Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Podemos fazer de modo elementar: Se A e B são matrizes de orden n , tais que AB=I == BA=I. BA=BIA=B(AB)A=(BA)(BA)=(BA)^2. Fazendo BA=S ,temos que S^2=S, como S=BA é invertível (produto de duas matrizes invertíveis , pois se AB=I é claro que det(AB)=detA.detB=1 e portanto detA e detB são não nulos e portanto A e B são invertíveis).Assim, se S^2=S, com S invertível, podemos multiplicar ambos os menbros por S^(-1) edaí temos que; S.S=S = [S^(-1).S].S=S^(-1).S = I.S=I = S=I, mas S=BA e portanto BA=I. Cgomes De fato, BA=BIA - Original Message - From: Jair Donadelli Junior [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 08, 2004 3:54 PM Subject: Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 08.10.04 15:54, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. Oi, Nicolau: Obrigado pela resposta. Voce iluminou um novo angulo do problema. Para o primeiro problema, eu havia pensado em usar um resultado que diz respeito as condicoes minimas necessarias para um semi-grupo ser um grupo. Acho que o Domingos mencionou algo a respeito. Em linguagem de matrizes seria o seguinte: Seja M um conjunto de matrizes quadradas nxn (n arbitrario), fechado em relacao ao produto usual de matrizes (que sabemos ser associativo) e com as seguintes propriedades: 1) Existe I em M tal que A*I = A, para toda A em M; 2) Para cada A em M, existe B em M tal que A*B = I. Entao, para cada A em M vale I*A = A e dada B tal que A*B = I, tem-se B*A = I. Tomemos A em M. Seja B tal que A*B = I. Como B estah em M, vai existir C em M tal que B*C = I. Entao, A = A*I = A*(B*C) = (A*B)*C = I*C. Logo, B*A = B*(I*C) = (B*I)*C = B*C = I. Alem disso, I*A = (A*B)*A = A*(B*A) = A*I = A. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
AB=I (AB)A=IA=A A(BA)=AIAgora tem que ver se da para cortar o A. Ah=cho que sim mas nao to com paciencia de concluir... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema a seguir eh trivial?Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.(I = matriz identidade)Problema adicional:Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemosdizer sobre BA?[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
