[obm-l] Resultado Brasileiro
Caros Amigos da lista: *** Resultado IMO-2002 O Brasil ficou com 5 medalhas de bronze e 1 de prata na IMO. Os cortes foram os seguintes: Ouro - 29 Prata - 23 Bronze - 14 Confirmando: BRA 1 Alex (RJ) - Bronze - 18 BRA 2 Larissa (CE) - Prata - 27 BRA 3 Guilherme (SP) - Bronze - 17 BRA 4 Yuri (CE) - Bronze - 20 BRA 5 Davi (CE) - Bronze - 21 BRA 6 Thiago (CE) - Bronze - 20 Paulo José = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] pergunta
Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte: Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um quadrado é um retângulo? Um quadrado é um losando de lados iguais? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] problemas
So se pode determinar se alguma das afirmacoes abaixo eh verdadeira ou falsa tendo definicoes em que se apoiar. Considere entao as seguntes definicoes: 1) Dois planos sao paralelos quando nao possuem ponto comum. 2) Uma reta e um plano sao paralelos quando nao possuem ponto comum. Com estas definicoes temos: a) Falsa como ja explicou David. b) Verdadeira. c) Verdadeira. d) Verdadeira. e) Falsa. A reta pode estar contida em um dos planos. Como voce pode ver, tudo depende de que definicao adotamos para paralelismo de planos e de reta e plano. 2.Qual das proposições abaixo é falsa? a) As intersecções de dois planos paralelos, com um tereciro plano,são retas paralelas. Isso já é falso, pois não se sabe se o terceiro plano é distinto dos outros dois. David b) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta contida em um deles é paralela ao outro plano. c) Um plano B , paralelo a outro plano X por um ponto x não pertencente a X, é único. d) dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si. e) se dois planos sÃo paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ao outro. ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Notícias da IMO 3
O Brasil ficou com 5 medalhas de bronze e 1 de prata na IMO. Os cortes foram os seguintes: Ouro - 29 Prata - 23 Bronze - 14 Confirmando: BRA 1 Alex (RJ) - Bronze - 18 BRA 2 Larissa (CE) - Prata - 27 BRA 3 Guilherme (SP) - Bronze - 17 BRA 4 Yuri (CE) - Bronze - 20 BRA 5 Davi (CE) - Bronze - 21 BRA 6 Thiago (CE) - Bronze - 20 Paulo José --- UOL Eleições 2002 - Todos os lances da disputa política http://eleicoes.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] problemas
Nao aguento resistir a tentaçao (alias, ja dizia Oscar Wilde, pode-se resistir a tudo, menos a tentaçao) de comentar a questao 2. Sao lastimavel moda em vestibulares de Sao Paulo essas pegadinhas que supostamente cobrariam do candidato rigor de linguagem e em verdade sao apenas exemplos de mau uso da lingua portuguesa. Eh claro que a intençao do autor da pegadinha foi muito bem captada pelo David, mas, se o terceiro plano nao for distinto dos outros dois, nao seria um TERCEIRO plano, nao? Morgado David Turchick wrote: 1.Sendo x= (((-1)^k )* pi/6)+ k*pi sen x vale quanto? k inteiro, né? Se k for par, digamos k=2*n, então x=Pi/6+2*n*Pi, e senx=sen(Pi/6)=1/2. Se k for ímpar, digamos k=2*n+1, então x=-Pi/6+2*n*Pi+Pi, e tb senx=sen(5*Pi/6)=1/2. 2.Qual das proposições abaixo é falsa? a) As intersecções de dois planos paralelos, com um tereciro plano,são retas paralelas. Isso já é falso, pois não se sabe se o terceiro plano é distinto dos outros dois. David b) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta contida em um deles é paralela ao outro plano. c) Um plano B , paralelo a outro plano X por um ponto x não pertencente a X, é único. d) dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si. e) se dois planos sÃo paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ao outro. ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] pergunta - QUADRADO
Caro Rafael, Um quadrado não deve, mas pode ser chamado de retângulo de lados iguais , e não deixa de ser ainda um losango de ângulos iguais. Mas por ser um polígono regular, ele é rei entre os quadriláteros notáveis (risos). Abraços, Zé Luiz rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: cc: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] pergunta .puc-rio.br 28/07/2002 23:48 Favor responder a obm-l Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte: Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um quadrado é um retângulo? Um quadrado é um losando de lados iguais? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] problemas
