3/4=(t^2)*sqrt3/36 3) O comprimento do circulo é t=2r*Pi. Daí, C=Pi*[t/(2*pi)]^2=(t^2)/(4*Pi) Comparando, temos q TTertuliano Carneiro. elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Três pedaços de arame de mesmo comprimento forammoldados: um na forma de um quadrado, outro na formade um triângulo equilátero e outro na forma de umcírculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas dasregiões limitadas por esses arames, então é verdadeque:a) Qb) Cc) Td) T___Busca Yahoo!O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.http://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= < b! r> Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Olá! Seja t o comprimento do arame. Assim, teremos: 1) Q=(t/4)^2=(t^2)/16 2) T=[(t/3)^2]*sqrt3/4=(t^2)*sqrt3/36 3) O comprimento do circulo é t=2r*Pi. Daí, C=Pi*[t/(2*pi)]^2=(t^2)/(4*Pi) Comparando, temos q TTertuliano Carneiro. elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Três pedaços de arame de mesmo comprimento forammoldados: um na forma de um quadrado, outro na formade um triângulo equilátero e outro na forma de umcírculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas dasregiões limitadas por esses arames, então é verdadeque:a) Qb) Cc) Td) T___Busca Yahoo!O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.http://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] um problema com: Q,T,C
Dado um perímetro constante P, teremos o seguinte: Lado do Triângulo Equilátero = P/3 ==> Área do Triângulo Equilátero = (P/3)^2*raiz(3)/4 = P^2*(raiz(3)/36) Lado do Quadrado = P/4 ==> Área do Quadrado = (P/4)^2 = P^2*(1/16) Comprimento da Circunferência = P = 2*pi*R (R = raio) ==> R = P/(2*pi) Área do Círculo = pi*R^2 = pi*P^2/(4*pi^2) = P^2*(1/(4*pi)) 4 > pi ==> 16 > 4*pi ==> 1/(4*pi) < 1/16 ==> Q < C (raiz(3)/36)^2 = 3/1296 = 1/432 < 1/256 = (1/16)^2 ==> T < Q Logo, T < Q < C ==> alternativa (d). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "elton francisco ferreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, February 14, 2003 1:38 PM Subject: [obm-l] um problema com: Q,T,C > Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram > moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma > de um triângulo equilátero e outro na forma de um > círculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas das > regiões limitadas por esses arames, então é verdade > que: > > a) Q b) C c) T d) T > > > ___ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] um problema com: Q,T,C
Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um triângulo equilátero e outro na forma de um círculo. Se Q,T e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade que: a) Qhttp://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
