RES: [obm-l] Trigonometria
Ops! Pequena correção apenas no desenvolvimento (a resposta já estava correta): Faça assim: sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x + 1 2 (sin x)^2 = 1 + 2 sin x ( cos x sin x ) Fazendo: sqrt (1 + a^2) = u e tan x = a : 1 + sin x ( 2 cos x 2 sin x ) = 1 + ( 2a/u ) ( 1/u a/u) ( aqui faltava um ( ) ) Simplificando: ( -a^2 + 2a + 1 ) / ( a^2 + 1 ) Repare que u é sempre diferente de zero ( u^2 também é sempre diferente de zero ). Logo, é possível manipular 1/u sem qualquer cuidado. Albert Bouskelá mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo Costa Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Trigonometria Algúem poderia me dr uma força neste problema? Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x
RES: [obm-l] Trigonometria
Faça assim: sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x + 1 2 (sin x)^2 = 1 + sin x ( 2 cos x 2 sin x ) Fazendo: sqrt (1 + a^2) = u e tan x = a : 1 + sin x ( 2 cos x 2 sin x ) = 1 + 2a/u ( 1/u a/u) Simplificando: (-a^2 + 2a + 1) / (a^2 + 1) Repare que u é sempre diferente de zero. Logo, podemos manipular 1/u sem qualquer cuidado. Albert Bouskelá mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo Costa Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Trigonometria Algúem poderia me dr uma força neste problema? Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x
RES: [obm-l] Trigonometria
Ops! Pequena correção apenas no desenvolvimento (a resposta já estava correta): Faça assim: sin 2x + cos 2x = 2 sin x cos x + 1 2 (sin x)^2 = 1 + 2 sin x ( cos x sin x ) Fazendo: sqrt (1 + a^2) = u e tan x = a : 1 + sin x ( 2 cos x 2 sin x ) = 1 + ( 2a/u ) ( 1/u a/u) ( aqui faltava um ( ) ) Simplificando: ( -a^2 + 2a + 1 ) / ( a^2 + 1 ) Repare que u é sempre diferente de zero ( u^2 também é sempre diferente de zero ). Logo, é possível manipular 1/u e 1/u^2 sem qualquer cuidado. Albert Bouskelá mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo Costa Enviada em: quarta-feira, 18 de agosto de 2010 11:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Trigonometria Algúem poderia me dr uma força neste problema? Seja tg x = a, determine o valor de sen 2x + cos 2x
Re: Res: [obm-l] Trigonometria
Oi, A dica do Danilo que sugere usar a relação tan(60-x)*tanx*tan(60+x)=tan3x (embora meio mágica para o propósito do exercício proposto, simples de demonstrar) me lembrou outra relação semelhante, qual seja, 4.sen(60-x).senx.sen(60+x) = sen 3x utilizada em uma das demonstrações do interessante (e nada simples) teorema de Morley, que se segue: Os três pontos de interseção das trissetrizes adjacentes dos ângulos de um triângulo qualquer formam um triângulo equilátero Vejam uma ótima discussão em http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml Abraços, Nehab At 19:56 19/2/2007, you wrote: Use que tan(60-x)*tanx*tan(60+x)=tan3x. faça x=10 e use que tanx=1/tan(90-x). []'s - Mensagem original De: Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 19 de Fevereiro de 2007 3:21:37 Assunto: [obm-l] Trigonometria Alguem poderia me ajudar? prove que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º Obrigado por enquanto... __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] Trigonometria
Use que tan(60-x)*tanx*tan(60+x)=tan3x. faça x=10 e use que tanx=1/tan(90-x). []'s - Mensagem original De: Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 19 de Fevereiro de 2007 3:21:37 Assunto: [obm-l] Trigonometria Alguem poderia me ajudar? prove que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º Obrigado por enquanto... __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] trigonometria