Claro, o portugues eh pessimo. O autor queria dizer: Dado um plano X, eh unico o plano B que eh paralelo a X e contem um ponto dado x nao-pertencente a X. Um plano B , paralelo a outro plano X por um ponto x no pertencente a X, nico. pichurin wrote: [EMAIL PROTECTED]"> No entendi o item c da 2.Poderiam me ajudar? --- David Turchick [EMAIL PROTECTED]escreveu: 1.Sendo x= (((-1)^k )* pi/6)+ k*pi sen x vale quanto? k inteiro, n?Se k for par, digamos k=2*n, ento x=Pi/6+2*n*Pi, esenx=sen(Pi/6)=1/2.Se k for mpar, digamos k=2*n+1, entox=-Pi/6+2*n*Pi+Pi, e tb senx=sen(5*Pi/6)=1/2. 2.Qual das proposies abaixo falsa?a) As interseces de dois planos paralelos, com umtereciro plano,so retas paralelas. Isso j falso, pois no se sabe se o terceiroplano distinto dos outros dois.David b) Se dois planos distintos so paralelos, toda reta contida em um deles paralela ao outro plano.c) Um plano B , paralelo a outro plano X por um ponto x no pertencente a X, nico.d) dois planos distintos paralelos a um terceiro so paralelos entre si.e) se dois planos so paralelos, toda reta paralela a um deles paralela ao outro. ___ Yahoo! PageBuilderO super editor para criao de sites: grtis, fcil e rpido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= _ Tenha voc tambm um MSN Hotmail, o maior webmail domundo: http://www.hotmail.com/br = Instrues para entrar na lista, sair da lista eusar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] = ___Yahoo! PageBuilderO super editor para criao de sites: grtis, fcil e rpido.http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=== ==
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Primeira questão obm ano passado
A ideia do Lucas não me parece bem simples assim. O que ele fez foi Usar o semi-perímetro (no caso S) e a área (P) de um triângulo de lados (a+b),(b+c),(a+c)...a solução é bem bonita, fica imediata até se vc desenhar o triângulo, não é trivial esta idéia, mas eh uma boa tecnica para desigualdades supor que sao lados de um triangulo. []'s Marcelo From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primeira questão obm ano passado Date: Sat, 27 Jul 2002 21:35:43 + Oi Duda! Bem, eu fiz assim: desenvolvendo fica a(a+b+c) +bc =2sqrt[abc(a+b+c)] pela desigualdade das medias! :) té []´s Fê! Lembram daquela desigualdade, sendo a,b,c0 prove (a + b)(a + c) = 2raiz(abc(a+b+c)). Olhem essa solução que o Lucas Mocelim me apresentou. Chame S=a+b+c e P=abc (a + b)(a + c) = (S - c)(S - b) = S^2 - (b + c)S + bc = S^2 - (S - a)S + P/a = Sa + P/a = 2raiz(SaP/a) = 2raiz(SP) Só isso, não é muito mais fácil que a solução da Eureka!? Pena que na hora ele não percebeu... Um abraço! Duda. PS David Turchick, valeu pela correção da questão da imo, agora eu já compreendi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Noticias da IMO - 2
E isso mesmo foram 5 bronzes e 1 prata. Os cortes foram bronze 14; prata 23 e ouro 29. Abracos, Ed. --- Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Falei por telefone com o líder do Brasil na IMO, Prof. Edmilson Motta e ele me passou as pontuações dos brasileiros na IMO: 1) 0 7 7 6 6 6 2) 7 6 7 7 6 6 3) 1 0 1 1 1 0 4) 3 7 1 4 6 7 5) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 O corte das medalhas sairá na manhã deste doimngo. As pontuações finais dos alunos ficaram assim: BRA 1 Alex - 18 BRA 2 Larissa - 27 BRA 3 Guilherme - 17 BRA 4 Yuri - 20 BRA 5 Davi - 21 BRA 6 Thiago - 20 O mais provável é que ganhemos 6 medalhas (5 de bronze e 1 prata). Com certeza foi o melhor resultado já obtido por uma brasileira em competições de matemática. Paulo José = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = __ Do You Yahoo!? Yahoo! Health - Feel better, live better http://health.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Questão antiga obm
Ola pessoal! Essa solução é boa? Questão. Provar que existe um algarismo diferente de 0 entre a 1.000.000-ésima e a 3.000.000-ésima casa decimal de r=raiz(2). Seja M=10^(10^6). Suponhamos por absurdo que seja falso o enunciado, daí existe um inteiro 0aM e um real 0=b=1 tal que raiz(2) = aM^(-1) + bM^(-3), elevando ao quadrado e multiplicando por M^2 2M^2 - a^2 = 2abM^(-2) + b^2M^(-4) (*) o lado esquerdo de (*) é inteiro e no lado direito 0 = 2abM^(-2) + b^2M^(-6) 2MM^(-2) + M^(-6) = 2M^(-1) + M^(-6) 1 Portanto 2M - a^2 é um inteiro em [0,1) logo raiz(2) = a/M que é racional, absurdo! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
Estah correto...
