A princípio, não há nada que garanta que f seja derivável ou mesmo que o
limite exista para esta prova valer. Mas, de fato, se o domínio está
restrito a Q, você pode mostrar que f(x) = ax para algum a. Um caminho é
definir f(1) = a e mostrar que f(1/n) = a/n, para então chegar em f(m/n) =
ma/n.
Se vc adicionar a hipótese de que f é contínua em algum real x0, a conclusão
desejada torna-se válida.
Se vc quiser elocubrar um pouco, pode seguir os seguintes passos,:
Mostre que continuidade em x0 implica continuidade em 0 que, por sua vez,
implica continuidade em toda a reta real.
Mostre que
f(x) = ax + b só satisfaz isso se b = 0.
Tente com x+1, por exemplo.
E mais: sem alguma outra condição (do tipo continuidade ou monotonicidade)
ainda assim a expressão não implica que f(x) = ax.
Abs,
Cláudio.
Enviado do meu iPhone
> Em 5 de mai. de 2021, à(s) 09:13, joao pedro b menezes
>
Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com essa
expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e decidi
provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que implica).
Essa prova estaria certa?:
(obs: a função é definida nos racionais)
f(x +
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