Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 (2)
Tinha esquecido uma linha: 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 223399 445566 - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:25 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Estah faltando uma linha Vê aí se você consegue completar... Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==--- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Tem uma linha do seu quadrado com 5 alg diferentes... Como as outras tem 4.. acho que isso não mostra nada.. Enfim, eu achei um que só tinha linhas e colunas com exatos 5 alg diferentes.. Logo, n 6, mas não consegui provar que os valores abaixo de 5 não são(se é que essa é a resposta).. só cheguei que n=5 e disse que o valor máximo é 5.. É... a prova esse ano tava MUITO mais dificil que o ano passado.. não tem nenhuma questão que se possa dizer que foi pro cara não zerar.. Acho que não fiz nenhuma inteira também.. []´s Igor ps: Alguem pode dizer a solução da 5?? - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 (2) Tinha esquecido uma linha: 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 223399 445566 - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:25 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Ei Castro, qual a linha que contem 5 algarismos diferentes?? Todas as linhas e colunas possuem exatamante 4. Dê uma olhada com mais calma Tem uma linha do seu quadrado com 5 alg diferentes... Como as outras tem 4.. acho que isso não mostra nada.. Enfim, eu achei um que só tinha linhas e colunas com exatos 5 alg diferentes.. Logo, n 6, mas não consegui provar que os valores abaixo de 5 não são(se é que essa é a resposta).. só cheguei que n=5 e disse que o valor máximo é 5.. É... a prova esse ano tava MUITO mais dificil que o ano passado.. não tem nenhuma questão que se possa dizer que foi pro cara não zerar.. Acho que não fiz nenhuma inteira também.. []´s Igor ps: Alguem pode dizer a solução da 5?? - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 (2) Tinha esquecido uma linha: 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 223399 445566 - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:25 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==--- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Qual linha? - Original Message - From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 12:18 PM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Tem uma linha do seu quadrado com 5 alg diferentes... Como as outras tem 4.. acho que isso não mostra nada.. Enfim, eu achei um que só tinha linhas e colunas com exatos 5 alg diferentes.. Logo, n 6, mas não consegui provar que os valores abaixo de 5 não são(se é que essa é a resposta).. só cheguei que n=5 e disse que o valor máximo é 5.. É... a prova esse ano tava MUITO mais dificil que o ano passado.. não tem nenhuma questão que se possa dizer que foi pro cara não zerar.. Acho que não fiz nenhuma inteira também.. []´s Igor ps: Alguem pode dizer a solução da 5?? - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 (2) Tinha esquecido uma linha: 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 223399 445566 - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:25 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
É! me confundi... contei 5 alg diferentes umas 10 vezes na sétima linha :P mas enfim.. ok.. 4 alg diferentes sempre... essa era a resposta então? como provar que não tem um quadrado com 3? 2? []´s Igor Castro - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 3:38 PM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Qual linha? - Original Message - From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 12:18 PM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Tem uma linha do seu quadrado com 5 alg diferentes... Como as outras tem 4.. acho que isso não mostra nada.. Enfim, eu achei um que só tinha linhas e colunas com exatos 5 alg diferentes.. Logo, n 6, mas não consegui provar que os valores abaixo de 5 não são(se é que essa é a resposta).. só cheguei que n=5 e disse que o valor máximo é 5.. É... a prova esse ano tava MUITO mais dificil que o ano passado.. não tem nenhuma questão que se possa dizer que foi pro cara não zerar.. Acho que não fiz nenhuma inteira também.. []´s Igor ps: Alguem pode dizer a solução da 5?? - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 (2) Tinha esquecido uma linha: 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 223399 445566 - Original Message - From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:25 AM Subject: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 Acho que o exemplo abaixo está certo. Confira por favor 445566 001144 001166 001177 445566 445566 2233885588 223388 445566 - Original Message - From: Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 8:55 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3 E aí pessoal, como vocês foram na 3ª FASE (nível 3) desse ano? Eu achei a prova desse ano muito mais dificil do que a do ano passado Acho que não consegui fazer nenhuma questão inteira... Uma pergunta...: qual é a resposta da 4ª Questão, aquela do tabuleiro? Eh n=4 ou n=5? Não consegui achar um tabuleiro onde n=4. Se a resposta for n=4 mesmo, me digam aí como preencher o tabuleiro. Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Igor Castro said: É! me confundi... contei 5 alg diferentes umas 10 vezes na sétima linha :P mas enfim.. ok.. 4 alg diferentes sempre... essa era a resposta então? como provar que não tem um quadrado com 3? 