Mas soh para voces terem uma ideia de como o pessoal lah era rigoroso,
esta solucao valeria 6 pontos.
O pequeno detalhe que estah faltando eh o seguinte. NO caso (2),
dividimos a inducao em T_{k} e T_{n-k} e, por inducao acabou, certo? Bom,
nao exatamente... Note que poderiamos ter k=0 ou k=n, e um dos triangulos
simplesmente nao teria ponto algum. Entao estah faltando uma das duas
coisas:
(i) Ou voce cita o caso T_{0} explicitamente e nota que tambem vale a
tal proposicao (voce soh citou T_1 e T_2)...
(ii) ...ou voce separa o caso 2 em 2(a) (que vira dois triangulos) e
este caso especial (onde ha de fato um triangulo soh T_{n}).
Eles nao queriam uma demonstracao complicada destas coisas, que sao de
fato obvias. O que eles querem eh uma *mencao* de que este caso (o
triangulo vazio) existia e nao se enquadrava perfeitamente na inducao. No
criterio de correcao, nao fazer o caso T_0 era um erro mais ou menos
semelhante a esquecer o caso inicial de uma inducao... e por isso perdia-se
um ponto (o que explica a grande quantidade de 6 desta questao).
Abraco,
Ralph
-Original Message-
From: Marcio
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 7/27/02 9:18 AM
Subject: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
Me ajudem a detectar possiveis falhas nessa solucao!
Traducao : Seja n 0 inteiro. Seja T_n o conjunto dos ptos (x,y) do
plano com x,y inteiros nao negativos e x+y n. Cada pto de T eh pintado
de
R ou B. Se (x,y) eh R, entao tmb o serao tds os ptos (x',y') de Tcom x'
= x
e y'=y. Defina uma X-set como um conjunto de n ptos azuis com
coordenadas x
distintas, e uma
Y-set como um conjunto de n ptos azuis com coordenadas y distintas.
Prove
que o nr de X-sets eh igual ao nr de Y-sets.
Minha solucao foi por inducao na seguinte proposicao:
Se a n-upla P = (p0, p1, ..., p_(n-1) ) da a qtd de ptos pintados de B
nas
retas x=0, x=1, ..., x=n-1 (respectivamente), entao a qtd de B's nas
retas
y=0, y=1, ..., y=n-1 nessa ordem eh dada por uma permutacao de P. (em
particular nr de X-sets = nr de Y-sets = Produtorio de p_i).
Em 1o lugar, note que se (x,y)=B, entao (x', y') = B sempre que x'=x ou
y'=y.
Para n=1, n=2 eh soh considerar todos os (poucos) casos possiveis e
confirmar que eh verdade.
Suponha valido para inteiros menores ou iguais a n, e consideremos o
caso
n+1.
1) Se #X eh nao nulo, entao toda a diagonal externa x+y=n eh B (de fato,
se
(a,n-a) = R, entao todos abaixo dele sao R e nessa reta x=a nao existe
nenhum pto B).
Apagando essa diagonal, note que o que sobre eh uma configuracao valida
em
T_n e portanto, se nessa configuracao temos P = (p0, p1, ..., p_(n-1) )
B's
nas retas x=0,1,...,n-1, teremos /P = permutacao de P B's nas retas
y=0,...
Reescrevendo a diagonal soh de B's, teremos P'=(p0+1, p1+1, ..., p_(n-1)
+
1, 1) associada a qtd de ptos pintados de B nas retas x=0, x=1,... x=n e
/P'
= (elementos de /P somados de 1 unidade, com 1 no final), donde /P' eh
uma
permutacao de P'.
2) Se #X eh nulo, entao existe k tq a reta x=k soh tem R. Apagando o
retangulo de vertices
(0,0)-(k,0)-(k,n-k)-(0,n-k), ficamos com uma configuracao valida de
T_(k)
(considerada sobre um novo eixo transladado em relacao ao original e com
centro em (0, n-k+1) e outra de T_(n-k) (...centro em (k+1,0) ) nas
quais
podemos aplicar a hipotese de inducao e proceder como em (1).
