Re: [obm-l] Funcional equation
Pensei mais um pouco sobre o problema e acho que encontrei uma solução: 1. Todo polinômio que satisfaz a equação, exceto P(x)=x, tem apenas termos com expoente par: Se P(x) tem um termo de grau ímpar, digamos ax^n, podemos escrever P(x) = ax^n + Q(x) + c, onde c é uma constante diferente de 0 (já que c=0 implicaria P(x)=x, como mostrei no meu outro e-mail) Escrevemos então P(x^2+1)=(ax^n + Q(x) + c)^2+1 O lado esquerdo tem apenas termos com potências pares. O lado direito pode ser escrito como (a^2)x^(2n) + (Q(x))^2 + c^2 + 2cQ(x) + 2a(x^n)Q(x) + 2acx^n, que tem termo com grau ímpar 2acx^n, contradição. 2. Se P(x) satisfaz a equação, então Q(x)=P(sqrt(x-1)) também satisfaz: Temos P(x^2+1)=(P(x))^2+1. Pondo u=x^2+1, temos P(u)=(P(sqrt(u-1)))^2+1, ou P(u)=(Q(u))^2+1. Mas u=sqrt((u^2+1)-1), então P(u)=Q(u^2+1). Finalmente Q(u^2+1)=(Q(u))^2+1 Note que Q também é um polinômio: Já que P só pode ter termos com expoentes pares, P(sqrt(u-1)) vai cancelar as raízes. 3. O grau de P(x) deve ser uma potência de 2: Suponha que o grau de P(x) seja k2^n, onde k é ímpar. Aplique o lema anterior n vezes para obter um polinômio Q(x) de grau k. Mas soluções da equação funcional não podem ter termos de grau ímpar. Contradição. Finalmente, o meu último e-mail mostra que se f(x)=x^2+1, então x, e f^n(x), onde f^n é a iteração de f n vezes, todos satisfazem a equação, e f^n(x) é um polinômio de grau 2^n. Para concluir a solução, o @Esdras Muniz pode compartilhar a demonstração de que existe apenas uma solução por grau. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funcional equation
Vi um jeito de mostrar que só tem no máximo uma solução com grau n para cada n. Em ter, 10 de dez de 2019 00:11, Pedro Cardoso escreveu: > Minha intuição foi a seguinte, considere a sequência a_0=0 e > a_(n+1)=(a_n)²+1 > > Agora pomos P(0)=c > Pela equação funcional, P(0²+1)=c²+1 > E P((0²+1)²+1)=(c²+1)²+1 > > Em geral, se f(x)=x²+1, então > > P(a_n)=fⁿ(c), em que fⁿ é a iteração de f n vezes. > > Assim, se c=a_n para algum m natural, então vamos ter > > P(a_0)=a_n > P(a_1)=a_(n+1) > > E em geral, P(x)=fⁿ(x) > > Ainda não consegui provar que P não vai ser um polinômio se c não for > algum a_n > > Em seg, 9 de dez de 2019 22:43, Pedro Cardoso > escreveu: > >> Preciso pensar mais, mas suspeito que seja qualquer polinômio do tipo >> >> (...((x²+1)²+1)²...)²+1 >> >> Os primeiros são >> >> x >> x²+1 >> x⁴+2x²+2 >> ... >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funcional equation
Minha intuição foi a seguinte, considere a sequência a_0=0 e a_(n+1)=(a_n)²+1 Agora pomos P(0)=c Pela equação funcional, P(0²+1)=c²+1 E P((0²+1)²+1)=(c²+1)²+1 Em geral, se f(x)=x²+1, então P(a_n)=fⁿ(c), em que fⁿ é a iteração de f n vezes. Assim, se c=a_n para algum m natural, então vamos ter P(a_0)=a_n P(a_1)=a_(n+1) E em geral, P(x)=fⁿ(x) Ainda não consegui provar que P não vai ser um polinômio se c não for algum a_n Em seg, 9 de dez de 2019 22:43, Pedro Cardoso escreveu: > Preciso pensar mais, mas suspeito que seja qualquer polinômio do tipo > > (...((x²+1)²+1)²...)²+1 > > Os primeiros são > > x > x²+1 > x⁴+2x²+2 > ... > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funcional equation
Preciso pensar mais, mas suspeito que seja qualquer polinômio do tipo (...((x²+1)²+1)²...)²+1 Os primeiros são x x²+1 x⁴+2x²+2 ... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funcional equation
Sendo gr(p(x)) o grau do polinômio p(x), gr(p(x))² = 2gr(p(x)) -> Obs: Gr(p(x)) = a a² = 2a, a = 2, ou a=0 Logo, p(x) = c Ou p(x) = ax²+bx+c. Da primeira opção, trivial para c=c²+1. Da segunda opção, temos como aplicar na equação, de modo que nos dê um sistema 3x3. Abraços Em seg, 9 de dez de 2019 22:51, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá, como podemos achar todos os polinômios que satisfazem > > P(x^2+1)=[P(x)]^2+1 > > > Saudacoes > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
