Re: [obm-l] Convergencia pontual
Caro Tertuliano,
Da' para provar que f é contínua num conjunto denso. Mais do que isso, f tem
que ser contínua num conjunto residual, i.e., que contém uma interseção
enumerável de abertos densos em [0,1] (lembremos do teorema de Baire: toda
interseção enumerável de abertos densos (em R ou num intervalo, entre muitas
outras situações) é densa). Para isso, basta mostrar que para todo n natural o
conjunto F_n dos x em [0,1] tais que a oscilaçao de f no ponto x, definida por
w(f,x)=lim(h-0)(sup(f|[x-h,x+h])-inf(f|[x-h,x+h])) e' = 1/n é um fechado
(isto e' facil e eu deixo como exercício) de interior vazio (note que a
unico dos F_n é o conjunto dos pontos de descontinuidade de f). Para isso,
se houver um intervalo (a,b) contido em F_n, definimos, para cada k inteiro,
X_k={x em (a,b) | k/4n=f(x)(k+1)/4n}. Pelo teorema de Baire, o fecho de
X_k deve ter interior não vazio para algum k, senão a união dos fechos dos
X_k seria uma união enumerável de fechados com interior vazio, e logo não
poderia conter (a,b). Suponha que o fecho de X_k contém (c,d), que está
contido em (a,b). Para todo x em X_k, como w(f,x)=1/n, x pertence a A ou a
B, onde
A={x| f(x)(k+1)/4n e para todo h 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)(k+2)/4n}
e B={x| f(x)=k/4n e para todo h 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)(k-1)/4n}.
Assim, o fecho de A ou o fecho de B tem interior não vazio em (c,d).
Suponhamos que o fecho de A contenha (s,t), que está contido em (c,d). Como
f_n tende a f pontualmente, e os f_n são contínuos, dado um intervalo
I=(z,w), com (k+1)/4n=zw=(k+2)/4n, para todo h0 existe N natural tal que
para todo n=N existe um intervalo J contido em (x-h,x+h) com f_n(J)=I.
Fazendo I_1=((k+1)/4n,(3k+4)/12n) e I_2=((3k+5)/12n,(k+2)/4n), segue que,
para todo N natural, os conjuntos Y_N={y em (s,t)| existe n=N t.q. f_n(y)
pertence a I_1} e Z_N={z em (s,t)| existe n=N t.q. f_n(z) pertence a I_2}
são abertos e densos em (s,t), de modo que (de novo pelo Baire), a
interseção W dos Y_N e dos Z_N (para N natural) é densa (de fato residual)
em (s,t). Entretanto, dado w em W, o limite f(w) de f_n(w) deveria pertencer
simultaneamente ao fecho [(k+1)/4n,(3k+4)/12n] de I_1 e ao fecho
[(3k+5)/12n,(k+2)/4n] de I_2, mas isso é um absurdo, pois esses intervalos
não se intersectam.
Abraços,
Gugu
Olá para todos!!
Um professor me propos a seguinte questao:
Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoes
continuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R.
Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo
[0,1].
(na realidade, desconfio q f seja continua em um
conjunto denso no intervalo [0,1]).
Grato por qualquer soluçao e/ou comentario.
Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequencia
de funcoes continuas convergindo pontualmente para a
funcao caracteristica dos irracionais, que é um
exercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica é
descontinua nos irracionais, mostrar o que foi
proposto acima resolve o problema.
__
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Re: [obm-l] Convergencia pontual
Na realidade, para resolver o problema basta mostrar q o limite pontual de uma sequencia de funcoes continuas eh continua em pelo menos um ponto. Se alguem conseguir isto já ficarei satisfeito. ?? Acho que não. Hah um teorema que diz que se uma sequencia de funcoes continuas em um espaco metrico converge puntualmente para uma funcao f em outro espaco metrico, entao o cojunto das descontinuidades de f eh de primeira categoria no sentido de Baire, Uma correcao: o teorema se aplica a funcoes de um espaco topologico em R, acho que nao eh valido se o contradominio for um espaco metrico geral. Mas no seu caso o contradominio eh de fato R. Uma das razoes pelas quais o teorema vale em R eh que, se f e uma funcao de X em R, entao o conjunto das descontinuidades de f eh F-sigma (e o das continuidades eh portanto G-delta). A prova tem a ver com o conceito de oscilacao de uma funcao em um ponto. Artur Arturt __ Do you Yahoo!? Yahoo! Photos: High-quality 4x6 digital prints for 25¢ http://photos.yahoo.com/ph/print_splash = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia pontual
Uma correcao: o teorema se aplica a funcoes de um
espaco topologico em R, acho que nao eh valido se o
contradominio for um espaco metrico geral. Mas no
seu
caso o contradominio eh de fato R.
Se X e Y sao espacos metricos e f e uma funcao de X em
Y, entao o conjunto das descontinuidades de f eh, em
qualquer caso, F-sigma (e o das conmtinuidades eh,
portanto, G-delta). Sendo D o conjunto das
descontinuidades, sempre temos que D = Uniao (i=1,
inf) Dn, onde Dn eh o conjunto dos elementos de X nos
quais f apresenta oscilacao 1/n. Podemos definir a
oscilacao de f em um subconjunto V de X por w{V) =
supremo{Dy(f(u),f(v)} | u e v estao em X}, Dy a
distancia definida em Y. Assim, w(V) eh o diametro de
f(V). E podemos definir a oscilacao de f em um
elemento x de X por W(x) = infimo{w(B_r) | r0}, sendo
B_r a bola aberta de centro em x e raio r. Entao, f eh
continua em x sse W(x) =0 e o conjunto de suas
descontinuidades eh o F_sigma citado acima.
