Resposta do problema 3:
(XYZ) representa o angulo entre os segmentos de reta XY e YZ.
Seja AQB um triângulo com AQ = 6, BQ = 10, AB = k, com Q exterior a ABC.
Ora, AQB é semelhante a APC (na verdade, sao até congruentes), donde:
(BAQ) = (CAP) (I)
Como o triângulo ABC é equilátero:
(CAB) = 60 graus = (CAP) + (PAB)(II)
De I e II vem:
60 graus = (CAP) + (PAB) = (BAQ) + (PAB) = (PAQ) (III)
Do triângulo APQ vem;
(AQP) + (QPA) + (PAQ) = 180 graus (IV)
Mas AQ = AP, logo:
(AQP) = (QPA) = x(V)
De III, IV e V, vem:
x + x + 60 = 180 -- 2x = 120 -- x = 60 graus, donde:
O triângulo AQP é equilátero de lado 6 -- AQ = AP = PQ = 6
Como PQ = 6, BP = 8 e BQ = 10, aplicamos a lei dos cossenos em (BPQ):
10^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos((BPQ))
2*6*8*cos((BPQ)) = 0 -- cos((BPQ)) = 0 (VI)
Como (BPQ) está entre 0 e 180 graus (exclusos), de VI podemos concluir que:
(BPQ) = 90 graus
(BPA) = (BPQ) + (APQ) = 90 + 60 = 150 graus
Aplicando a lei dos cossenos em (BPA), vem:
k^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(150)
k^2 = 36 + 64 - 96 * (-sqrt3)/2 = 100 + 48sqrt3
k = sqrt(100 + 48sqrt3) ~= 13,53286514
Espero ter ajudado,
[ ]'s
Alexandre Terezan
-Mensagem Original-
De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:02 Terezan
Assunto: Re: ajuda (ERRATA)
On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote:
Ops!, Cometi alguns equívocos:
2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...?
Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o
somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos
resolver a inequação:
x(x+1)/2 = 496, x0
Isso dá
x = 31,5
Portanto o 496o. termo da sequência é 32
Errei as contas. É x=31. Então o 496o. termo é 31.
3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que
AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC.
Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias
de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a
2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim?
Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de
qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura.
Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-(
Até mais
Vinciius
