Re: [obm-l] Produto Vetorial
Bom, notações que eu vou usar: XY -- segmento XY ou vetor XY, espero que não dê confusão. -- o produto interno de v com w ||v|| -- o módulo (norma, tamanho) do vetor v vxw -- o produto vetorial de v com w [u,v,w] -- o produto misto de u, v e w |z| -- o módulo do número z Então vamos lá: sejam X em AB e Y em CD tais que XY é a distância entre AB e CD (faça um figurisco). Note que XY é ortogonal tanto a AB quanto a CD... Assim, XY=c.n onde n=ABxCD e c é uma constante a ser calculada. Melhor: X é a projeção ortogonal de A sobre XY, e Y é a projeção ortogonal de D sobre XY. Então, XY é a projeção ortogonal de AD sobre a direção de n, ou seja, o tamanho de XY é ||AD||.|cos(theta)|= || / ||n|| (onde theta é o ângulo entre AD e n). Em suma: d= || / ||ABxCD|| = | [AD,AB,CD] | /||ABxCD||. (Isto leva à fórmula do volume do tetraedro em função da distância entre arestas opostas: V=(1/6).d.||AB||.||CD||.sin(alpha) onde alpha é o ângulo entre AB e CD.) ---///--- Poxa, eu ando dando aula de série de Fourier, e por causa disto fiquei com vontade de escrever logo o ***vetor*** XY... É só lembrar que a projeção ortogonal de v sobre w é o vetor (/).w. Então XY=( /) . ABxCD. cuja norma é a expressão anterior para d. ---///--- Era isso? Abraço, Ralph 2011/6/1 João Maldonado > d -> 1/2sqrt(-a^6 + 2 a^4 b^2 - a^2 b^4 + 4 m^2 - 2 a^4 m^2 + 2 a^2 > b^2 m^2 - a^2 m^4 - m^4 n^2 - 2 m^2 n^4 - n^6 + 2 m^2 n^2 o^2 + 2 n^4 o^2 - > n^2 o^4) > Sendo d a distância entre as arestas a e n > > Não sei o que quer dizer vetor (aliás, sei a definição mas não sei > calcular), calculei d em função dos lados do tetradro > > []'s > João > -- > From: vitor__r...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Produto Vetorial > Date: Wed, 1 Jun 2011 14:15:30 +0300 > > Exprima a distância entre duas arestas opostas AB e CD de um tetraedro ABCD > em função de (AB),(DC),(AD). > obs: (MN) quer dizer vetor MN >
RE: [obm-l] Produto Vetorial
d -> 1/2sqrt(-a^6 + 2 a^4 b^2 - a^2 b^4 + 4 m^2 - 2 a^4 m^2 + 2 a^2 b^2 m^2 - a^2 m^4 - m^4 n^2 - 2 m^2 n^4 - n^6 + 2 m^2 n^2 o^2 + 2 n^4 o^2 - n^2 o^4)Sendo d a distância entre as arestas a e n Não sei o que quer dizer vetor (aliás, sei a definição mas não sei calcular), calculei d em função dos lados do tetradro []'sJoão From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Produto Vetorial Date: Wed, 1 Jun 2011 14:15:30 +0300 Exprima a distância entre duas arestas opostas AB e CD de um tetraedro ABCD em função de (AB),(DC),(AD).obs: (MN) quer dizer vetor MN
RE: [obm-l] Produto Vetorial
Henrique, se a sua faculdade tiver um mínimo de decência, terá exemplares do livro do Natan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes. Não sei se ainda está sendo editado, mas deveria. É uma excelente introdução à Álgebra Linear, para quem está entrando no assunto, e tem uma definição mais intuitiva de produto vetorial From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Produto Vetorial Date: Sun, 16 Jul 2006 20:25:27 -0300 Olá!!! Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma para achar o vetor: | i j k | | x1 y1 z1 | = (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j - (x2y1) k. | x2 y2 z2 | Dessa forma as componentes do vetor resultante serão: (y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1). Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o vetor perpendicular??? A necessidade dessa demonstração surgiu quando precisei calcular a área entre dois vetores de duas dimensões. Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a área do paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" é o ângulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b" e "a" são os ângulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo x. Utilizando a fórmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a) achei a área do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que é o determinante entre a matriz composta pelos componentes de u e v. | ux uy | | vx vy | Estendendo para três dimensões não sei como demonstrar o produto vetorial, o qual em vários livros já é dado definido como mencionei acima e que essa operação entre vetores fornece um vetor perpendicular aos dois vetores sobre o qual foi calculado. Também li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do sólido formado pelos vetores u, v e w. Essa definição consegui mostrar utilizando a base inferior