O que eu naum sei e se no caso geral o conjunto das
descontinuidades eh magro (1a categoria, na
classificacao de baire). Se Y=R, entao ele eh de fato
um conjunto magro de X.
Artur
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Re: [obm-l] Convergencia pontual
Na realidade, para resolver o problema basta mostrar q o limite pontual de uma sequencia de funcoes continuas eh continua em pelo menos um ponto.Se alguemconseguiristojá ficarei satisfeito. Desculpe minha ignorância, mas o q diz o teoremade Bair?Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Algo que se pode afirmar, com base em uma conhecida conclusao, eh que oconjunto D das descontinuidades de f em [a, b] e de primeira categoria, nosentido de Baire. Isto eh, D pode ser representado como uma uniao numeravelde conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Mas isto naum significa que Dtenha medida nula, de modo que naum me parece ser possivel afirmar que fseja continua em quase todo [a,b]. Mas com relacao ao problema que se deseja resover, a funcao cacacteristicados irracionais (com base na definicao que conheco) eh dada por I(x) = 1, sex for irracional, eh I(x) =0, se x for racional. Esta funcao eh descontinuaem todo R, de modo que D=R. E como R naum eh um conjunto de primeiracategoria no sentido de Baire (consequencia do teorema de Baire, pois R ehcompleto), segue-se que I nao eh o limite de uma sequencia de funcoescontinuas em R. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Asssunto: [obm-l] Convergencia pontualData: 17/04/04 12:29Olá para todos!!Um professor me propos a seguinte questao:Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoescontinuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R.Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo[0,1].(na realidade, desconfio q f seja continua em umconjunto denso no intervalo [0,1]).Grato por qualquer soluçao e/ou comentario.Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequenciade funcoes continuas convergindo pontualmente para afuncao caracteristica dos irracionais, que é umexercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica édescontinua nos irracionais, mostrar o que foiproposto acima resolve o problema. __Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=OPEN Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Convergencia pontual
--- Tertuliano Carneiro [EMAIL PROTECTED] wrote: Na realidade, para resolver o problema basta mostrar q o limite pontual de uma sequencia de funcoes continuas eh continua em pelo menos um ponto. Se alguem conseguir isto já ficarei satisfeito. ?? Acho que não. Hah um teorema que diz que se uma sequencia de funcoes continuas em um espaco metrico converge puntualmente para uma funcao f em outro espaco metrico, entao o cojunto das descontinuidades de f eh de primeira categoria no sentido de Baire, isto eh, pode ser dado por uma uniao numeravel de conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Assim , provar que f eh continua em um ponto naum me parece garantir que seja continua em todo seu dominio. Desculpe minha ignorância, mas o q diz o teorema de Baire? Naum hah porque pedir desculpas. O teorema de Baire diz que todo espaco metrico completo eh um espaco de Baire. Um espaco metrico X eh um espaco de Baire se nenhum subconjunto aberto e nao vazio de X for de primeira categoria, na (infeliz) terminologia de Baire. Conjuntos de primeira categoria sao algumas vezes chamados de conjuntos magros (creio que porque em Ingles tais conjuntos sao denominados de meager sets). As conclusoes de Baire sao um pouco dificeis de colocar na massa do sangue, mas sao bem interessantes. Voltando aaquele problema que se queria resolver, o da funcao I, caracteristica dos irracionais. Esta funcao eh descontinua em todo o R (assim como a funcao de Dirichilet, que eh a funcao caracteristica dos racionais, eh descontinua em todo o R). O conjunto das descontinuidades de I eh, portanto, o proprio R que, por ser completo, eh um espaco de Baire. R eh aberto e, desta forma, naum eh de primeira categoria. Logo, R naum eh o conjunto das descontinuidades do limite de nenhuma sequencia de funcoes continuas em R. Concluimos assim que I naum eh o limite de nenhuma destas sequencias. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Photos: High-quality 4x6 digital prints for 25¢ http://photos.yahoo.com/ph/print_splash = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia pontual
Algo que se pode afirmar, com base em uma conhecida conclusao, eh que o conjunto D das descontinuidades de f em [a, b] e de primeira categoria, no sentido de Baire. Isto eh, D pode ser representado como uma uniao numeravel de conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Mas isto naum significa que D tenha medida nula, de modo que naum me parece ser possivel afirmar que f seja continua em quase todo [a,b]. Mas com relacao ao problema que se deseja resover, a funcao cacacteristica dos irracionais (com base na definicao que conheco) eh dada por I(x) = 1, se x for irracional, eh I(x) =0, se x for racional. Esta funcao eh descontinua em todo R, de modo que D=R. E como R naum eh um conjunto de primeira categoria no sentido de Baire (consequencia do teorema de Baire, pois R eh completo), segue-se que I nao eh o limite de uma sequencia de funcoes continuas em R. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Convergencia pontual Data: 17/04/04 12:29 Olá para todos!! Um professor me propos a seguinte questao: Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoes continuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R. Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo [0,1]. (na realidade, desconfio q f seja continua em um conjunto denso no intervalo [0,1]). Grato por qualquer soluçao e/ou comentario. Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequencia de funcoes continuas convergindo pontualmente para a funcao caracteristica dos irracionais, que é um exercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica é descontinua nos irracionais, mostrar o que foi proposto acima resolve o problema. __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
