RE: [obm-l] o valor de x - continuacao
- sqr(17)]/2}
Observe que a primeira igualdade deve ser válida, pois ambos os membros são
positivos, mas a segunda não é válida, pois o primeiro membro é negativo e o
segundo membro é positivo. Porém, se os números forem simétricos (opostos
aditivos) na segunda igualdade, então ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornará verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[9/2 +/- sqr(17/4)] em radicais simples,
teremos:
A = 9/2 e B = 17/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(9/2)^2 - 17/4] = sqr(81/4
- 17/4) = sqr(64/4) = sqr(16) = 4.
Logo: sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2] = sqr[(9/2
+ 4)/2] + sqr[(9/2 - 4)/2] = sqr(17/4) +/- sqr(1/4) = [sqr(17) +/- 1]/2.
Portanto, na igualdade (i) os membros são iguais e na igualdade (ii) os
membros são simétricos (opostos aditivos):
(i) [1 + sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2} = [sqr(17) + 1]/2
(ii) [1 - sqr(17)]/2 = -[sqr(17) - 1]/2 != sqr{[9 - sqr(17)]/2} = [sqr(17) -
1]/2, mas {[1 - sqr(17)]/2}^2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}^2.
MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: [1 + sqr(17)]/2
x = [1 + sqr(17)]/2
Esta solução foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 - sqr(17)]/2
Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) = [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} = [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) = [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} = [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}
A análise do motivo de termos encontrado a terceira raiz eliminada é
idêntica à análise do motivo de termos encontrado a segunda raiz eliminada,
uma vez que as igualdades (i) e (ii) da segunda raiz eliminada são idênticas
às igualdades (ii) e (i), respectivamente, da terceira raiz eliminada.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: sexta-feira, 4 de junho de 2004 13:13
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
on 04.06.04 06:32, Rogério Moraes de Carvalho at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Claudio,
Originalmente, eu resolvi esta questão usando a mesma idéia
apresentada como quarta solução pelo Fabio, porém eu analisei as condições
que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as
transformações
no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das
soluções
encontradas. É importante ressaltar que na resolução de uma equação
irracional no campo dos reais, a análise da condição de existência é tão
importante quanto o fato de encontrar uma equação polinomial
equivalente.
Pois, esta equivalência quase sempre é parcial, ou seja, geralmente apenas
algumas raízes são compartilhadas.
Tudo bem. Concordo. Alias, uma das principais licoes desse problema eh
justamente essa: depois de resolver uma equacao onde coisas foram elevadas
ao quadrado, eh fundamental checar para ver se as solucoes encontradas sao,
de fato, solucoes da equacao original.
Mas voce nao respondeu a minha pergunta: de onde vieram as tres raizes
adicionais, especialmente a outra raiz positiva.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
Oi, Rogerio: Eu tinha em mente uma explicacao um pouco mais sucinta, mas tudo bem. Quando elevamos ao quadrado a equacao: raiz(5 - raiz(5 - x)) = x e obtemos: 5 - raiz(5 - x) = x^2 == 5 - x^2 = raiz(5 - x), estaremos adicionando ao conjunto de raizes da equacao original, as raizes da equacao: raiz(5 - raiz(5 - x)) = |x|, uma vez que raiz(x^2) nao eh igual a x, mas sim igual a |x|. Se exigirmos que x 0, obteremos a raiz (-1+raiz(21))/2. Mas se permitirmos que x 0 (caso que eh proibida pela equacao original, jah que raiz quadrada de numero positivo eh positiva), obteremos tambem a raiz (-1-raiz(17))/2. Isso ocorre porque elevar uma equacao ao quadrado nao eh, em geral, uma operacao reversivel, ou seja, em geral vale apenas a implicacao: A = B == A^2 = B^2 mas nao a implicacao oposta: A^2 = B^2 == A = B. O mesmo tipo de analise pode ser feito quando elevamos a equacao: 5 - x^2 = raiz(5 - x) ao quadrado e obtemos aquele polinomio de quarto grau. Ao fazer isso, adicionamos as raizes (1+raiz(21))/2 e (-1-raiz(17))/2. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] o valor de x - continuacao
Olá Claudio,
Originalmente, eu resolvi esta questão usando a mesma idéia
apresentada como quarta solução pelo Fabio, porém eu analisei as condições
que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as transformações
no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das soluções
encontradas. É importante ressaltar que na resolução de uma equação
irracional no campo dos reais, a análise da condição de existência é tão
importante quanto o fato de encontrar uma equação polinomial equivalente.