e superior do sólido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor perpendicular que formam um ângulo "d" calculei a altura do sólido como |w|.cos(d). Volume = área da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que é o produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w | A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada através do cosseno da diferença de dois ângulos. Assim, se puder existir uma demonstração simples e clara do produto vetorial ficarei muito grato. Estou estudando Álgebra Linear e os livros que peguei na faculdade em nível de Graduação não são tão didáticos, sendo que os autores consideram que o leitor já tenha conhecimento de diversos conceitos para várias fórmulas que são apenas dadas. É bem diferente de livros utilizados no Ensino Médio. Pediria também alguma indicação para livros sobre o assunto Álgebra Linear. Sempre estudo matemática e adoro a "rainha das ciências", mas agora vejo que o nível de abstração está ficando cada vez maior. Grato pela atenção, -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ On the road to retirement? Check out MSN Life Events for advice on how to get there! http://lifeevents.msn.com/category.aspx?cid=Retirement = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] produto vetorial
Sejam os vetores u = (a,b,c) e v = (d,e,f) u x v = det [i j k , a b c , d e f] (como não dá para fazer a matriz, escrevi assim) u x v = (bf - ec).i + (cd - af).j + (ae - bd).k Vamos chamar u x v = w É questao de definicao...qual a definicao de produto vetorial q vc viu? É uma usando determinante, se for , observe o que acontece quando mudamos o sentido o produto...ocorre mudanca no sinal do determinante.Jesualdo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá pessoal, Estava estudando alguns conceitos de Álgebra Vetorial e estou com uma dúvida com relação ao produto vetorial de dois vetores em R^3. É com relação a uma interpretação sobre o sentido do vetor produto. Em vários livros de Álgebra Vetorial e Linear afirma-se que "pode-se mostrar que o sentido do vetor produto é determinado a partir da regra da mão direita". Eu entendi como é este procedimento. Mas, como se pode justificar isto? Até agora não encontrei justificativa alguma nos livros que pesquisei. Vocês conhecem algum livro que justifique esta afirmação? Atenciosamente, Jesualdo--
Re: [obm-l] produto vetorial
Desculpe. Acabei enviando antes de concluir. Depois de chamar u x v de w, verifique usando o PRODUTO ESCALAR que w é perpendicular a u. A seguir faça o mesmo para provar que w é perpendicular a v. É questao de definicao...qual a definicao de produto vetorial q vc viu? É uma usando determinante, se for , observe o que acontece quando mudamos o sentido o produto...ocorre mudanca no sinal do determinante.Jesualdo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá pessoal, Estava estudando alguns conceitos de Álgebra Vetorial e estou com uma dúvida com relação ao produto vetorial de dois vetores em R^3. É com relação a uma interpretação sobre o sentido do vetor produto. Em vários livros de Álgebra Vetorial e Linear afirma-se que "pode-se mostrar que o sentido do vetor produto é determinado a partir da regra da mão direita". Eu entendi como é este procedimento. Mas, como se pode justificar isto? Até agora não encontrei justificativa alguma nos livros que pesquisei. Vocês conhecem algum livro que justifique esta afirmação? Atenciosamente, Jesualdo--
Re: [obm-l] produto vetorial
É questao de definicao...qual a definicao de produto vetorial q vc viu? É uma usando determinante, se for , observe o que acontece quando mudamos o sentido o produto...ocorre mudanca no sinal do determinante.Jesualdo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá pessoal, Estava estudando alguns conceitos de Álgebra Vetorial e estou com uma dúvida com relação ao produto vetorial de dois vetores em R^3. É com relação a uma interpretação sobre o sentido do vetor produto. Em vários livros de Álgebra Vetorial e Linear afirma-se que "pode-se mostrar que o sentido do vetor produto é determinado a partir da regra da mão direita". Eu entendi como é este procedimento. Mas, como se pode justificar isto? Até agora não encontrei justificativa alguma nos livros que pesquisei. Vocês conhecem algum livro que justifique esta afirmação? Atenciosamente, Jesualdo __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
