RE: [obm-l] Probabilidade 1/3
Não sei não, hein? Intuitivamente, acho que uma altura de ~ 1/3 do diâmetro não seria a configuração que daria chances iguais para todas as faces. Tinha pensado assim: Imaginem que o cilindro tocou o plano. Neste momento, o eixo está inclinado num ângulo Â, que pode variar de 0 a 360. Eu diria que poderíamos dividir os 360 graus em 3 conjuntos, de acordo com a face final que o dado apresentaria. Exemplificando: CARA: -60 a 60 graus FACE NOVA: de 60 a 120 graus União com 240 a 300 graus COROA: 120 a 240 graus. A idéia é que a soma das aberturas angulares de cada conjunto seja igual, ou seja, 120 graus para cada abertura. O ponto de inflexão, ou seja, o ângulo com que o cilindro muda de face quando cai completamente, ocorreria quando a reta normal, que sai do centro de massa do cilindro, encontra o ponto de contato. Ou seja, se a reta normal está à esquerda do ponto de contato, o cilindro irá rodar para aquele lado, e vice-versa. Neste caso, pelas minhas contas, H=d*tg30, algo que eu considero um pouco mais intuitivamente correto. O que acham? -Original Message- From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 19, 2003 11:34 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Probabilidade 1/3 on 19.11.03 21:41, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2 centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor. No caso do cilindro a esfera fica dividida em três partes, duas calotas polares correspondentes às duas faces e uma região tropical correspondente à superfície cilíndrica. As áreas destas regiões são proporcionais às alturas. Podemos tomar a esfera de diâmetro sqrt(h^2+d^2) e assim a região tropical tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8). Concordo! Eu havia olhado apenas pra secao transversal do cilindro e nao pro solido inteiro. Mais este modelo me parece muito simplista... sei lá... Tambem concordo, mas acho que a sua solucao eh a correta se supusermos que o choque da moeda com a superficie sobre a qual ela eh lancada for perfeitamente inelastico. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
On Wed, Nov 19, 2003 at 01:54:15AM -0200, Claudio Buffara wrote: Esse problema da divisao em 3 partes me faz lembrar um outro: Dispondo-se apenas de uma moeda honesta, como simular uma variavel aleatoria que pode assumir 3 valores distintos, cada um com probabilidade = 1/3? Temos três jogadores A, B, C. Se sair cara na primeira jogada, C já está fora. Se sair coroa na primeira jogada, A já está fora. No caso de sair cara na primeira jogada o jogo continua assim: Se cair cara na segunda jogada, A ganha. Caso contrário, se cair coroa na terceira jogada, B ganha. Caso contrário, se cair cara na quarta jogada, A ganha. ... No caso de sair coroa na primeira jogada o jogo continua assim: Se cair coroa na segunda jogada, C ganha. Caso contrário, se cair cara na terceira jogada, B ganha. Caso contrário, se cair coroa na quarta jogada, C ganha. ... Em outras palavras, eles jogam a moeda interpretanto cara como 0, coroa como 1 e a seqüência de algarismos como a expansão base 2 de um número real entre 0 e 1. A ganha se o número for menor do que 1/3 = .0101010101010...; C ganha se o número for maior do que 2/3 = .1010101010101...; B ganha se o número cair entre 1/3 e 2/3. Isto deixa bem claro que cada um tem probabilidade 1/3 de ganhar. É imediato generalizar este método para conseguir quaisquer probabilidades. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
Oi, Nicolau: Eu tinha pensado no seguinte: Joga-se a moeda 2 vezes: cara, cara: ninguem ganha cara, coroa: A ganha coroa, cara: B ganha coroa, coroa: C ganha. Se saiu (cara, cara), repete-se o procedimento, etc... Imagino que como 1/3 em base 2 eh necessariamente uma dizima periodica, nao existe solucao que garanta que o jogo termine num numero finito de iteracoes. * Um engracadinho a quem propus o problema deu a seguinte solucao: Fabrique uma moeda com espessura = (1/raiz(3))*diametro. Dai: P(cara) = P(coroa) = P(em peh) = 1/3. Um abraco, Claudio. on 19.11.03 07:38, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Wed, Nov 