RE: [obm-l] SO(n)
Há uma outra maneira um pouco mais avançada de fazer. Tem um teorema que diz
que se M é uma variedade diferenciável e G um grupo de Lie agindo sobre M com
algumas propriedades, então vale que se G é conexo e M/G é conexo, então M é
conexo. Daí vc usa que S^(n-1) = O(n)/O(n-1) e faz indução, já que O(1) é
trivialmente conexo e se para algum n, O(n-1) é conexo então por esse teorema
segue que O(n) é conexo, completando a indução.Vc pode ver mais sobre isso em
livros sobre variedades diferenciaveis/topologia diferencial, se for acessível.
Se vc não souber do que eu estou falando aqui, fique com aquela outra prova
mesmo que é mais simples...
Abraços
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] SO(n)
Date: Thu, 28 Apr 2011 18:59:33 +
Preciso mostrar que SO(n) é compacto e conexo.
Pensei em usar a função determinante que é cont. faço det^-1{1} = SO(n), mas aí
que travei. Toda matriz em SO(n) tem determinante 1, mas toda matriz de
determinante 1 está em SO(n)?
E para mostrar que o conj So(n) é limitado em R^n^2?
O fato de ser conexo sai fácil? Mostrar que O(n) n é conexo sai da determinante
ser cont.
Desde já agradeço
Re: [obm-l] SO(n)
Não é verdade que toda matriz de determinante 1 está em SO(n):
Considere n=2 e a seguinte matriz:
2 0
0 1/2
Para mostrar que é limitado é simples, considerando a distância euclidiana
mesmo. Qual é a norma de cada linha da matriz?
A conexidade é o mais difícil. Acho que existem várias maneiras de fazer
isso, mas um jeito é achar um caminho contínuo ligando toda matriz de SO(n)
à matriz identidade. Sei que se você usar que toda matriz ortogonal pode ser
escrita da forma de vários bloquinhos 2x2 de rotação na diagonal, seguido de
+-1 (veja http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group), dá pra conseguir
um caminho. Não sei se tem um jeito mais fácil.
2011/4/28 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Preciso mostrar que SO(n) é compacto e conexo.
Pensei em usar a função determinante que é cont. faço det^-1{1} = SO(n),
mas aí que travei. Toda matriz em SO(n) tem determinante 1, mas toda matriz
de determinante 1 está em SO(n)?
E para mostrar que o conj So(n) é limitado em R^n^2?
O fato de ser conexo sai fácil? Mostrar que O(n) n é conexo sai da
determinante ser cont.
Desde já agradeço
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
RE: [obm-l] SO(n)
A imagem inversa de 1 pelo determinante é o conjunto das matrizes com det =1.
SO(n) é apenas um subconjunto deste conjunto,logo isso não prova nada a
respeito de SO(n).O que vc tem que provar é que O(n) tem duas componentes
conexas, uma com det=1 e outra com det=-1, e portanto a primeira é o SO(n).
Aqui é um pouco ruim de explicar mas basicamente se A está em O(n) e detA=1,
use álgebra linear para encontrar uma base na qual A tem um monte de 1's na
diagonal e depois blocos de rotação 2x2. Com essa decomposição dá para
construir um caminho de A até a identidade, o que mostrará que o conjunto é
conexo por caminhos, logo conexo.Defina A(t) da seguinte forma, em cada bloco
da forma cos x sinx , -sin x cos x na decomposição de A vc bota cos(tx) ,
sin(tx), etc... Quando t=0 vc tem a identidade, quando t=1 vc tem A e
claramente A(t) está em SO(n) para todo t.Não me lembro como faz a parte da
compacidade...Espero ter ajudado!
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] SO(n)
Date: Thu, 28 Apr 2011 18:59:33 +
Preciso mostrar que SO(n) é compacto e conexo.
Pensei em usar a função determinante que é cont. faço det^-1{1} = SO(n), mas aí
que travei. Toda matriz em SO(n) tem determinante 1, mas toda matriz de
determinante 1 está em SO(n)?
E para mostrar que o conj So(n) é limitado em R^n^2?
O fato de ser conexo sai fácil? Mostrar que O(n) n é conexo sai da determinante
ser cont.
Desde já agradeço
