RE: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
Bem, Colegas, No universo dos números complexos, costuma-se definir: z^w = e^(w.ln z) --- ln indica o logaritmo neperiano. ln z = ln|z| + i.arg z Não é difícil ver que, através dessa definição, o único valor real da potência (-1)^(2/6) é exatamente -1 (menos um). Também não é difícil ver, por exemplo, que a potência (-1)^(1/2) nunca assume um valor real. Minha dúvida é a validade da convenção que mencionei: a^(m/n) = raiz n-ésima de a^m (com a real negativo; m e n inteiros positivos), somente quando a fração m/m é irredutível. Parece-me que a convenção atende satisfatoriamente a definição de potência, no universo dos complexos, dada acima. Abraços! Paulo Argolo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 20:44:32 -0300 A resposta é 1. Não adianta só simplificar a fração. Se é um número negativo que está dentro da raiz quadrada tem que ficar atento ao expoente. raiz quadrada de -1 ao quadrado é 1 e não -1. []'s João From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 22:33:14 + Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
A resposta é 1. Não adianta só simplificar a fração. Se é um número negativo que está dentro da raiz quadrada tem que ficar atento ao expoente.raiz quadrada de -1 ao quadrado é 1 e não -1. []'sJoão From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 22:33:14 + Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
E raiz quadrada de (-1)^1/2 então, que poderia (poderia?) ser escrita como (-1)^2/4 = ((-1)^2)^(1/4) = 1 ^ (1/4), como fica? E raiz quadrado de -1 ao quadrado não deveria ser equivalente ao quadrado da raiz quadrada de -1? 2011/4/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: A resposta é 1. Não adianta só simplificar a fração. Se é um número negativo que está dentro da raiz quadrada tem que ficar atento ao expoente. raiz quadrada de -1 ao quadrado é 1 e não -1. []'s João From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 22:33:14 + Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
Acho que a convencao usual eh o que voce disse, respeitando os parenteses: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = -1 Agora, ((-1)^2)^(1/6)=(1)^(1/6) = 1 estah correto, mas eh outra coisa. Se alguem reclamar que a^(b/c)=raiz c-esima de a^b, digo que tal igualdade soh eh garantida quando a eh positivo. Isto dito: **por mim**, se a0, a^b soh deveria existir quando b fosse inteiro. Digo isso por alguns motivos: i) Como visto acima, a exponenciacao de numeros negativos perde varias propriedades uteis validas nos positivos, e isto confunde a gente. ii) Alias, o que significa a expressao a^b, especialmente quando b eh irracional? Para mim, a^b deveria ser por definicao exp(b.lna) (note-se que ln e exp podem ser definidas sem falar em expoentes) . Agora, se a=0, nao dah para usar isto direito. iii) Para definir algo razoavel para a^b com a negativo, com as propriedades usuais dos expoentes, a gente acaba tendo que aceitar multiplas respostas complexas na exponenciacao! Por exemplo, se b eh irracional, a gente gostaria de escrever (-1)^b = (e^(2k+1).pi.i)^b = e ^ ((2k+1).b.pi) i, e infelizmente isto assume valores distintos dependendo do k inteiro utilizado! (Eu soh abriria excecoes para a definicao em (ii) quando a=0 e b inteiro porque expressoes do tipo (-1)^n acabam sendo muito uteis... :P) Abraco, Ralph 2011/4/12 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