19, 2003 at 01:54:15AM -0200, Claudio Buffara wrote: Esse problema da divisao em 3 partes me faz lembrar um outro: Dispondo-se apenas de uma moeda honesta, como simular uma variavel aleatoria que pode assumir 3 valores distintos, cada um com probabilidade = 1/3? Temos três jogadores A, B, C. Se sair cara na primeira jogada, C já está fora. Se sair coroa na primeira jogada, A já está fora. No caso de sair cara na primeira jogada o jogo continua assim: Se cair cara na segunda jogada, A ganha. Caso contrário, se cair coroa na terceira jogada, B ganha. Caso contrário, se cair cara na quarta jogada, A ganha. ... No caso de sair coroa na primeira jogada o jogo continua assim: Se cair coroa na segunda jogada, C ganha. Caso contrário, se cair cara na terceira jogada, B ganha. Caso contrário, se cair coroa na quarta jogada, C ganha. ... Em outras palavras, eles jogam a moeda interpretanto cara como 0, coroa como 1 e a seqüência de algarismos como a expansão base 2 de um número real entre 0 e 1. A ganha se o número for menor do que 1/3 = .0101010101010...; C ganha se o número for maior do que 2/3 = .1010101010101...; B ganha se o número cair entre 1/3 e 2/3. Isto deixa bem claro que cada um tem probabilidade 1/3 de ganhar. É imediato generalizar este método para conseguir quaisquer probabilidades. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
On Wed, Nov 19, 2003 at 10:07:10AM -0200, Claudio Buffara wrote: Oi, Nicolau: Eu tinha pensado no seguinte: Joga-se a moeda 2 vezes: cara, cara: ninguem ganha cara, coroa: A ganha coroa, cara: B ganha coroa, coroa: C ganha. Se saiu (cara, cara), repete-se o procedimento, etc... Também é correto, claro. Imagino que como 1/3 em base 2 eh necessariamente uma dizima periodica, nao existe solucao que garanta que o jogo termine num numero finito de iteracoes. Realmente, em um número finito = N de iterações temos 2^N seqüências igualmente prováveis (se em algum caso o algoritmo mandar parar antes, continue jogando até completar N lançamentos mas ignore o resultado destes últimos lançamentos). Assim a probabilidade deve ser da forma a/2^N, a inteiro. Um engracadinho a quem propus o problema deu a seguinte solucao: Fabrique uma moeda com espessura = (1/raiz(3))*diametro. Dai: P(cara) = P(coroa) = P(em peh) = 1/3. E pq não construir uma moeda cúbica? Você pode escrever os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 nas faces e P(1 ou 2) = P(3 ou 4) = P(5 ou 6) = 1/3. Uma moeda assim é bem legal, acho que devemos inventar um nome para ela, que tal... :-) Mas mais seriamente não acho óbvio como calcular P(cara), P(coroa) ou P(em pé) para um cilindro. Nesta linha veja o problema 9 da OBM Sênior 2003: Um dado é um sólido com a forma de um poliedro convexo com um número impresso em cada face de tal forma que se forem apagados todos os números as faces se tornam indistinguíveis. Diga para quais valores de n é possível construir um dado de n faces com a propriedade de que para cada face há sempre uma outra face paralela. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
Mas mais seriamente não acho óbvio como calcular P(cara), P(coroa) ou P(em pé) para um cilindro. Abstraindo de todas as complicações físicas e de engenharia (atrito, choque elástico vs inelástico, imperfeições do cilindro e da superfície onde ele é jogado, etc.), me parece que um cilindro homogêneo com h = d*raiz(3) (e não h = d/raiz(3) como eu havia escrito antes) tem as três probabilidades iguais. Pra mim é claro que P(em pé) - 0 (1) quando h - 0 (+infinito). Logo, supondo que P(em pé) é uma função contínua de h (hipótese que não me parece tão absurda), deve haver h tal que P(em pé) = 1/3. Para um cilindro de altura = h e diâmetro = d, eu diria que P(em pé) = 1 - (2/Pi)*arctg(h/d). Eu simplesmente determinei o ângulo de contato entre o cilindro e a superfície para o qual o reta unindo o centro de massa ao ponto de contato é perpendicular à superfície. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