Isso conclui a inducao e o problema.
Abracos,
Marcio
PS: Tmb tentei o problema 3, mas o melhor que eu consegui foi verificar
que
se a divisao vale para infinitos inteiros, entao o polinomio do
denominador
(em a) deve dividir o polinomio do numerador.. Depois devo tentar os
problemas do 2o dia..
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Primeira questão obm ano passado
A soluçao por medias eu conheço;e quase trivial. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] escreveu: A ideia do Lucas não me parece bem simples assim. O que ele fez foi Usar o semi-perímetro (no caso S) e a área (P) de um triângulo de lados (a+b),(b+c),(a+c)...a solução é bem bonita, fica imediata até se vc desenhar o triângulo, não é trivial esta idéia, mas eh uma boa tecnica para desigualdades supor que sao lados de um triangulo. []'s Marcelo From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primeira questão obm ano passado Date: Sat, 27 Jul 2002 21:35:43 + Oi Duda! Bem, eu fiz assim: desenvolvendo fica a(a+b+c) +bc =2sqrt[abc(a+b+c)] pela desigualdade das medias! :) té []´s Fê! Lembram daquela desigualdade, sendo a,b,c0 prove (a + b)(a + c) = 2raiz(abc(a+b+c)). Olhem essa solução que o Lucas Mocelim me apresentou. Chame S=a+b+c e P=abc (a + b)(a + c) = (S - c)(S - b) = S^2 - (b + c)S + bc = S^2 - (S - a)S + P/a = Sa + P/a = 2raiz(SaP/a) = 2raiz(SP) Só isso, não é muito mais fácil que a solução da Eureka!? Pena que na hora ele não percebeu... Um abraço! Duda. PS David Turchick, valeu pela correção da questão da imo, agora eu já compreendi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
Peguei as provas em PS e PDF da IMO.Se alguem
puder me dizercomo eu faço para escrever um
arquivo PS sendo que eu so tenho os
visualizadores. E eu consegui fazer apenas o
problema 2 desta IMO(geometria cearense sem do
nem piedade.Estilo problema 1 da IMO da Coreia.
--- Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Estah correto...
Mas soh para voces terem uma ideia de como
o pessoal lah era rigoroso,
esta solucao valeria 6 pontos.
O pequeno detalhe que estah faltando eh o
seguinte. NO caso (2),
dividimos a inducao em T_{k} e T_{n-k} e, por
inducao acabou, certo? Bom,
nao exatamente... Note que poderiamos ter k=0
ou k=n, e um dos triangulos
simplesmente nao teria ponto algum. Entao estah
faltando uma das duas
coisas:
(i) Ou voce cita o caso T_{0}
explicitamente e nota que tambem vale a
tal proposicao (voce soh citou T_1 e T_2)...
(ii) ...ou voce separa o caso 2 em 2(a)
(que vira dois triangulos) e
este caso especial (onde ha de fato um
triangulo soh T_{n}).
Eles nao queriam uma demonstracao
complicada destas coisas, que sao de
fato obvias. O que eles querem eh uma *mencao*
de que este caso (o
triangulo vazio) existia e nao se enquadrava
perfeitamente na inducao. No
criterio de correcao, nao fazer o caso T_0 era
um erro mais ou menos
semelhante a esquecer o caso inicial de uma
inducao... e por isso perdia-se
um ponto (o que explica a grande quantidade de
6 desta questao).
Abraco,
Ralph
-Original Message-
From: Marcio
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 7/27/02 9:18 AM
Subject: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
Me ajudem a detectar possiveis falhas nessa
solucao!
Traducao : Seja n 0 inteiro. Seja T_n o
conjunto dos ptos (x,y) do
plano com x,y inteiros nao negativos e x+y n.
Cada pto de T eh pintado
de
R ou B. Se (x,y) eh R, entao tmb o serao tds os
ptos (x',y') de Tcom x'
= x
e y'=y. Defina uma X-set como um conjunto de n
ptos azuis com
coordenadas x
distintas, e uma
Y-set como um conjunto de n ptos azuis com
coordenadas y distintas.
Prove
que o nr de X-sets eh igual ao nr de Y-sets.
