[obm-l] Re: [obm-l] Problema da Olimpíada Brasileira de Matemática para Universitários
Pensando rápido aqui. Dados discos D1 e D2, queremos pontos P1 e P2 tais que toda parábola que passa por P1 e P2 toca pelo menos um dos discos. (Estou assumindo que P1 e P2 estão proibidos de pertencerem aos discos, pois caso contrário bastaria escolher Pj em Dj.) Obviamente, P1 e P2 devem estar próximos dos discos (cada um próximo de um disco). Pensando rápido acho que as seguintes duas condições são necessárias: (I) A reta 'r' que liga P1 a P2 deve cruzar os discos (II) A reta perpendicular a 'r' por Pj deve cruzar Dj Acho que para tornar essas condições suficientes além de necessárias, basta adicionar as seguintes condições extras: (III) Num sistema de coordenadas em que o centro de D1 está na origem e o centro de D2 está no eixo x positivo, P1 está no terceiro quadrante (por exemplo, com um argumento de 5pi/4) (IV) Idem, trocando D1 por D2 e P1 por P2 Posso estar enganado, mas o meu chute é esse. Dada a condição (II), a condição (III) garante que todas as parábolas com concavidade para um dos lados de 'r' cruza D1, enquanto a condição (IV) garante que as parábolas para o outro lado de 'r' cruzam D2. Le ven. 12 juil. 2019 à 00:15, João Maldonado a écrit : > > Galera, esse é uma problema da OBM mas não me lembro de qual ano. Eu tentei > uma solução e acabei de descobrir que tinha uma falha, não é possível > escolher d tal que y' imagem) > > O problema é o seguinte: > Dados dois discos em um plano, prove que sempre é possível escolher dois > pontos tais que qualquer parábola que passe por ambos esses pontos sempre > passará por pelo menos um dos discos. > > Eu tentei uma solução, mas como eu disse está errada. Alguém consegue propor > alguma solução? É possível ainda aproveitar o minha linha de raciocínio ou > está completamente errado? A solução está em inglês pq postei em um fórum > americano rs. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Problema da Olimpíada Brasileira de Matemática para Universitários
Galera, esse é uma problema da OBM mas não me lembro de qual ano. Eu tentei uma solução e acabei de descobrir que tinha uma falha, não é possível escolher d tal que y'
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
é o antigo noves fora que minha mãe usava... 2014-09-04 21:25 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
Existe uma questão muito legal que acabei de fazer desse mesmo assunto, caso seja do seu interesse praticar ai vai. A soma dos algarismos de um numero n vale 100, e a soma dos digitos do numero 44n vale 800, Calcular a soma dos digitos de 3n. Douglas Oliveira Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela bousk...@ymail.com escreveu: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
Boa tarde! O número de algarismos x não nulos de 50^50 é igual ao número de algarismos de 5^50 seja t = [x], t Ɛ e x - 1 t = x x = [50*log(5)]+1 = 35 == S (50^50) = 9*35 = 315 == S(S(50^50)) = 2+9 +9 = 13 == S(S(S50^50) 10 == == S(S(50^50)) só tem um algarismo S(S(S(50^50))) ≡ 3* (50^50) mod 9 50^50 ≡ 5^50 * 10^50 ≡ 5^50 mod 9 pois, 10 ≡ 1 mod9 5^50 ≡ (5^6)^8 * 5^2 ≡ 7 mod 9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) == S(S(S(50^50))) ≡ 3* 7 ≡ 3 mod9. Como 0= S(S(S(50^50))) 10 == == S(S(S(50^50))) = 3 (i) O número de algarismos y não nulos de 770^770 é gual ao número de algarismos de 77^770 y = [770* log (77)] + 1 == y = 1453 == S(770^770) = 13077 (9*1453) == S(S(770^770)) = 30 (1 + 2 + 9 + 9 + 9) == S(S(S(770^770))) = 11 (2+9) Se S(S(S(770^770))) possui dois algarismos 770^770 ≡ 1 mod 9 ou 770^770 ≡ 2 mod 9 770^770 ≡ 77^770 * 10^770 ≡ 77^770 mod 9 pois 10 ≡ 1 mod9 77^770 ≡ (77^6)^128 * 7^2 ≡ 4 mod9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) == S(S(S(770^770))) só possui um algarismo == 0= S(S(S(770^770))) 10 == S(S(S(770^770))) 3* 4 ≡ 3 mod9. Como 0= S(S(S(770^770)))10 == S(S(S(770^770))) = 3 (ii) (i) e (ii) == S(S(S(50^50))) = S(S(S(770^770))) Saudações, PJMS. Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela bousk...@ymail.com escreveu: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema da Olimpíada da Letônia
Problema Dois jogadores disputam o jogo seguinte em que jogam alternadamente. Escreve-se no quadrado-negro um número natural. A jogada do primeiro jogador consiste em substituir o número, n, no quadro-negro por n/2, por n/4 ou por 3n (as duas primeiras escolhas são permitidas somente se o resultado é um número natural). A jogada do segundo jogador consiste em substituir o número, n, no quadro-negro por n + 1 ou por n 1. O primeiro jogador vence se o número 3 aparece no quadro-negro, não importa quem o escreva. O primeiro jogador tem uma estratégia para vencer? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema da Olimpíada Russa
22n-1 odd numbers are chosen from
{22n + 1, 22n + 2, 22n + 3, ... ,
23n}. Show that we can find two of them such that neither has its
square divisible by any of the other chosen numbers.
