[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Hmmm será que eu me arrisco a responder essas questões?
Vou apenas tentar ajudar. Primeiro um tensor é
como se fosse um produto de vetores (só que esses vetores
pertencem a espaços diferentes) e por isso até hoje nunca vi algo que
pudesse representar um tensor graficamente.
Imagine por exemplo o sistema de coordenadas no plano com os vetores
e_1, e_2. Um vetor teria a forma
u = a_1e_1 + a_2e_2
Imagine agora o sistema de coordenadas na esfera, com os vetores
e^1, e^2. Um vetor teria a forma
v = b_1 e^1 + b_2e^2
Vc poderia fazer o produto externo desses dois vetores e obter:
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] +
c_22 [e_2 (x) e^2]
Note que vc obteve uma entidade cuja
base é { [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1], [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.
Da mesma forma que ocorre quando mudamos o sistema de bases de um vetor e
as
componentes desse se transformam, quando mudamos a base de um tensor, as
componentes
desse tensor também sofrem transformação.
Uma coisa a notar é que somente usamos tensor, quando a relação entre
dois vetores
é anisotrópica, isto é, suponha que o módulo da aceleração (vetor) dependa
da
direção da força (ângulo phi) e que o módulo da foça por sua vez, dependa da
direção da aceleração (ângulo psi). A relação entre as duas
componentes depende da direção e a representação
vetorial delas não é adequada:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
Uma componente invariante é aquela que não muda quando mudamos o sistema de
coordenadas.
Um tensor de ordem 2 tem 4 componentes.
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
O que é um desviador?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Acho que esse material pode ajudar melhor:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf
Notice that the effect of multiplying the unit vector by the scalar is to
change the magnitude fromunity to something else, but to leave the direction
unchanged. Suppose we wished to alter both the magnitude and the direction
of a given vector. Multiplication by a scalar is no longer sufficient.
Forming the cross product with another vector is also not sufficient, unless
we wish to limit the change in direction to right angles. We must find and
use another kind of mathematical 'entity.'
- Original Message -
From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, May 07, 2006 8:25 PM
Subject: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá pessoal da lista!!!
Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00,1]
[ 0,1 0 ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
[ 0 -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
[ 0,08 0,05 ]
5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00 0 ]
[ 0 0,1 0]
[ 0 0 -0,1]
b) {Eij} = [ 00,08 0]
[0,08 0 0]
[ 0 0 0]
Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.
Agradeço a atenção de todos,
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Olá pessoal, Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava frequentemente no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre que era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela. Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título Empilhando quadrados. Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista apenas para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito é compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a coloco diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a envolvem. Bruno Bonagura = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação cuidadosa. Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p inteiro, dos n primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k) = p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton, temos: (n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) +Bin(p,k)n^k ...+ 1 (n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1 . . (1+ 1)^p n = 1 + p+ Bin(p,k)..+1 Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes algebricas um tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a formula das potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das potencias p eh dada por um polinomio em n do grau p+1. Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar, podemos generalizar este processo para obter a formula da soma das potencias de ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica. Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1 em n ( que pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos coeficientes do polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de equacoes lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia. De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3) = (S(n,1))^2 = (n*(n+1)/2)^2 Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Bonagura Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais Olá pessoal, Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava frequentemente no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre que era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela. Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título Empilhando quadrados. Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista apenas para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito é compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a coloco diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a envolvem. Bruno Bonagura = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Bruno Bonagura wrote: Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título Empilhando quadrados. Procura um livro chamado Concrete Mathematics, do Knuth, ele tem praticamente um capítulo inteiro só com diferentes demonstrações dessa fórmula, incluindo algumas similares à sua. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Já havia visualizado este documento. É um link de referência de
tensores da Wikipedia não é?
Obrigado novamente. Continuarei estudando.
Abraços!!!
On 5/8/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que esse material pode ajudar melhor:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf
Notice that the effect of multiplying the unit vector by the scalar is to
change the magnitude fromunity to something else, but to leave the direction
unchanged. Suppose we wished to alter both the magnitude and the direction
of a given vector. Multiplication by a scalar is no longer sufficient.
Forming the cross product with another vector is also not sufficient, unless
we wish to limit the change in direction to right angles. We must find and
use another kind of mathematical 'entity.'
- Original Message -
From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, May 07, 2006 8:25 PM
Subject: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá pessoal da lista!!!
Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00,1]
[ 0,1 0 ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
[ 0 -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
[ 0,08 0,05 ]
5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00 0 ]
[ 0 0,1 0]
[ 0 0 -0,1]
b) {Eij} = [ 00,08 0]
[0,08 0 0]
[ 0 0 0]
Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.
Agradeço a atenção de todos,
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá Ronaldo!!!