Pois, esta equivalência quase sempre é parcial, ou seja, geralmente apenas
algumas raízes são compartilhadas.
PROBLEMA:
Resolva no campo dos reais s seguinte equação: sqr(5 - sqr(5 - x)) = x.
RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARA O PROBLEMA:
Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)
Seguem as condições que permitem a equivalência das igualdades (i) e (ii)
mesmo após elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y = 0 e 5 - x = 0 = x = 5 (iii)
Igualdade (ii): x = 0 e 5 - y = 0 = y = 5 (iv)
Das condições (iii) e (iv), chegamos a uma condição geral:
0 = x = 5 e 0 = y = 5 (v).
Se for satisfeita a condição geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x = y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y = x^2 + y = 5 (vii)
Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y = y^2 - x^2 - y + x = 0 = (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
= (y - x)(y - x - 1) = 0 = y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)
Substituindo a (viii) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - x = x^2 + x - 5 = 0 = x = [-1 +/- sqr(21)]/2
Verificando se as soluções satisfazem a condição geral (v):
x = [-1 - sqr(21)]/2 (Não satisfaz, pois x 0)
x = [-1 + sqr(21)]/2 (Satisfaz, pois 0 = x = 5. Observe que 0 = y = 5
uma vez que pela igualdade (viii) y = x.)
Substituindo a (ix) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - (1 - x) = x^2 - x - 4 = 0 = x = [1 +/- sqr(17)]/2
Verificando se as soluções satisfazem a condição geral (v):
x = [1 - sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois x 0)
x = [1 + sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condição geral 0 = x = 5 não satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x = y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 = y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y 0.)
Resposta:
x = [-1 + sqr(21)]/2
Conjunto solução no campo dos reais: S = {[-1 + sqr(21)]/2}
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: quinta-feira, 3 de junho de 2004 22:34
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] o valor de x - continuacao
Em todas as solucoes que o Fabio apresentou, aparecem as equacoes:
x^2 + x - 5 = 0
e
x^2 - x - 4 = 0
As raizes da primeira sao: (-1+raiz(21))/2 e (-1-raiz(21))/2
As da segunda sao: (1+raiz(17))/2 e (1-raiz(17))/2
Examinando a equacao original: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x,
observamos que x e 5 - x precisam ser nao-negativos.
Ou seja, temos que ter 0 = x = 5.
Isso elimina as raizes (-1-raiz(21))/2 e (1-raiz(17))/2.
No entanto, verificamos que apenas (-1+raiz(21))/2 satisfaz a equacao
original.
O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original.
[]s,
Claudio.
on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote:
biper said:
Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei
que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai:
Calcule o valor de x para:
[5 - (5 - x)1/2]1/2 = x
Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí
mesmo?
[...]
Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias
soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 -
sqrt(5 - x)) = x).
Primeira solução:
Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
Ralph, a mais bonita e natural de todas.
Abra tudo:
sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =
5 - sqrt(5 - x) = x^2 =
sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =
5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =
x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.
Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação
do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio...
Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x)
= x = x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5
divida o polinômio em que chegamos. E, de fato,
x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é
trivial.
