Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
Uma alternativa é eliminar c nas duas primeiras equações e depois eliminar c nas duas últimas. Vc terá então duas equações em a e b. Uma outra alternativa é usar Cramer. Nesse caso, seria bom dar uma olhadinha em um livro, pois por e-mail vai dar trabalho de explicar. - Original Message - From: Carlos Alberto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 28, 2003 1:40 PM Subject: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!! A questão é: Determine uma função quadrática tal que f(-1)=-4, f(1)=2 e f(2)=-1: Eu estava resolvendo dessa maneira. f(x)=ax^2+bx+c então temos que, f(-1)=a-b+c=-4 f(1)=a+b+c=2 f(2)=4a+2b+c=-1 Teremos um sistema assim: a - b + c = -4 a + b + c = 2 4a + 2b + c = -1 Tenho que achar o valor de a,b e c!!! Só que ai esta o problema, eu não lembro como se faz... Alguém poderia me ajudar?? Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 22/10/2003 / Versão: 1.4.0Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
Acho que eh intererssante abordar este problema de modo geral, ou seja, determinar os coeficientes do trinomio do segundo grau (uma parabola cujo eixo coincide com o eixo y) conhecendo-se 3 pontos distintos do mesmo . Sendo a, b e c os coeficientes da parabola dada por f(x) =a*x^2 + b*x + c, a<>0, e sendo (xi, yi), i=1,2,3 os pontos conhecidos (supostos distintos e nao colineares), temos o seguinte sistema de equacoes: a*x1^2 + b*x1 + c =y1 a*x2^2 + b*x2 + c =y2 a*x3^2 + b*x3 + c =y3 Subtraindo-se a segunda equacao da primeira e "algebrando-se" um pouco, obtemos a(x1-x2)(x1+x2) + b(x1-x2) = y1-y2. Como os pontos sao distintos e o trinomio eh uma funcao de x, devemos ter x1<>x2, ou nao podemos determinar o trinomio de forma univoca. Logo, a*(x1+x2) + b =(y1-y2)/(x1-x2). Subtraindo-se a terceira equacao da segunda, obtemos, de modo similar, a*(x2+x3) + b =(y2-y3)/(x2-x3). Subtraindo-se agora estas duas equacoes, obtemos a*(x1-x3)= (y1-y2)/(x1-x2) - (y2-y3)/(x2-x3). Como x1<>x3, temos que a = [(y1-y2)/(x1-x2) - (y2-y3)/(x2-x3)]/(x1-x3). Para calcularmos b, usamos agora b = (y1-y2)/(x1-x2) - a*(x1+x2). Nao precisamos "algebrar" para obter uma expressao de b em funcao dos xi e dos yi, pois agora a eh conhecido. E agora que a e b sao conhecidos, calculamos c simplesmente por c = y1 - a*x1^2 - b*x1. Se vc quiser, pode eh claro obter expressoes de b e e c emfuncao dos xi e dos yi. Mas, alem de absolutamente desnecessario, isto eh computacionalmente inefiiciente. Se vc estiverusando, por exemplo uma planilha Excel, eh muito melhor colocar numa celula a expressao de a em funcao dos xi e dos yi e em outras 2 celulas as expressoes recursivas para b e c. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
Use a regra de Cramer. (Nao coloquei os tracos em torno do determinante pois meu editor nao permite.). Espero que o determinante voce se lembre de calcular ainda. -4 -1 1 2 1 1 a = -1 2 1 1 -1 1 1 1 1 4 2 1 1 -4 1 1 2 1 b = 4 -1 1 1 -1 1 1 1 1 4 2 1 1 -1 -4 1 1 2 c = 4 2 -1 1 -1 1 1 1 1 4 2 1 Teremos um sistema assim: a - b + c = -4 a + b + c = 2 4a + 2b + c = -1 Tenho que achar o valor de a,b e c!!! Só que ai esta o problema, eu não lembro como se faz... Alguém poderia me ajudar?? Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