Agradeço a resposta, mas acho que fiquei em dúvida sobre as
informações que você passou. Coloquei os comentários entre o texto que
você havia respondido.
On 5/8/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Hmmm será que eu me arrisco a responder essas questões?
Vou apenas tentar ajudar. Primeiro um tensor é
como se fosse um produto de vetores (só que esses vetores
pertencem a espaços diferentes) e por isso até hoje nunca vi algo que
pudesse representar um tensor graficamente.
Imagine por exemplo o sistema de coordenadas no plano com os vetores
e_1, e_2. Um vetor teria a forma
u = a_1e_1 + a_2e_2
Imagine agora o sistema de coordenadas na esfera, com os vetores
e^1, e^2. Um vetor teria a forma
v = b_1 e^1 + b_2e^2
Vc poderia fazer o produto externo desses dois vetores e obter:
Não entendi como fazer o produto externo entre vetores de dimensão 2.
Geralmente o produto externo, ou vetorial, entre dois vetores de
dimensão 3 é feito calculando o seguinte determinante:
[ i j k ]
[ a1 a2 a3]
[ b1 b2 b3]
Fornecendo um outro vetor que é perpendicular aos vetores A(a1, a2,
a3) e B(b1, b2, b3).
Caso eu esteja errado me corrija.
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] +
c_22 [e_2 (x) e^2]
Note que vc obteve uma entidade cuja
base é { [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1], [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.
Da mesma forma que ocorre quando mudamos o sistema de bases de um vetor e
as
componentes desse se transformam, quando mudamos a base de um tensor, as
componentes
desse tensor também sofrem transformação.
Uma coisa a notar é que somente usamos tensor, quando a relação entre
dois vetores
é anisotrópica, isto é, suponha que o módulo da aceleração (vetor) dependa
da
direção da força (ângulo phi) e que o módulo da foça por sua vez, dependa da
direção da aceleração (ângulo psi). A relação entre as duas
componentes depende da direção e a representação
vetorial delas não é adequada:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Já tinha acessado essa URL mas não consegui encontrar informações para
resolver as questões.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
Uma componente invariante é aquela que não muda quando mudamos o sistema de
coordenadas.
Um tensor de ordem 2 tem 4 componentes.
De acordo com a teoria de tensores, ordem 2 é o mesmo que rank 2. Um
tensor de rank 0 é um escalar, rank 1 um vetor, rank 2 uma matriz e
rank 3 um cubo. Assim, um tensor de ordem 2 tem nove componentes.
Se eu não estiver certo me corrija.
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).
Não entendi. Poderia ser mais elucidativo.
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
O que é um desviador?
Também gostaria de saber.
Novamente agradeço a atenção. Esta disciplina é muito complicada,
exigindo muitos conceitos para um bom entendimento. Irei continuar
estudando e ao surgirem mais dúvidas postarei aqui.
Obrigado!!!
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Bruno, creio que esse topico já foi bastante debatido aqui na lista, consulte os logs da mesma. Mesmo assim nao hesito em mostrar uma maneira que vi um profº fazer. Irei reproduzir o S_2 (soma dos quadrados). É facil reproduzir os demais. O triangulo de Pascal: 1 1x1=1=1^2 1 1- 1x1+ 3x1=4=2^2 1 2 1-- 1x1+ 3x2+ 2x1=9=3^2 1 3 3 1--- 1x1+3x3+ 2x3=16=4^2 1 4 6 4 1 1x1+3x4+2x6=25=5^2 1 5 10 10 5-1x1 +3x5+2x10=36 =6^2 Note que: Binom(k,0)+3Binom(k,1)+2Binom(k,2)=1+3k+k(k-1)=(k+1)^2 Sum(1,n)[j^2]=Sum(0,n-1)[j+1]^2 = Sum(0,n-1)[Binom(k,0) +3Binom(k,1)+2Binom(k,2)] =Sum(0,n-1)Binom(k,0) +3Sum(0,n-1)Binom(k,1) +2Sum(0,n-1)Binom(k,2) =Binom(n,1) +3Binom(n,2) +2Binom(n,3)= n(2n+1)(n+1)/6 Não sei se a minha notação está correta, portanto fica ai tradução: Binom(n,p)=n!/(n-p)!p! Sum(1,n)[j^2]= Somatorio de j quadrado com j variando de 1 a n. Júnior. Em 08/05/06, Bruno Bonagura [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal,Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e suafórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar talfórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava frequentemente no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito algunsfóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre queera questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muitaatenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela.Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos dobanheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultaralgo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassempossíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está naliteratura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título Empilhandoquadrados.Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista apenas para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito écompartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a colocodiretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que aenvolvem. Bruno Bonagura=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