Parece divertido...Vou fazer em casa!"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote: On Wed, Nov 19, 2003 at 01:54:15AM -0200, Claudio Buffara wrote: Esse problema da divisao em 3 partes me faz lembrar um outro: Dispondo-se apenas de uma moeda honesta, como simular uma variavel aleatoria que pode assumir 3 valores distintos, cada um com probabilidade = 1/3?Temos três jogadores A, B, C.Se sair cara na primeira jogada, C já está fora.Se sair coroa na primeira jogada, A já está fora.No caso de sair cara na primeira jogada o jogo continua assim:Se cair cara na segunda jogada, A ganha.Caso contrário, se cair coroa na terceira jogada, B ganha.Caso contrário, se cair cara na quarta jogada, A ganhaNo caso de sair coroa na primeira jogada o jogo continua assim:Se cair coroa na segunda jogada, C ganha.Caso contrário, se cair cara na terceira jogada, B ganha.Caso contrário, se cair coroa na quarta jogada, C ganhaEm outras palavras, eles jogam a moeda interpretanto cara como 0,coroa como 1 e a seqüência de algarismos como a expansão base 2de um número real entre 0 e 1. A ganha se o número for menor do que1/3 = .0101010101010...; C ganha se o número for maior do que 2/3 = .1010101010101...; B ganha se o número cair entre 1/3 e 2/3.Isto deixa bem claro que cada um tem probabilidade 1/3 de ganhar.É imediato generalizar este método para conseguir quaisquer probabilidades.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
On Wed, Nov 19, 2003 at 05:59:39PM -0200, Cláudio (Prática) wrote: Mas mais seriamente não acho óbvio como calcular P(cara), P(coroa) ou P(em pé) para um cilindro. Abstraindo de todas as complicações físicas e de engenharia (atrito, choque elástico vs inelástico, imperfeições do cilindro e da superfície onde ele é jogado, etc.), me parece que um cilindro homogêneo com h = d*raiz(3) (e não h = d/raiz(3) como eu havia escrito antes) tem as três probabilidades iguais. Pra mim é claro que P(em pé) - 0 (1) quando h - 0 (+infinito). Logo, supondo que P(em pé) é uma função contínua de h (hipótese que não me parece tão absurda), deve haver h tal que P(em pé) = 1/3. Para um cilindro de altura = h e diâmetro = d, eu diria que P(em pé) = 1 - (2/Pi)*arctg(h/d). Eu simplesmente determinei o ângulo de contato entre o cilindro e a superfície para o qual o reta unindo o centro de massa ao ponto de contato é perpendicular à superfície. O modelo mais simples e razoavelmente realista que me ocorre é o seguinte: o sólido cai com uma orientação aleatória em R^3 (determinada por uma matriz aleatória de SO(3), o grupo das matrizes ortogonais, que tem uma única medida natural). Suponha que ele cai sem estar rodando e que ao encostar na mesa (ou chão, ou seja lá o que for) acaba indo repousar sobre a face sobre a qual cair a projeção vertical do centro de massa. Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2 centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor. No caso do cilindro a esfera fica dividida em três partes, duas calotas polares correspondentes às duas faces e uma região tropical correspondente à superfície cilíndrica. As áreas destas regiões são proporcionais às alturas. Podemos tomar a esfera de diâmetro sqrt(h^2+d^2) e assim a região tropical tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8). Mais este modelo me parece muito simplista... sei lá... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade 1/3
on 19.11.03 21:41, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2 centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor. No caso do cilindro a esfera fica dividida em três partes, duas calotas polares correspondentes às duas faces e uma região tropical correspondente à superfície cilíndrica. As áreas destas regiões são proporcionais às alturas. Podemos tomar a esfera de diâmetro sqrt(h^2+d^2) e assim a região tropical tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8). Concordo! Eu havia olhado apenas pra secao transversal do cilindro e nao pro solido inteiro. Mais este modelo me parece muito simplista... sei lá... Tambem concordo, mas acho que a sua solucao eh a correta se supusermos que o choque da moeda com a superficie sobre a qual ela eh lancada for perfeitamente inelastico. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
