Pensei mais um pouco sobre o problema e acho que encontrei uma solução:
1. Todo polinômio que satisfaz a equação, exceto P(x)=x, tem apenas termos
com expoente par:
Se P(x) tem um termo de grau ímpar, digamos ax^n, podemos escrever P(x) =
ax^n + Q(x) + c, onde c é uma constante diferente de 0 (já
Vi um jeito de mostrar que só tem no máximo uma solução com grau n para
cada n.
Em ter, 10 de dez de 2019 00:11, Pedro Cardoso
escreveu:
> Minha intuição foi a seguinte, considere a sequência a_0=0 e
> a_(n+1)=(a_n)²+1
>
> Agora pomos P(0)=c
> Pela equação funcional, P(0²+1)=c²+1
> E
Minha intuição foi a seguinte, considere a sequência a_0=0 e
a_(n+1)=(a_n)²+1
Agora pomos P(0)=c
Pela equação funcional, P(0²+1)=c²+1
E P((0²+1)²+1)=(c²+1)²+1
Em geral, se f(x)=x²+1, então
P(a_n)=fⁿ(c), em que fⁿ é a iteração de f n vezes.
Assim, se c=a_n para algum m natural, então vamos ter
Preciso pensar mais, mas suspeito que seja qualquer polinômio do tipo
(...((x²+1)²+1)²...)²+1
Os primeiros são
x
x²+1
x⁴+2x²+2
...
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Sendo gr(p(x)) o grau do polinômio p(x),
gr(p(x))² = 2gr(p(x)) ->
Obs: Gr(p(x)) = a
a² = 2a, a = 2, ou a=0
Logo,
p(x) = c
Ou
p(x) = ax²+bx+c.
Da primeira opção, trivial para c=c²+1.
Da segunda opção, temos como aplicar na equação, de modo que nos dê um
sistema 3x3. Abraços
Em seg, 9 de dez
5 matches
Mail list logo
