Re: RES: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

[Bruno Lima]

É verdade, viajei...
Vc esta certo.
ValeuGuilherme [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, Bruno!Eu acho que nesta solução deve-se elevar ao cubo, pois da maneira quefoi colocada, os quadrados são simplificados.Um abração, Guilherme Marques.-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Emnome de Bruno LimaEnviada em: terça-feira, 5 de abril de 2005 16:07Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2Outra solucao que é bem manjada é 1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2(1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2... (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2 Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Ontem alguém perguntou aqui na lista como se demonstrava a fórmula da soma dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.  Eu
 diria que 99% das pessoas usaria indução, o que além de ser mecânico e sacal, não ilustra o que realmente ocorre no problema e, o que é pior, se a fórmula não for conhecida (ou seja, se o problema for "deduza a fórmula da soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos") vai ser difícil adivinhar qual é ela usando apenas indução. Naturalmente, uma vez que você tenha "adivinhado" uma fórmula, possivelmente olhando casos particulares, você pode usar indução para confirmar seu palpite.  Eu sempre sou favorável a uma demonstração combinatória, onde contamos o número de elementos de algum conjunto de duas formas distintas.  No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 é o número de elementos de que conjunto?  Por exemplo, considere todos os ternos ordenados (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1} tais que a  !
b e a
  c.  É claro (ou deveria ser pra quem participa dessa lista) que se a = 1, o número de tais ternos é zero, se a = 2, o número é 1*1 = 1, se a = 3, o número é 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, então teremos k possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas condições do enunciado.  Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o número de ternos nas condições do enunciado: 0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma desejada.  Agora, um terno nas condições do enunciado só pode ser de três tipos: (a,b,c) com a  b  c; (a,b,c) com a  c  b; (a,b,c) com a  b = c.  O número de ternos de cada um dos dois primeiros tipos é igual a: Binom(n+1,3) (por que?)  O número de ternos do terceiro tipo é Binom(n+1,2) !

 (por que?).  Logo, o número total de ternos nas condições do enunciado é: 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) = 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 = n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) = n*(n+1)*(2n+1)/6.  Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6.  []s, Claudio. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

RES: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

[Guilherme]

Olá, Bruno!

Eu acho que nesta solução deve-se elevar ao cubo, pois da maneira que
foi colocada, os quadrados são simplificados.

Um abração, 

Guilherme Marques.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Bruno Lima
Enviada em: terça-feira, 5 de abril de 2005 16:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

Outra solucao que é bem manjada é 

1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2
  (1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2
 .
 .
 .  
  (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2 

Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado

--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
 Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
 demonstrava a fórmula da soma dos quadrados dos
 primeiros n inteiros positivos.
 
 Eu diria que 99% das pessoas usaria indução, o que
 além de ser mecânico e sacal, não ilustra o que
 realmente ocorre no problema e, o que é pior, se a
 fórmula não for conhecida (ou seja, se o problema
 for deduza a fórmula da soma dos quadrados dos n
 primeiros inteiros positivos) vai ser difícil
 adivinhar qual é ela usando apenas indução.
 Naturalmente, uma vez que você tenha adivinhado
 uma fórmula, possivelmente olhando casos
 particulares, você pode usar indução para confirmar
 seu palpite.
 
 Eu sempre sou favorável a uma demonstração
 combinatória, onde contamos o número de elementos de
 algum conjunto de duas formas distintas.
 
 No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 é o número de
 elementos de que conjunto?
 
 Por exemplo, considere todos os ternos ordenados
 (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1}
 tais que a  b e a  c.
 
 É claro (ou deveria ser pra quem participa dessa
 lista) que se a = 1, o número de tais ternos é zero,
 se a = 2, o número é 1*1 = 1, se a = 3, o número é
 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, então teremos k
 possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e
 k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas
 condições do enunciado.
 
 Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o
 número de ternos nas condições do enunciado: 0^2 +
 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma
 desejada.
 
 Agora, um terno nas condições do enunciado só pode
 ser de três tipos:
 (a,b,c) com a  b  c;
 (a,b,c) com a  c  b;
 (a,b,c) com a  b = c.
 
 O número de ternos de cada um dos dois primeiros
 tipos é igual a:
 Binom(n+1,3)  (por que?)
 
 O número de ternos do terceiro tipo é Binom(n+1,2) 
 (por que?).
 
 Logo, o número total de ternos nas condições do
 enunciado é:
 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
 n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
 n*(n+1)*(2n+1)/6.
 
 Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6.
 
 []s,
 Claudio.
 





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