Re: [obm-l] Particao de R
Ô Claudio, valeu você pelo retorno :-)) Foi mal os dias de silêncio, estive fora no fim de semana. Mas vc entendeu o que eu quis dizer com mal definida :-) Abraço Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 03, 2003 10:40 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Oi, Will: Tambem notei esse problema. O que a sua construcao faz eh o seguinte: Dado um intervalo aberto qualquer (a,b) contido em [0,1], eh possivel iterar o processo um numero finito de vezes ateh que se obtenha um intervalo de comprimento 1/3^n, contido em (a,b) e tal que ele possua uma infinidade enumeravel de pontos de A e de B. Ou seja, resolveria o problema se o enunciado fosse: Dado um intervalo aberto I - arbitrario mas de comprimento = d, para algum d positivo e FIXO, exibir uma particao de R = A U B tal que A inter I e B inter I sejam nao-enumeraveis. Infelizmente, isso nao eh a mesma coisa que exibir uma particao pronta de [0,1] = A U B tal que A e B tenham interseccao nao-enumeravel com todo e qualquer sub-intervalo de [0,1]. O Gugu mostrou uma, mas ela usa alguns resultados que eu nao domino muito. De qualquer jeito, valeu a tentativa! Acho que aprendi algo no processo. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 08:34, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que minha idéia está meio estranha... Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal de que a minha contrução está mal definida... Will - Original Message - From: Will [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
On Sat, Oct 04, 2003 at 01:03:28AM -0300, Claudio Buffara wrote: 1) O que significa ser pequeno no sentido de categoria? É o mesmo que ser magro, como no teorema de Baire. Significa que o conjunto está contido em uma união enumerável de fechados de interior vazio. 2) Eh sabido se e ou Pi sao ou nao de Liouville? Quanto a pi eu não tenho certeza, talvez o Gugu saiba ou pelo menos saiba quem sabe. Mas o número e é diofantino: basta ver a expansão dele em frações contínuas que é [1,0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...] para provar que q^3 * | e - p/q | C só tem um número finito de soluções (com p, q inteiros, claro) para qualquer C dado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Acho que minha idéia está meio estranha... Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal de que a minha contrução está mal definida... Will - Original Message - From: Will [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Will: Acho que a sua ideia dah certo. Depois da n-esima iteracao, voce terah 3^n sub-intervalos, cada um de tamanho 1/3^n e tais que, chamando c(k) = cor do k-esimo sub-intervalo: c(2m) = amarelo c(2m - 1) = branco, para m inteiro positivo. Alem disso, a soma dos comprimentos dos intervalos amarelos produzidos em cada iteracao forma uma sequencia crescente: 1/3, 4/9, 13/27, ..., (1/2)*(1 - 1/3^n), ... e a soma dos comprimenmtos dos intervalos brancos forma uma sequencia decrescente: 2/3, 5/9, 14/27, ..., (1/2)*(1 + 1/3^n), ... Ambas convergem para 1/2, o que implica que A e B sao nao enumeraveis (jah que todo subconjunto enumeravel de R tem comprimento zero). Alem disso, uma analise semelhante de qualquer sub-intervalo produzido a partir da n-esima iteracao irah provar que este intervalo (de comprimento 1/3^n) possui uma infinidade nao-enumeravel de pontos de A e de B. Agora, sejam a e b reais tais que 0 = a b 1. Como 1/3^n tende a zero, existem m e p naturais tais que: a p/3^m (p+1)/3^m b. Assim, qualquer intervalo (a,b) conterah um sub-intervalo produzido em alguma iteracao do processo e, portanto, terah interseccao nao enumeravel com A e B. Finalmente, eh soh repetir a construcao para todos os intervalos da forma [k,k+1) com k inteiro, e teremos uma particao da reta em dois subconjuntos com a propriedade desejada. Gostei! Um abraco, Claudio. on 03.10.03 00:28, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Gugu:
Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville.
Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A.
Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel.
Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao
eh de Louville)?
Mais uma vez obrigado pela ajuda.
Um abraco,
Claudio.
on 03.10.03 01:12, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Uma bem classica e' A={numeros diofantinos} e B=Q U {numeros de Liouville}.