--- x ---
Acho que estou longe de resolver o problema, mas tive umas
idéias interessantes e gostaria de discuti-las aqui na lista...
A idéia que tive é de um algoritmo que seleciona ímpares
dentro desse intervalo, esse algoritmo tem umas propriedades
interessantes:
- Tomamos um ímpar do intervalo, como 22n + 1 e
fatoramos em primos, sejam p[1], ..., p[d] tais primos de forma que
22n + 1
=p[1]s[1]...p[d]s[d].
- Construa uma árvore d-ária, ou seja uma árvore que
possui até d nós filhos, sendo que no i'ésimo nó filho, incluímos o inteiro
p[1]s[1]p[i]s[i]+1...p[d]s[d]. A construção
é válida desde que o número formado esteja dentro dos limites.
- Sea árvorepossuir mais de um elemento ela
possui a propriedade de que para cada elemento dela existe um elemento nela
mesmaque divide o seu quadrado.
dem: é fácil ver que os filhos tem seus
quadrados divididos pelo seu pai e ancestrais, no caso da raiz, como a diferença
dela e de um de seus filhos é apenas 1, em 1 dos fatores primos, ao elevarmos ao
quadrado o filho da raiz divide o quadrado da raiz (nenhum dos s[i] é
zero...).
- Se construirmos todas as árvores com mais de um elemento
possíveis dentro desse intervalo e fizermos a união de seus elementos temos um
conjunto S, onde para todo x pert. S existe um y!= x, y pert. S tq y
divide x².
- Talvez ainda seja possível inserir elementos que não
formam uma árvore mas que sejam múltiplos de um elemento de S, mas acredito que
esses casos sejam raros, pois precisaríamos ter um número cuja fatoração em
primos só possui primos grandes o suficiente para que ao aumentar em 1 o
expoente do menor primo dessa fatoração o novo número ultrapasse o limite de
23n.
- Outra propriedade interessante é que se quisermos menos
elementos, podemos simplesmente eliminar elementos ramos dessas árvores sem
quebrar a propriedade desejada.
- Acredito que ao complementar o conjunto S da forma acima
ele se torna maximal, no sentido que não existe um outro conjunto de ímpares no
intervalo que mantenha a propriedade.
- Infelizmente não tive idéias para contar ou estimar um
limitante superior para o número de elementos de S e o número de elementos que
podem ser inseridos em S como complemento.
[ ]'s
Problema da olimpíada
Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
Re: Problema da olimpíada
também, concordo com você. logo, alguém queira me explicar porque tamanho detalhes sobre a solução desse problema, bela banca examinadora? O que os examinadores queriam que observasse nesta questão, para tamanha solução? Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sábado, 2 de Setembro de 2000 23:32 Assunto: Problema da olimpíada Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
RES: Problema da olimpíada
A solucao de vcs nao esta completa, por isso eh menor. Vou comentar o erro que acontece no caso n par. Por um lado, eh claro que se houverem n/2 jogos por domingo, o campeonato acaba no menor numero possivel de domingos (pois dois times nao podem jogar no mesmo domingo). Agora, fica faltando vc mostrar que realmente existe como organizar um campeonato de modo que haja n/2 jogos por domingo do inicio ao fim de modo que cada time jogue uma e so uma vez com cada um dos outros. Uma vez mostrado isso, o resto eh como vc fez. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Marcos Eike Tinen dos Santos Enviada em: Domingo, 3 de Setembro de 2000 12:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Problema da olimpíada também, concordo com você. logo, alguém queira me explicar porque tamanho detalhes sobre a solução desse problema, bela banca examinadora? O que os examinadores queriam que observasse nesta questão, para tamanha solução? Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sábado, 2 de Setembro de 2000 23:32 Assunto: Problema da olimpíada Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
Re: Problema da olimpíada
On Sat, 2 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote: Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Porque sua resposta está incompleta e você só fez a parte trivial da questão. O difícil é demonstrar que existem tabelas de jogos que realizam os valores de m que você encontrou. É fácil montar uma tabela para qq valor pequeno de n mas a solução precisa demonstrar que existe uma tabela sempre, de preferência dando uma receita para construir uma tabela. []s, N.
Re: Problema da olimpíada
entendi.. Tudo bem!! Bem que eu vi que estava faltando algo, pois me perguntei será que existem tais tabelas? Ats, Marcos Eike