Title: Mensagem Olá, chame o primeiro arco de alfa, o segundo de beta, e o terceiro de gama. logo, alfa = beta - gama portanto, sen(alfa) = sen(beta - gama) sen (alfa) = sen(beta).cos(gama) - sen(gama).cos(beta) como sabemos que sen(alfa) = x.sqrt(3), sen(beta) = 2x e sen(gama) = x, ficamos com a seguinte equação: x.sqrt(3) = 2x.sqrt(1-x^2) - x.sqrt(1-4x^2) Daí, com um pouco de paciência, chegamos em x = 0, x = +- sqrt(3)/2, x = +- 1/2 Como x = +- sqrt (3)/2 devolvida à equação original dá um absurdo (sen(alfa)= +-3/2), então as soluções são x = 0, x = 1/2 e x = -1/2 Acho que é isso... Um grande abraço, Guilherme Marques -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]Enviada em: terça-feira, 13 de julho de 2004 00:37Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] trigonometriaA soma dos valores de x que satisfazem a esquação:arcsen(xsqrt(3))=arcsen(2x)-arcsen(x)a)0 b)1/2 c)1 d)-1 e)sqrt(3)
RES: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
Boa solução, mas tem um errinho lá embaixo... Eu notei que havia algo errado pois você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia ser B ou C, né? II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) Resposta:[...] 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos 4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda Deveria ser aqui 4 sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0 Mas não importa, o resto da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 e C=60 também! Abraço, Ralph
RES: [obm-l] trigonometria
cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x))) Esta equação não tem raízes reais. De fato, vamos mostrar que f(x)=sin(sin(sin(sinx))) cos(cos(cos(cosx)))=g(x) para qualquer x real, ok? Deu um trabalhão para eu achar esta resposta, por favor confirmem-na. ---///--- LEMA 1: |sina+cosa| = sqrt(2) para qualquer a. PROVA: De fato, sina+cosa = sqrt(2).sin(a+pi/4). LEMA 2: Se a,b estão em [0,Pi/2], então sinb cosa equivale a a+b pi/2 PROVA: De fato, sinb cosa = sin(pi/2-a) sse b pi/2-a, já que seno é crescente no intervalo [0,Pi/2]. ---///--- Vamos começar com x em [0,Pi/2]. Temos: PELO LEMA 1: 0 = sinx+cosx = sqrt(2) pi/2 PELO LEMA 2: (Tome b=sinx, a=cosx) 0 sin(sin(x)) cos(cos(x)) 1 pi/2 MAS SENO É CRESCENTE EM [0,pi/2]: 0 sin(sin(sin(x))) sin(cos(cos(x))) 1 USANDO ISSO E LEMA 1 (com a = cos(cos(x))) sin(sin(sin(x)))+cos(cos(cos(x))) sin(cos(cos(x)))+cos(cos(cos(x))) sqrt(2) pi/2 PELO LEMA 2: Tome b=sin(sin(sinx)) e a=cos(cos(cosx)) sin(sin(sin(sin(x)))cos(cos(cos(cos(x)) Essa era a parte difícil. O resto é mais tranquilo... ---///--- Agora, note que cos(cos(Pi-x))=cos(-cos(x))=cos(x) e sin(Pi-x)=sin(x). Portanto, f(x)=f(Pi-x) e g(x)=g(Pi-x). Assim, se x estiver em [Pi/2,Pi], então Pi-x está em [0,Pi/2], e portanto: f(x) = f(Pi-x) g(Pi-x) = g(x) Para x em [-Pi,0], não é difícil ver que: f(x) = 0 g(x) Enfim, ambas as funções são periódicas de período 2Pi; como f(x)g(x) em [-Pi,Pi], provamos que f(x)g(x) para todo x real. Enfim, a equação acima não tem raiz real. Que tal? Algum erro? Se tudo estiver correto, creio que mostramos que sinsinsinsin...sinx coscoscoscos...cosx quando ambos os lados tenham o mesmo número **par** de aplicações da função trigonométrica. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