Minha solucao foi por inducao na seguinte
proposicao:
Se a n-upla P = (p0, p1, ..., p_(n-1) ) da a
qtd de ptos pintados de B
nas
retas x=0, x=1, ..., x=n-1 (respectivamente),
entao a qtd de B's nas
retas
y=0, y=1, ..., y=n-1 nessa ordem eh dada por
uma permutacao de P. (em
particular nr de X-sets = nr de Y-sets =
Produtorio de p_i).
Em 1o lugar, note que se (x,y)=B, entao (x',
y') = B sempre que x'=x ou
y'=y.
Para n=1, n=2 eh soh considerar todos os
(poucos) casos possiveis e
confirmar que eh verdade.
Suponha valido para inteiros menores ou iguais
a n, e consideremos o
caso
n+1.
1) Se #X eh nao nulo, entao toda a diagonal
externa x+y=n eh B (de fato,
se
(a,n-a) = R, entao todos abaixo dele sao R e
nessa reta x=a nao existe
nenhum pto B).
Apagando essa diagonal, note que o que sobre eh
uma configuracao valida
em
T_n e portanto, se nessa configuracao temos P =
(p0, p1, ..., p_(n-1) )
B's
nas retas x=0,1,...,n-1, teremos /P =
permutacao de P B's nas retas
y=0,...
Reescrevendo a diagonal soh de B's, teremos
P'=(p0+1, p1+1, ..., p_(n-1)
+
1, 1) associada a qtd de ptos pintados de B nas
retas x=0, x=1,... x=n e
/P'
= (elementos de /P somados de 1 unidade, com 1
no final), donde /P' eh
uma
permutacao de P'.
2) Se #X eh nulo, entao existe k tq a reta x=k
soh tem R. Apagando o
retangulo de vertices
(0,0)-(k,0)-(k,n-k)-(0,n-k), ficamos com uma
configuracao valida de
T_(k)
(considerada sobre um novo eixo transladado em
relacao ao original e com
centro em (0, n-k+1) e outra de T_(n-k)
(...centro em (k+1,0) ) nas
quais
podemos aplicar a hipotese de inducao e
proceder como em (1).
Isso conclui a inducao e o problema.
Abracos,
Marcio
PS: Tmb tentei o problema 3, mas o melhor que
eu consegui foi verificar
que
se a divisao vale para infinitos inteiros,
entao o polinomio do
denominador
(em a) deve dividir o polinomio do numerador..
Depois devo tentar os
problemas do 2o dia..
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é
[EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é
[EMAIL PROTECTED]
=
___
Yahoo! PageBuilder
O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html
[obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Caros colegas, Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira (2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam suas solucoes... Abracos, Carlos Gustavo Moreira (Gugu) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Noticias da IMO
E que ninguem discuta!!!Afinal,quando a primeira garota a tirar medalha na IMO(leia-se Larissa)vai ser entrevistada pela galera do teorema? --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: A menina é féra :o P |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IMO dia 1, Q2 (solucao)(comentario de JOHANN)
Mas tu e um porre hein Cohen??
Pra que complexos se da pra fazer com Geometria
Cearense(marcar angulos ate se cansar)?
Essa soluçao e parecida com a do Daniel Uno para
a questao 1 da IMOP da Coreia(veja Eureka 9 no
site da OBM).
Eu nao vou passar a soluçao integral que eu
fiz.Mas essas dicas ja dao conta do recado.
Prove que os triangulos AOF e AOE sao
equilateros.
Chame angBOE=4x e calcule todos os angulos em
funçao de x.Desenhe o ponto I incentro de CEF(que
deve ser o J,certo?).Provaremos que
angDAO=angAOI,o que acarreta o paralelismo.
Veja que CA e bissetriz de angECF,logo I
e encontro de CA e a bissetriz de angEFC.
Agora faça o arrastao(marque tudo que e angulo)e
prontoE so ver depois de infindaveis
contas que OAJ e isosceles.
Como brincadeira prove que EOJF e ciclico(olhe
para AO,AJ,...
--- Marcio [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa
eh para fortalecer os numeros complexos (o
enunciado traduzido esta
no final).
Q2) Vou usar a' para representar o conjugado
de a. Os lemas abaixo sao
usados toda hora em problemas de geometria, e
por isso eu os coloquei em
evidencia.
1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1.
Ponha B=-1, C=1, A=a^2 =
cis(2x); a = cis(x),
com 30x90. Note que a' = 1/a, (a^2)'=1/(a^2).
Lema1: Se x e y sao pontos do circulo unitario,
a reta que os une tem eq. z
+ (xy)z' = x+y.
