Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
Olá,... vamos ver a segunda: vamos dizer que: (a+1)/b + (b+1)/a = u assim, multiplicando por ab, temos: a(a + 1) + b(b+1) = abu digamos que m = mdc(a, b)... vamos dividir por m^2... a(a + 1)/m^2 + b(b+1)/m^2 = abu/m^2 a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m * b/m * u Mas, a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m Agora, vamos analisar: a/m * b/m * u é inteiro, portanto, a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m deve ser inteiro. Neste último, a/m*a/m é inteiro e b/m*b/m é inteiro, logo: a/m*1/m + b/m*1/m = (a+b)/m^2 deve ser inteiro. Assim, se m^2 a+b, teríamos (a+b)/m^2 1, impossibilitando-o de ser inteiro. Logo, m^2 = a+b. [acho que para formalizar a solução acima, basta supor m^2 a+b e chegar ao absurdo] Agora, pq m^2 = a+b é um absurdo? bom, sabemos que a/m * b/m é inteiro... então, teríamos ab/(a+b) inteiro.. hmm.. ainda estou procurando o absurdo! hehehe vou ter que dar uma saída agora, mas depois tento continuar! abraços, Salhab 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** --
Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
Olá Pedro, tem razão!! Vou pensar melhor e propor outra solução. abraços, Salhab 2008/7/31 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] Salhab, acho que você errou na leitura. A questão diz ATÉ 5 recheios. Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1) possibilidades Agora, será que vale pastel sem recheio? Continuando, teremos, para dois pasteis, [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2. Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica { [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024. Mas aí não dá. Vou ver se acho meu erro também. --- Olá Walter, Problema 1) Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de escolher os recheios, visto que a ordem não importa. Deste modo, temos n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um pastel... como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter: [C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32 logo: n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840 hmmm, vamos ver: n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10. n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8. n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser 7) n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7 não é fator de 3840... vou pensar melhor e procurar meu erro!! abraços, Salhab 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** -- -- Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
Oi pessoal, a abordagem do Artur foi a que me pareceu adequada. Mas ainda assim, teriamos 1024=m(m+1)/2 , o que e' impossivel para qualquer m inteiro. E isso vale independentemente do pastel ter ou nao ter algum recheio. Portanto, eu diria que o enunciado esta' errado. []'s Rogerio Ponce. PS: a unica forma de se acomodar esse enunciado, seria tambem considerar a ordem em que os pasteis foram pedidos, alem de se aceitar pastel sem recheio . Mas isso me parece uma tremenda apelacao... De qualquer forma, se voce estivesse diante dessa questao, dependendo de acerta-la para passar num exame, seria melhor dar essa resposta (mesmo com dor no coracao), que deixa-la em branco esperando que fosse anulada. Portanto, PONTO PARA ARLANE !!! :-) Problema 1: (Olimpíada do Chile) Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? Em 01/08/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Pedro, tem razão!! Vou pensar melhor e propor outra solução. abraços, Salhab 2008/7/31 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] Salhab, acho que você errou na leitura. A questão diz ATÉ 5 recheios. Então, para cada pastel, temos C(n,5) + C(n,4) + C(n,3) + C(n,2) + C(n,1) possibilidades Agora, será que vale pastel sem recheio? Continuando, teremos, para dois pasteis, [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2. Na verdade, como a ordem dos pastéis não importa, fica { [C(n,5)+C(n,4)+C(n,3)+C(n,2)+C(n,1)]^2 } /2 = 1024. Mas aí não dá. Vou ver se acho meu erro também. --- Olá Walter, Problema 1) Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de escolher os recheios, visto que a