Segunda solução:
Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil
ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado,
ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo
grau, i.e.
x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
Abrindo o lado direito,
x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd
Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que
(1) a + c = 0
(2) b + d + ac = -10
(3) ad +
Re: [obm-l] o valor de x
on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x. Primeira solução: Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega Ralph, a mais bonita e natural de todas. Abra tudo: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x = 5 - sqrt(5 - x) = x^2 = sqrt(5 - x) = 5 - x^2 = 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 = x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio... Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x) = x = x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5 divida o polinômio em que chegamos. E, de fato, x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial. Tai uma coisa (dentre varias) que eu aprendi aqui na lista: Esse metodo eh geral e aplicavel a qualquer equacao da forma F(F(x)) = x. Uma condicao suficiente para que x = a seja uma raiz de F(F(x)) = x eh que F(a) = a, pois nesse caso, F(F(a)) = F(a) = a. Presume-se que F(x) = x seja uma equacao mais facil de se resolver. No caso presente, F(x) = raiz(5 - x) e o metodo funciona muito bem. Por outro lado, a condicao F(a) = a nao eh necessaria para que a seja uma raiz de F(F(x)) = x. Por exemplo, tome F(x) = 1 - x^2. Entao, F(F(x)) = x == 1 - (1 - x^2)^2 = x == x^4 - 2x^2 + x = 0 == raizes: 0, 1, (-1-raiz(5))/2, (-1+raiz(5))/2 Claramente, 0 e 1 nao sao raizes de F(x) = x == x^2 + x - 1 = 0. Outro exemplo, mais simples e mais extremo: F(x) = -x. Qualquer numero real ou complexo satisfaz a F(F(x)) = x. Por outro lado, a unica raiz de F(x) = x eh x = 0 (a menos que estejamos trabalhando em Z_2, mas dai jah eh apelar um pouco). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
on 04.06.04 06:32, Rogério Moraes de Carvalho at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Claudio, Originalmente, eu resolvi esta questão usando a mesma idéia apresentada como quarta solução pelo Fabio, porém eu analisei as condições que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as transformações no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das soluções encontradas. É importante ressaltar que na resolução de uma equação irracional no campo dos reais, a análise da condição de existência é tão importante quanto o fato de encontrar uma equação polinomial equivalente. Pois, esta equivalência quase sempre é parcial, ou seja, geralmente apenas algumas raízes são compartilhadas. Tudo bem. Concordo. Alias, uma das principais licoes desse problema eh justamente essa: depois de resolver uma equacao onde coisas foram elevadas ao quadrado, eh fundamental checar para ver se as solucoes encontradas sao, de fato, solucoes da equacao original. Mas voce nao respondeu a minha pergunta: de onde vieram as tres raizes adicionais, especialmente a outra raiz positiva. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o valor de x
biper said: Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai: Calcule o valor de x para: [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí mesmo? [...] Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x). Primeira solução: Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega Ralph, a mais bonita e natural de todas. Abra tudo: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x = 5 - sqrt(5 - x) = x^2 = sqrt(5 - x) = 5 - x^2 = 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 = x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio... Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x) = x = x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5 divida o polinômio em que chegamos. E, de fato, x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial. Segunda solução: Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado, ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo grau, i.e. x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d). Abrindo o lado direito, x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que (1) a + c = 0 (2) b + d + ac = -10 (3) ad + bc = 1 (4) bd = 20 De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poderíamos quebrar em casos, mas note que os dois casos são extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores do polinômio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de generalidade, a = d - b = 1. Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que d = -4 e b = -5, o que é consistente com (4). Logo x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Terceira solução: Novamente, abra tudo, mas faça, inicialmente, a substituição 5 = a. Nossa equação torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porquê dessa substituição ficará claro daqui a pouco). Abra tudo: x^2 = a - sqrt(a - x) = a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 = x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 = (rearrumando os termos) a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0. Isso é uma equação de segundo grau em a. Seu discriminante é 1 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 - 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x. Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0. Quarta solução: Seja y = sqrt(5 - x). Então sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x. Subtraindo as duas equações, x^2 - y^2 = x - y = (x - y)(x + y - 1) = 0. Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x = x^2 + x - 5 = 0 ou sqrt(5 - x) = 1 - x = x^2 - x - 4 = 0. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] o valor de x
Olá Felipe; [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x = 2x=5-5/2+x/2 = 1,5x=5/2= x=5/3 Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí mesmo? Um abraço a todos Felipe ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
