Re: [obm-l] desigualdade ma = mg generalizada

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Se voce nao usou nada que seja parecudo com as
Desigualdades de Jensen, eu quero ver...

Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram
escritas?

 --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 

-
Oi a todos
Um fato interessante nao muito divulgado eh que a
desg. dasmedias aritmetica e geometrica pode ser
generalizada para medias ponderadasquando os numeros e
pesos sao positivos (ou, se preferirem, pode-se
dizerque a desigualdade das m. aritmetica e geometrica
eh um caso particular dasponderadas).

Se x_1,...x_n e p_1,p_n sao positivos, a
=(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i)  e g
=(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)),
entao a=g, havendoigualdade se, e somente se,
x_1=.x_n.

Eu comecei tentando fazeruma generalizacao baseada na
desigualdade ma = mg.  Se os p_i foremtodos inteiros,
entao a e g sao as  medias aritmetica e geometrica
doconjunto obtido quando cada x_i eh tomado p_i vezes.
Logo, neste caso valeque a=g com igualdade sse os x_i
forem iguais.
Se os p_i forem todosracionais, entao, considerando
cada p_i como a relacao entre dois inteirospositivos,
vemos facilmente que a e g  igualam-se a medias
aritmeticase geometricas ponderadas nas quais os pesos
sao inteiros positivos,caindo-se portanto no caso
anterior.  Assim, tambem no casoracional vale a
desigualdade procurada.
Se os p_i foremreais positivos quaisquer, entao, para
x_1, ...x_n fixos,as funcoes (p_1,p_n_ -
a(p_1,...p_n) e  (p_1,p_n_- g(p_1,...p_n) sao
continuas no subespaco de R^n formado pelospontos com
coordenadas positivas.  Se os x_i nao forem
todosidenticos, entao no subconjunto do R^n formado
pelos pontos comcoordenadas racionais e positivas
temos a(p_1,...p_n) g (p_1,p_n).Como este ultimo
conjunto eh denso no primeiro, temosque  a(p_1,...p_n)
=g (p_1,p_n) em todo o R^n comcorrdenadas
positivas. Isto prova a desigualdade mas nao prova que
aigualdade ocorre sse x_1 =x_n.  Por este caminho
naoconsegui completar a prova.
Consegui, entrtanto, uma prova completa, semsupor
conhecida a desigualdade ma = mg, baseada nas
propriedades dafuncao exponencial.
 Abracos
Artur


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Re: [obm-l] desigualdade ma = mg generalizada

[Artur Costa Steiner]

--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] wrote:

 Se voce nao usou nada que seja parecudo com as
 Desigualdades de Jensen, eu quero ver...
 
 Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram
 escritas?
 

Desta desigualdade generalizada eu ainda nao tinha
visto nenhuma prova, mas certamente existem varias.
Pela desigualdade de Jensen deve dar para sair, mas eu
dei uma outra demonstracao baseada nas propriedades da
funcao exponencial, muito semelhante a uma que mostra
que ma = mg.  

Sejam entao x_1,...x_n e p_1,p_n numeros 
positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) a
media aritmetica ponderada dos x_i's com relacao aos
p_i's e g =
=(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)) a
respectiva media geometrica ponderada.
Temos entao que a e g sao positivos. Para cada
i=1,...n, seja r_i o desvio relativo de x_i com
relacao a a, ou seja, a = (x_i - a)/a = x_i/a -1.
Verificamos entao facilmente que Soma(i=1,n) p_i*r_i =
0. 
Pelas propriedades da funcao exponencial, para cada
r_i
temos que e^(r_i) = 1+ r_i, havendo igualdade sse r_i
= 0. Da definicao de r_i, segue-se que e^(r_i) =
x_i/a, havendo igualdade sse x_i =a. Temos entao que
e^(p_i*r_i) = (e^(r_i))^p_i = (x_i/a)^p_i, com
igualdade sse x_i =a.
Multiplicando-se membro a membro a n desigualdades
obtidas variando-se i de 1 a n e observando que todos
os numeros emvolvidos sao positivos, concluimos que
Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) =
Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i). Em virtude do que vimos,
hah igualdade sse x_1 =...x_n =a.
Pelas propriedades da funcao exponencial, temos no 1o
membro que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) =
e^(Somai=1,n)(p_i*r_i)) = e^0 = 1. No segundo membro,
temos que 
Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i) =
(Produto(i=1,n)((x_i^p_i))/(a^(Soma(i=1,n))p_i))) =
(g^(Soma(i=1,n))p_i)))/a^(Soma(i=1,n))p_i))) =
(g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)).
Concluimos assim que 1 =  g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)), o
que significa simplesmente que a = g. Conforme vimos,
a igualdade ocorre sse x_1 = x_n.
Abracos
Artur



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