Um numero irracional x e' de Liouville se |x-p/q|1/q^n tem solucao racional
p/q com q=2 para todo n natural, e e' diofantino caso contrario.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Will: Tambem notei esse problema. O que a sua construcao faz eh o seguinte: Dado um intervalo aberto qualquer (a,b) contido em [0,1], eh possivel iterar o processo um numero finito de vezes ateh que se obtenha um intervalo de comprimento 1/3^n, contido em (a,b) e tal que ele possua uma infinidade enumeravel de pontos de A e de B. Ou seja, resolveria o problema se o enunciado fosse: Dado um intervalo aberto I - arbitrario mas de comprimento = d, para algum d positivo e FIXO, exibir uma particao de R = A U B tal que A inter I e B inter I sejam nao-enumeraveis. Infelizmente, isso nao eh a mesma coisa que exibir uma particao pronta de [0,1] = A U B tal que A e B tenham interseccao nao-enumeravel com todo e qualquer sub-intervalo de [0,1]. O Gugu mostrou uma, mas ela usa alguns resultados que eu nao domino muito. De qualquer jeito, valeu a tentativa! Acho que aprendi algo no processo. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 08:34, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que minha idéia está meio estranha... Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal de que a minha contrução está mal definida... Will - Original Message - From: Will [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
On Fri, Oct 03, 2003 at 10:40:16AM -0300, Claudio Buffara wrote: Oi, Gugu: Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville. Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A. Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel. Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao eh de Louville)? Sem responder a sua pergunta, mas provando que A e B têm as propriedades que você pediu... O conjunto A (diofantinos) é grande no sentido de medida e pequeno no sentido de categoria enquanto B é exatamente o contrário: tem medida nula mas é uma união enumerável de abertos densos. Um exemplo menos interessante mas talvez mais fácil de explicar: A é o conjunto dos números reais em que o algarismo 7 só aparece um número finito de vezes na expansão decimal. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Nicolau: Pelo que eu sei, todos os numeros da forma: SOMA(n=1) a(n)/10^(n!) com a(n) inteiro em [1,9] sao de Liouville. Logo, B possui um subconjunto nao-enumeravel (prova pelo metodo da diagonal). Vou ter que pensar um pouco no que voce disse sobre B ter medida nula e ser uma interseccao enumeravel de abertos densos. * De fato, o 2o. exemplo (algarismo 7) eh bem mais simples, apesar de artificial. * Duas perguntas: 1) O que significa ser pequeno no sentido de categoria? 2) Eh sabido se e ou Pi sao ou nao de Liouville? Obrigado pelas explicacoes. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, Oct 03, 2003 at 10:40:16AM -0300, Claudio Buffara wrote: Oi, Gugu: Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville. Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A. Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel. Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao eh de Louville)? Sem responder a sua pergunta, mas provando que A e B têm as propriedades que você pediu... O conjunto A (diofantinos) é grande no sentido de medida e pequeno no sentido de categoria enquanto B é exatamente o contrário: tem medida nula mas é uma união enumerável de abertos densos. Um exemplo menos interessante mas talvez mais fácil de explicar: A é o conjunto dos números reais em que o algarismo 7 só aparece um número finito de vezes na expansão decimal. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Particao de R
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
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[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao de R
A eh enumeravel.
Artur Costa Steiner wrote:
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
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Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Particao de R
Artur,
Espero não estar falando bobagem, mas me parece que
A é composto só de números algébricos e, portanto, enumerável...
Will
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, October 02, 2003 10:59 PM
Subject: RE: [obm-l] Particao de R
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
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[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Particao de R
Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Uma bem classica e' A={numeros diofantinos} e B=Q U {numeros de Liouville}.
Um numero irracional x e' de Liouville se |x-p/q|1/q^n tem solucao racional
p/q com q=2 para todo n natural, e e' diofantino caso contrario.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Particao de R
De fato! A eh subconjunto dos algebricos...
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of A. C. Morgado
Sent: Thursday, October 02, 2003 11:13 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Particao de R
A eh enumeravel.
Artur Costa Steiner wrote:
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