ordem não importa. Deste modo, temos n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um pastel... como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter: [C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32 logo: n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840 hmmm, vamos ver: n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10. n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8. n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser 7) n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7 não é fator de 3840... vou pensar melhor e procurar meu erro!! abraços, Salhab 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** -- -- Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
Pois é amigos... Descobri que o primeiro problema tem resposta 11. Sai pelo binômio de Newton com algo tipo: C(n,5)+...+C(n,1)=(1+1)^x e se não me engando 2.2^10 =2^x x=11 Claro para alguém? Para mim, ainda não... Abraços PS: Será para explicar a alunos de 11 a 13 anos, pode? Pois é... Em 01/08/08, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá,... vamos ver a segunda: vamos dizer que: (a+1)/b + (b+1)/a = u assim, multiplicando por ab, temos: a(a + 1) + b(b+1) = abu digamos que m = mdc(a, b)... vamos dividir por m^2... a(a + 1)/m^2 + b(b+1)/m^2 = abu/m^2 a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m * b/m * u Mas, a/m * (a+1)/m + b/m * (b+1)/m = a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m Agora, vamos analisar: a/m * b/m * u é inteiro, portanto, a/m*a/m + a/m*1/m + b/m*b/m + b/m*1/m deve ser inteiro. Neste último, a/m*a/m é inteiro e b/m*b/m é inteiro, logo: a/m*1/m + b/m*1/m = (a+b)/m^2 deve ser inteiro. Assim, se m^2 a+b, teríamos (a+b)/m^2 1, impossibilitando-o de ser inteiro. Logo, m^2 = a+b. [acho que para formalizar a solução acima, basta supor m^2 a+b e chegar ao absurdo] Agora, pq m^2 = a+b é um absurdo? bom, sabemos que a/m * b/m é inteiro... então, teríamos ab/(a+b) inteiro.. hmm.. ainda estou procurando o absurdo! hehehe vou ter que dar uma saída agora, mas depois tento continuar! abraços, Salhab 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro. Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** -- -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira www.professorwaltertadeu.mat.br
Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
*Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? cn,5+cn,4+cn,3+cn,2+cn,1+ cn,5*c(n-5,5)+cn,4*cn-4,4+cn,3*cn-3,3+cn,2*cn-2,2+cn,1*cn-1,1+cn,5*cn-5,4 2 pasteis iguais+ 2 pasteis diferentes+1 pastel com 5e um pastel com 4, eassim vai On 7/31/08, Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** --
Re: [obm-l] Duas questões olímpicas
Olá Walter, Problema 1) Se ele poderia conter até 5 recheios, então, ele tem C(n, 5) modos de escolher os recheios, visto que a ordem não importa. Deste modo, temos n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120 maneiras de escolher um pastel... como vamos escolher dois pastéis (e eles podem ser iguais), temos que ter: [C(n, 5)]^2 = 1024 ... C(n,5) = 32 logo: n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 120*32 = 5*4*3*2*2^5 = 5*3*2^8 = 3840 hmmm, vamos ver: n = 10 10*9*8*7*6 = 30240.. portanto, é menos que 10. n = 8... 8*7*6*5*4 = 6720.. portanto, é menos que 8. n = 6... 6*5*4*3*2 = 720... OPA! então é 7! ehehehhe (note que não pode ser 7) n = 7... 7*6*5*4*3 = 2520... uéh! era previsível que não era n=7, pois 7 não é fator de 3840... vou pensar melhor e procurar meu erro!! abraços, Salhab 2008/7/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Caros amigos... Duas questões da Espanha e Chile...alguma sugestão? Abraços *Problema 1:* *(Olimpíada do Chile)* * * Há um tempo atrás, uma pastelaria anunciou uma promoção especial na compra dos seus pastéis. Cada pastel poderia conter até 5 recheios dos que tinham na pastelaria. A gerência chegou a conclusão que havia 1024 maneiras de escolher dois pastéis. Quantos recheios distintos estavam disponíveis na pastelaria? *Problema 2:* *(Olimpíada da Espanha)* * * Os números naturais a e b são tais que a soma (a+1)/b + (b+1)/a é inteiro.Demonstre que o máximo divisor comum entre a e b é menor que ou igual a raiz (a+b). ** --