RES: [obm-l] Complexos
Temos que z^2 = x^2 - y^2 + 2xy i. Logo, x^2 = y^2, o que implica que x = y ou x = -y. Temos as 2 bissetrizes dos eixos real e imaginário. São perpendiculares e passam pela origem Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de arkon Enviada em: quarta-feira, 25 de junho de 2008 12:15 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Complexos ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas? Gabarito: C, ou seja, item Certo.
RES: [obm-l] complexos
Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? Todas as propriedades dos polinomios que dependam apenas das leis algebricas vigentes no corpo dos reais sao validas no corpo dos complexos, pois oscomplexos formam um corpo com relacao aas operacoes de adicao e de multiplicacao.Por exemplo, as relações de Girard sao validas para polinomios definidos no corpo dos complexos. por exemplo, na equaçãow^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é iguala 0? Se w = a+ b*i, a e b reais, entao a equacaow^2 + |w| = 0 equivale aa^2 - b^2 +|w| + 2*a*b*i =0. Como |w| = +raiz(a^2 + b^2) eh real, temos que 2*a*b = 0 = a=0 ou b=0. Se b =0, w eh real e a unica solucao eh w = 0. Se a = 0, entao w = b*i e -b^2 +|b| = 0. Se b=0, temos -b^2 +b = 0 = b =0. Se b0, entao -b^2 - b = 0 = b= -1. Assim , assolucoes da equacao sao w = 0 e w=-i.A soma da raizes eh -i. Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? Sim, pois pelas leis algebricas do corpo dos complexos, (1/z1)^n = 1/(z1^n) =1/1 =1., Artur
RES: [obm-l] complexos
Ah corrigindo, i tambem eh soucaoda equacao dada, de modo que a soma eh mesmo nula. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 24 de janeiro de 2006 16:14Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: [obm-l] complexos Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? Todas as propriedades dos polinomios que dependam apenas das leis algebricas vigentes no corpo dos reais sao validas no corpo dos complexos, pois oscomplexos formam um corpo com relacao aas operacoes de adicao e de multiplicacao.Por exemplo, as relações de Girard sao validas para polinomios definidos no corpo dos complexos. por exemplo, na equaçãow^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é iguala 0? Se w = a+ b*i, a e b reais, entao a equacaow^2 + |w| = 0 equivale aa^2 - b^2 +|w| + 2*a*b*i =0. Como |w| = +raiz(a^2 + b^2) eh real, temos que 2*a*b = 0 = a=0 ou b=0. Se b =0, w eh real e a unica solucao eh w = 0. Se a = 0, entao w = b*i e -b^2 +|b| = 0. Se b=0, temos -b^2 +b = 0 = b =0. Se b0, entao -b^2 - b = 0 = b= -1. Assim , assolucoes da equacao sao w = 0 e w=-i.A soma da raizes eh -i. Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? Sim, pois pelas leis algebricas do corpo dos complexos, (1/z1)^n = 1/(z1^n) =1/1 =1., Artur
RES: [obm-l] Complexos
Oo erro estah no "de onde vem i = -i".Não vem, não. -1, como qualquer real ou complexo, tem duas raizes quadradas DISTINTAS. Assim, 4 tem dua raizes distintas, 2 e -2, e nem por isto 2 = -2Isto eh consequencoa do fato de que a fincao f(z) = z^2, definida em C, nao eh injetora. Os complexos z e -z levam ao mesmo valor para f. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de DenissonEnviada em: segunda-feira, 9 de janeiro de 2006 16:40Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] ComplexosO número complexo -1 tem duas raízes quadradas, i e -i.isto é sqrt(-1) = i e sqrt(-1) = -i, donde vem i = -i.Qual o erro nessa demonstração?... abçs...-- Denisson
RES: [obm-l] complexos e a circunferencia
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fabio Niski
Enviada em: Tuesday, February 22, 2005 4:34 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] complexos e a circunferencia
Pessoal, transcrevo aqui uma passagem de um livro que até agora nao
consegui compreender perfeitamente. Permitam que eu a escreva em ingles
notacao:
z' = conjugado de z.
The strong connections between the operations of complex numbers and
the geometry of the plane enable us to specify certain important
geometrical objects by means of complex equations. The most obvious case
is that of the circle {z : |z - c| = r} with centre c and radius r =0.
This easily translates to the familiar form of the equation of a circle:
if z = x + iy and c = a + ib, then |z-c|=r if and only if |z-c|^2 = r^2,
that is, if and only if (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. *The other form, x^2 +
y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, of the equation of the circle can be rewritten
as zz' + hz + (hz)' + c = 0, where h = g -if. More generally, we have
the equation Azz' + Bz + (Bz)' + C = 0, where A(!=0) and C are real, and
B is complex. (...)
Realmente nao consegui entender a equacao geral da circunferencia que
ele apresenta
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
Expandi
|z-h|^2 = r^2
e chego em
x^2 + y^2 - 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - r^2...
*
Acho que não há nada de errado no livro nem no que voce escreveu (a menos de
uns sinais). A única coisa que talvez esteja confundindo é a constante c que
o autor usa e que engloba implicitamente todos esses termos juntos (r^2, f^2
e g^2). Foi apenas uma forma de escrever. Não sei se essa era a dúvida.
Um abraço. Pedro.
Ele tb nao deveria definir quem é f e g antes de apresentar a equacao?
Obrigado
Niski
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Complexos
Title: Mensagem Olá, Junior! Considere z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i Se os números z1 e z2 estão sobre a mesma reta e esta passa pela origem, então x2/x1 = y2/y1 = k, com k e R. Logo, z2 = k.x1 + k.y1.i = k(x1 + y1.i) Portanto, z2 = k.z1 ou z2/z1 = k (seu quociente é um número real). Em particular, se k0, z1 e z2 estarão no mesmo quadrante e se k 0, z1 e z2 estarão em quadrantes opostos. Se vc preferir, pode usar a notação trigonométrica: Para que eles estejam sobre uma mesma reta, então seus argumentos ro1 e ro2 são iguais ou suplementares. Para argumentos iguais: z1 = ro1(cos(teta) + i.sen(teta)) z2 = ro2(cos(teta) + i.sen(teta)) Logo, z1/z2 = ro1/ro2 (número real positivo) Para argumentos suplementares: z1 = ro1(cos(teta) + i.sen(teta)) z2 = ro2(cos(teta + pi) + i.sen(teta + pi) nesse caso, z2 = ro2(-cos(teta) + i.(-sen(teta))) Logo, z2 = -ro2(cos(teta) + i.sen(teta)) Aqui também, z1/z2 = -ro1/ro2 (número real negativo) Espero ter ajudado. Um grande abraço, Guilherme. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]Enviada em: quarta-feira, 14 de julho de 2004 01:19Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Spam Alert: [obm-l] ComplexosDois números complexos,não nulos, estarão representados, no plano complexo, sobre uma reta que passa pela origem se:a) seu produto for um número complexob) seu quociente for um número realc)somente se seus argumentos forem côngruos a pi/2d) sempree)nuncagratoJunior