2? [...] Para simplificar o argumento, eu vou dizer que uma _fila_ é uma linha ou coluna qualquer do tabuleiro. Lema: Se C é um conjunto de filas que contêm todas as ocorrências de um dado algarismo, então C tem pelo menos sete filas. Prova: Suponha que |C| = k. Suponha ainda que h dessas k filas são horizontais. Então as dez ocorrências do algarismo em questão devem estar contidas na interseções das h filas horizontais com as k-h filas verticais, donde h(k-h) = 10. Mas por MA-MG, h(k-h) = [(h+k-h)/2]^2 = k^2/4, logo k = sqrt(40) == k = 7. Marque todas as filas que contém algum algarismo zero, todas as que contém algum algarismo um, ... até o nove. Pelo Lema, pelo menos 70 filas foram marcadas; como o tabuleiro possui apenas 20 filas, o PCP implica que alguma fila foi marcada pelo menos quatro vezes, logo esta fila possui quatro algarismos distintos. Unindo esta demonstração ao tabuleiro que o Paulo José enviou para a lista, está demonstrado que o maior valor de n que satisfaz ao enunciado é n=4. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Temos que AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2 AB=x queremos determinar. I) T. Ptolomeu: x.CD+BC.AD=AC.BD=x.CD+(15/2).AD=(10+2).(5+4)= x.CD+7,5.AD=72 II) Temos que med(AEB) = med(CED) = y Aplicando o T. dos cossenos nos triang. AEB e CED, vem: AB^2= AE^2+BE^2-2AE.BE.cos(y) = x^2=4+25-2.2.5.cosy e CD^2=CE^2+DE^2-2CE.DE=CD^2=100+16-2.10.4.cosy destas duas sentenças podemos isolar cosy e igualar os membros restando CD^2-(100+16)/(-2.10.4)=x^2-(4+25)/(- 2.2.5)= CD=sqrt[4x^2-29)+116]=2x Substituindo em I, vem x.CD+7,5.AD=72 = 2x^2+7,5.AD=72(8) III) Temos med(BEC) = med(DEA) = z BC^2=BE^2+CE^2-2BE.CE.cosz=7,5^2=25+100-2.5.10.cosz= cosz=0,6875 e DA^2=DE^2+AE^2-2AE.DE.cosz=AD^2=16+4-2.2.4.(0,6875) =9= AD=3 IV) Daí de * e III, vem que: 2x^2+7,5.(3)=72 = x^2=24,75 = x=AB=sqrt(24,75)~4,95 Portanto x=sqrt(24,75) Acho que deva ser isto. Falou! As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo treinamento, jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr... (alem do que sou um eterno apaixonado pela matematica hehe) bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro Challenging Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind: As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Olá Vitor, O cálculo da medida do lado AB é muito simples e direto, bastando utilizar uma única vez o teorema de Stewart. A fim de tornar a questão um pouco mais interessante, eu modifiquei o enunciado para pedir as medidas dos outros três lados do quadrilátero, ou seja, AB, CD e DA e não somente AB. QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO: As diagonais AC e BD de um quadrilátero ADCB se encontram em E. Se AE = 2, BE = 5, CE = 10, DE = 4 e BC = 15/2, calcule os outros três lados do quadrilátero: AB, CD e DA. OBSERVAÇÃO: Eu utilizarei o Teorema de Stewart, algumas vezes denominado Teorema de Apollonius, para resolver esta questão. Segue um enunciado possível para o Teorema de Stewart. TEOREMA DE STEWART: Seja ABC um triângulo qualquer e P um ponto interno do lado BC (AP é uma ceviana interna relativa ao lado BC), então vale a seguinte relação: AB^2/(BP.BC) + AC^2/(CP.CB) - AP^2/(PB.PC) = 1 (O Teorema de Stewart pode ser facilmente demonstrado pela aplicação da lei dos co-senos nos triângulos APB e APC.) RESOLUÇÃO POSSÍVEL DA QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO: No triângulo BAC, E é um ponto interno do lado AC, então: BA^2/(AE.AC) + BC^2/(CE.CA) - BE^2/(EA.EC) = 1 BA^2/(2.12) + (15/2)^2/(10.12) - 5^2/(2.10) = 1 BA^2/24 + 15/32 - 5/4 = 1 BA^2/24 = 57/32 BA^2 = (9.19)/4 BA = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL) No triângulo ADB, E é um ponto interno do lado DB, então: AD^2/(DE.DB) + AB^2/(BE.BD) - AE^2/(ED.EB) = 1 AD^2/(4.9) + [3.sqr(19)/2]^2/(5.9) - 2^2/(4.5) = 1 AD^2/36 + 19/20 - 1/5 = 1 AD^2/36 = 1/4 AD^2 = 9 AD = 3 Os triângulos AEB e DEC são semelhantes pelo critério LAL, pois: AEB = DEC (ângulos opostos pelo vértice) AE/DE = 2/4 = 1/2 EB/EC = 5/10 = 1/2 Pela propriedade transitiva da igualdade: AE/DE = EB/EC Da semelhança podemos concluir que: BA/CD = 1/2 = AE/DE = EB/EC CD = 2.BA = CD = 2.[3.sqr(19)/2] = CD = 3.sqr(19) RESPOSTA DA QUESTÃO EXTENDIDA: AB = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL), CD = 3.sqr(19) e AD = 3. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Vitor Dias Sent: domingo, 6 de junho de 2004 01:23 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3 Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo treinamento, jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr...(alem do que sou um eterno apaixonado pela matematica hehe) bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro Challenging Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind: As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Boa solucao, eu usei semelhanca e o teorema de Ptolomeu, pois atraves da semelhanca, fica provado que o quadrilatero eh inscritivel. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Faça 2 leis dos cossenos 1 no triângulo BEC e outra no triãngulo AEB Como o angulo AÊB = 180-BÊC, os seus cossenos são simétricos. I) (15/2)^2 = 100 + 25 - 100cosY 225/4 = 125 - 100cosY cosY = 11/16 II) x^2 = 4+25 - 20cos(180-Y) x^2 = 29+20cosY = x^2=29 + 20(11/16) Achei x= sqrt(171)/2 Não conferi as contas ;) Abraços! - Original Message - From: Vitor Dias [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 06, 2004 1:22 AM Subject: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3 Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo treinamento, jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr...(alem do que sou um eterno apaixonado pela matematica hehe) bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro Challenging Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind: As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
