Ola Dirichlet e demais
colegas desta lista,
As hipoteses que voce esta usando
1) TRES PRIMOS dois a dois distintos
2) RAIZES CUBICAS
sao muito restritas ... Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e que
demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver isso
rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma
Y1 = A + B*N , N = {1,2,...}
Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta. Ja
a curva
Y2 = X^(1/N)
e convexa para X 0. Assim, para X 0, a reta Y1 so podera cortar a curva
Y2 em, no máximo, 2 pontos ... Claramente que isso sugere um enunciado do
tipo :
Sejam A, B e C tres reais quaisquer, positivos. Mostre que as suas raizes
N-esimas jamais poderao ser termos de uma mesma PA.
E claro que uma prova para este fato inclui, como caso particular, o
fenomeno que voce descreveu, vale dizer, o fato de que as raizes cubicas de
tres primos, dois a dois distintos, jamais poderao ser termos de uma mesma
PA.
Cuidado quando for delimitar as hipotese de trabalho ... AS RAIZES N-ESIMAS
DE POTENCIAS N-ESIMAS FORMAM UMA PA !
RESGUARDADAS AS DEVIDAS HIPOTESES, Uma caminho de demonstracao pode ser o
seguinte :
1) Supondo que A B C sao reais distintos e que RAIZ_N(A), RAIZ_N(B) e
RAIZ_N(C) sao PA entao existem naturais D, E e F tais que :
( RAIZ_N(B) - RAIZ_N(A))/(RAIZ_N(C) - RAIZ_N(B)) = (D-E)/(F-E)
2) O fato acima , acrescido de resultados basicos sobre semelhanca de
triangulo, vai implicar que as raizes N-esimas estao alinhadas ... isso vai
entrar em contradicao com o fato de Y2=X^(1/N) ser convexa. Os detalhes
ficam como exercicio.
E interessante registrar que muitas coisas que sao complicadas
analiticamente ficam simples quando olhamos para os graficos, que costumam
nos falar como se pronunciassem milhares de palavras. Para ver isso, respoda
o seguinte :
E verdade que para todo N 1 existem naturais A, B e C com A B C tais
que RAIZ_N(A), RAIZ_N+1(B) E RAIZ_N+2(C) estao em uma PA (reta) ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1304,250402
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Subject: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Date: Tue, 23 Apr 2002 17:22:53 -0300
Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam
ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA.
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