Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Ola' pessoal, queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta do recado, antes que o XP entre no ar...:-) Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho ! Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao bem comportada y=f(x) , a aplicacao sucessiva de x2 = x1 - y1/ f'(x1) a partir de um ponto x1 , que esteja na vizinhanca de uma raiz de f(x) , nos leva 'a propria raiz. Considerando nossa funcao y=2^x - x^2 temos que x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x ) Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1. Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 . Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536 Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.7491 , e na quarta iteracao x2=-0.74696 . Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma calculadora barata... []'s Rogerio Ponce Érica Gualberto Pongelupe [EMAIL PROTECTED] escreveu:Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: rumoaoita.com Júlio Sousa -- - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Oi, Ponce, Adorei, mas depois neguinho te chama de velho e você não pode reclamar. Mas que tavam complicando ah... lá isto isto tavam Método de Newton (acho que tinha um tal de Raphson também, ou tô caduco?), ora pipocas, como diria minha velha... Grandes abraços, Nehab At 11:30 16/6/2007, you wrote: Ola' pessoal, queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta do recado, antes que o XP entre no ar...:-) Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho ! Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao bem comportada y=f(x) , a aplicacao sucessiva de x2 = x1 - y1/ f'(x1) a partir de um ponto x1 , que esteja na vizinhanca de uma raiz de f(x) , nos leva 'a propria raiz. Considerando nossa funcao y=2^x - x^2 temos que x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x ) Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1. Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 . Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536 Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.7491 , e na quarta iteracao x2=-0.74696 . Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma calculadora barata... []'s Rogerio Ponce Érica Gualberto Pongelupe [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: http://www.rumoaoita.com/rumoaoita.com Júlio Sousa -- Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomissoYahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você verá que obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizes desta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2 se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Seja a funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 - ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerda de e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que f passa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Desta forma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em (e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo e que lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma uma unica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma uma unica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , para a0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes em R. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x = ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexas nao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: http://www.rumoaoita.comrumoaoita.com Júlio Sousa
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio),Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok.Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0).Abraços,Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.Serah que hah outras raizes complexasnao reais?Artur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Julio SousaEnviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: rumoaoita.com Júlio Sousa --
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
eu já vi na HP que tem 3 raízes. Mas queria saber como chegar nelas de algum jeito. Abraço! On 6/15/07, Érica Gualberto Pongelupe [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur -Mensagem original- *De:* [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] ]*Em nome de *Julio Sousa *Enviada em:* quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: rumoaoita.com http://www.rumoaoita.com/ Júlio Sousa -- -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Um jeito é usando método numérico, a raiz é próxima de -0.74695962123 usando o Matlab. Interessante seria se alguém pudesse determinar analiticamente ou se provasse que assim não dá. Ojesed. - Original Message - From: Julio Sousa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 15, 2007 11:13 PM Subject: Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2 eu já vi na HP que tem 3 raízes. Mas queria saber como chegar nelas de algum jeito. Abraço! On 6/15/07, Érica Gualberto Pongelupe [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: rumoaoita.com Júlio Sousa -- -- Atenciosamente Júlio Sousa