On Tue, Oct 28, 2003 at 12:40:10PM -0300, Carlos Alberto wrote: A questão é: Determine uma função quadrática tal que f(-1)=-4, f(1)=2 e f(2)=-1: Eu estava resolvendo dessa maneira. f(x)=ax^2+bx+c então temos que, f(-1)=a-b+c=-4 f(1)=a+b+c=2 f(2)=4a+2b+c=-1 Teremos um sistema assim: a - b + c = -4 a + b + c = 2 4a + 2b + c = -1 Tenho que achar o valor de a,b e c!!! Só que ai esta o problema, eu não lembro como se faz... Alguém poderia me ajudar?? A melhor maneira de resolver sistemas lineares é fazendo operações nas equações para obter outras equações mais fáceis (quando isto é feito de forma mais organizada chama-se eliminação gaussiana). Somando as duas primeiras linhas temos 2a + 2c = -2 donde a + c = -1 ou c = -a-1. Fazendo a segunda linha menos a primeira temos 2b = 6 ou b = 3. Substituindo isso tudo na última equação temos 4a + 6 + (-a-1) = -1 ou 3a = -6 ou a = -2. Resumindo, a = -2, b = 3, c = 1 e a função é f(x) = -2 x^2 + 3 x + 1. Substituindo você pode verificar que dá certo. Aliás este problema (encontrar um polinômio de grau mínimo dados os seus valores em alguns pontos) chama-se interpolação de Lagrange. Se damos n pontos e pedimos um polinômio de grau menor do que n, o sistema sempre tem no máximo uma solução pois não existem polinômios de grau n com de n raízes. Sabendo um pouco de álgebra linear você deduz que *existe* solução. Ou, sem álgebra linear nenhuma, você pode escrever, no seu caso, f(x) = (-4(x-1)(x-2)/(-1-1)(-1-2)) + + (2(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)) + (-1(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)). e é só expandir. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
Uma maneira um pouco mais esperta de resolver isto é usando o método da interpolação de Lagrange. Como o seu polinômio é de grau 2, você tem 3 graus de liberdade ( as constantes a, b e c ). Então chute f(x) como sendo a soma de 3 polinômios de segundo grau bem espertos... f(x) = a*(x-2)*(x-1) + b*(x-2)*(x-(-1)) + c*(x-1)*(x-(-1)) Estes 3 polinômios foram escolhidos (a menos das constantes) de tal forma que f avaliada em qualquer um dos 3 pontos do enunciado se reduz a apenas 1 destas parcelas (vai ficar claro nas contas abaixo). Assim conseguiremos calcular a, b e c rapidamente. Por exemplo, 2 = f(1) = a*(1-2)*(1-1) + b*(1-2)(1+1) + c*(1-1)*(1+1) = b*(-1)*(2) = -2b - b = -1 = -3/3 -4 = f(-1) = a*(-1-2)*(-1-1) = a*(-3)*(-2) = 6a - a = -4/6 = -2/3 -1 = f(2) = c*(2-1)*(2+1)=c*1*3 = 3c - c = -1/3 - f(x) = (-2/3)*(x-2)*(x-1) - (3/3)*(x-2)*(x+1) - (1/3)*(x-1)*(x+1) Você poderia parar por aqui, mas se quiser escrever este polinômio no formato usual, basta efetuar os produtos e juntar os termos ... f(x) = (-1/3) * [ 2*(x^2-3x+2) + 3*(x^2-x-2) + 1*(x^2-1) ] f(x) = (-1/3) * [ 6x^2 - 9x - 3 ] f(x) = -2x^2 + 3x + 1 E aí está a resposta que você quer. Mas, caso queria resolver o seu sistema na mão, basta um pouco de manipulação algébrica... (I) a - b + c = -4 (II) a + b + c = 2 (III) 4a + 2b + c = -1 Somando (I) com (II) nós eliminamos b. - 2a + 2c = -2 - a + c = -1 Se obtivermos outra equação que não envolve b, talvez encontremos a e c... Vamos criar uma combinação linear de (II) e (III) de forma que b desapareça... Que tal (-2)*(II) + (III) ? Isto nos diz que: - 2a - 2b - 2c + 4a + 2b + c = (-2)*2 - 1 - 2a - c = -5 Resumindo, descobrimos que a + c = -1 2a - c = -5 Somando estas duas equações eliminamos c... 3a = -6 - a = -2 - -2 + c = - 1 - c = - 1 + 2 = 1 Então a = -2 e c = 1 De (I) extraímos b pois b = 4 + a + c = 4 - 2 + 1 = 3 - a = -2, b = 3, c = 1 Desta forma, o polinômio que você busca é f(x) = -2x^2 + 3x + 1 Note que é exatamente a mesma resposta obtida pelo método anterior (como devia ser). Espero que esteja claro ;) -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
