Re: [obm-l] Problema dificil(?)
p^2 + r^2 = 2q^2 Se p=2P, r=2R: 4P^2 + 4R^2 = 2q^2 4P^2 + 4R^2 = 2q^2 2P^2 + 2R^2 = q^2 - q par P^2 + R^2 = 2Q^2 Indo no descenso infinito, podemos supor que p é ímpar. Assim, r também será. Abrindo tudo descobrimos que Q também é ímpar. Assi, existem a e b tais que P=a+b, R=a-b. (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2Q^2 a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab = 2Q^2 a^2+b^2 = Q^2 E caimos em Pitágoras! Em 26/10/11, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu: Olá, Meu notebook não tem a tecla barra então vou usar o underline em lugar de divisão a², (a+x)², (a+y)² y² + 2ay = 2x² + 4ax - a= (y²-2x²)_(2x-y) = -x-y +xy_(2x-y) xy_(2x-y) deve ser inteiro, existem infinitas soluçõesEx: (6, 4), (6, 10), (6, 11)...(10, 18) []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema dificil(?) Date: Tue, 25 Oct 2011 22:56:29 + Determine três números inteiros positivos,distintos,cujos quadrados estejam em progressão aritmética.Justifique sua resposta. Tentei umas coisas simples,tipo c^2 - b^2 = r= pq...c + b = p e c - b = q,mas não consegui... Meus agradecimentos antecipados,abraços, Marcone. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema dificil(?)
1,5 e 7.Na verdade existem infinitas ternas que satisfazem essa propriedade.Um outro problema com quadrados perfeitos e P.A. é provar que não existe uma P.A. infinita com todos os seus termos sendo quadrados perfeitos distintos. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema dificil(?) Date: Tue, 25 Oct 2011 22:56:29 + Determine três números inteiros positivos,distintos,cujos quadrados estejam em progressão aritmética.Justifique sua resposta. Tentei umas coisas simples,tipo c^2 - b^2 = r= pq...c + b = p e c - b = q,mas não consegui... Meus agradecimentos antecipados,abraços, Marcone.
RE: [obm-l] Problema dificil(?)
Olá, Meu notebook não tem a tecla barra então vou usar o underline em lugar de divisão a², (a+x)², (a+y)² y² + 2ay = 2x² + 4ax - a= (y²-2x²)_(2x-y) = -x-y +xy_(2x-y) xy_(2x-y) deve ser inteiro, existem infinitas soluçõesEx: (6, 4), (6, 10), (6, 11)...(10, 18) []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema dificil(?) Date: Tue, 25 Oct 2011 22:56:29 + Determine três números inteiros positivos,distintos,cujos quadrados estejam em progressão aritmética.Justifique sua resposta. Tentei umas coisas simples,tipo c^2 - b^2 = r= pq...c + b = p e c - b = q,mas não consegui... Meus agradecimentos antecipados,abraços, Marcone.
Re: [obm-l] PROBLEMA DIFICIL
Caros colegas, O enunciado do problema (e o resto da prova da segunda fase do nível U deste ano estão em http://www.obm.org.br/provas/obm2005/2Fase_Nivelu2005.pdf ou em http://www.obm.org.br/provas/obm2005/2Fase_Nivelu2005.doc , por exemplo. Uma solução é como segue (vou colocar algumas linhas com pontinhos antes...): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Usaremos o fato de que, se a soma de vários números reais em [-1,1] é 0, então podemos reordená-los de modo que as somas parciais sempre estejam em [-1,1] (basta que a cada momento colocamos um número dos que faltam que tenha sinal contrário ao valor atual da soma). Podemos supor, reordenando os vetores e girando o plano, se for preciso, que a soma de vetores da lista que tem o maior módulo possível é v_1+v_2+...+v_k, a qual é igual a (0,a), com a0; não é difícil ver que as ordenadas dos v_i para i=k devem ser positivas, pois se algum desses v_i tiver ordenada negativa simplesmente retiramos esse v_i da lista e aumentamos o módulo da soma (como a soma total é 0, v_(k+1)+...+v_n=(0,-a), e as ordenadas dos v_i são negativas). Podemos ainda, reordenando v_1,v_2,...,v_k usando o fato inicial, supor que, para s=k, a abscissa de v_1+v_2+...+v_s sempre pertença a [-1,1]. Do mesmo modo, podemos supor que, para k+1=t=n, a abscissa de v_(k+1)+v_(k+2)+...+v_t também pertence a [-1,1]. Agora usamos de novo o fato inicial para ordenadas para intercalar os v_i com 1=i=k com os v_j com k+1=j=n (preservando a ordem dos v_i e dos v_j) de maneira que a ordenada das somas parciais sempre esteja em [-1,1]. Qualquer uma dessas somas parciais será a soma de uma parcela do tipo v_1+v_2+...+v_s, com s=k com outra do tipo v_(k+1)+v_(k+2)+...+v_t, com k+1=t=n, e logo tem abscissa em [-2,2]. Assim, qualquer soma parcial tem módulo limitado por (2^2+1^2)^(1/2)=5^(1/2). Abraços, Gugu Citando Valter Rosa [EMAIL PROTECTED]: Como eu acho a definição deste problema ? Dá pra colocar aqui na lista ? - Original Message - From: Joÿe3o Silva To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, December 28, 2005 8:48 PM Subject: [obm-l] PROBLEMA DIFICIL Alguem sabe como se faz o problema 3 da OBM, nivel universitario, fase 2, deste ano (2005) ? -- Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.371 / Virus Database: 267.14.8/215 - Release Date: 27/12/2005 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DIFICIL
Como eu acho a definição deste problema ? Dá pra colocar aqui na lista ? - Original Message - From: Joÿe3o Silva To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, December 28, 2005 8:48 PM Subject: [obm-l] PROBLEMA DIFICIL Alguem sabe como se fazoproblema 3 da OBM, nivel universitario, fase 2, deste ano (2005) ? Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.371 / Virus Database: 267.14.8/215 - Release Date: 27/12/2005