Lema2: Os pontos medios dos arcos formados
pelos complexos a^2 e b^2 sao ab
e -ab (de fato, se m eh medio,
arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) = m/a=b/m).
2. Determinacao do ponto J:
Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d =
cis(90)*cisx = ia
Reta AD: z + (ia^3)z' = ...
Reta OJ (//AD passando pela origem): z +
(ia^3)z' = 0(1)
Reta AC:
z + (a^2)z' = a^2 + 1
(2)
Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o
ponto J: z = a(a-i)
3. Determinando E,F:
Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' = 1
(esta na circunferencia),
logo
(z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz'
Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0.
Usando baskara ou multiplicando os 2 lados por
z+a^2, obtemos p. ex:
e = (a^2)cis(60) e
f = (a^2)cis(-60)
4. Ponto medio do arco CF:
m=acis(-30)
(note que, como x30, esse ponto eh de fato o
que esta entre C e F, pois
argm = x-300).
5. J esta na bissetriz EM:
Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z +
(a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60
+ acis(-30) .
Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e
ver que os coeficientes de a e
de a^2 sao iguais dos dois lados.
6. J esta na bissetriz de C:
O pto medio do arco EF que nao contem C eh
sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a
bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde J
esta nessa bissetriz. (essa
parte ateh eu consegui fazer por plana :)
7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e
portanto eh o incentro.
Estive tentando fazer as questoes do primeiro
dia da prova.. Comecei pela 2,
que achei mais facil, e depois tentei a
primeira.. parei de tentar a 3 agora
pq nao estava produzindo muita coisa.. Nos
proximos dois emails vou mandar
minhas ideias/solucoes.. Mandem as suas tmb!
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
To: 'Rodrigo Villard Milet '
[EMAIL PROTECTED]; 'Obm '
[EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, July 26, 2002 10:10 AM
Subject: RE: [obm-l] IMO!?!?
Let \ $BC$ be a diameter of the circle
${\Gamma}$ with
centre $O$. \ Let $A$ be a point on $\Gamma$
such that $0{{}^\circ
}\angle AOB120{{}^\circ}$. \ Let $D$ be the
midpoint of the
arc $AB$ not containing $C$. \ The line
through $O$ parallel
to $DA$ meets the line $AC$ at $J$. \ The
perpendicular bisector
of $OA$ meets $\Gamma$ at $E$ and at $F$. \
Prove that $J$ is
the incentre of the triangle $CEF$.
Traducao: Seja BC diametro de um
circunferencia com centro O. Seja A um
pto da circunferencia com AOB120 graus. Seja D
medio do arco AB que nao
contem C. A reta por O paralela a DA encontra
AC em J. A mediatriz de OA
encontra a circunferencia em E e F. Mostre que
J eh incentro do triangulo
CEF.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é
[EMAIL PROTECTED]
=
___
Yahoo! PageBuilder
O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
RE: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
--- Johann Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Peguei
as provas em PS e PDF da IMO.Se alguem
puder me dizercomo eu faço para escrever um
arquivo PS sendo que eu so tenho os
visualizadores. E eu consegui fazer apenas o
problema 2 desta IMO(geometria cearense sem do
nem piedade.Estilo problema 1 da IMO da Coreia.
Ao contrario do Cohen.Mas afinal de onde e
que ele teve a ideia de tirar complexos ali?
--- Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Estah correto...
Mas soh para voces terem uma ideia de
como
o pessoal lah era rigoroso,
esta solucao valeria 6 pontos.
O pequeno detalhe que estah faltando eh o
seguinte. NO caso (2),
dividimos a inducao em T_{k} e T_{n-k} e, por
inducao acabou, certo? Bom,
nao exatamente... Note que poderiamos ter k=0
ou k=n, e um dos triangulos
simplesmente nao teria ponto algum. Entao
estah
faltando uma das duas
coisas:
(i) Ou voce cita o caso T_{0}
explicitamente e nota que tambem vale a
tal proposicao (voce soh citou T_1 e T_2)...
(ii) ...ou voce separa o caso 2 em 2(a)
(que vira dois triangulos) e
este caso especial (onde ha de fato um
triangulo soh T_{n}).
Eles nao queriam uma demonstracao
complicada destas coisas, que sao de
fato obvias. O que eles querem eh uma
*mencao*
de que este caso (o
triangulo vazio) existia e nao se
enquadrava
perfeitamente na inducao. No
criterio de correcao, nao fazer o caso T_0
era
um erro mais ou menos
semelhante a esquecer o caso inicial de uma
inducao... e por isso perdia-se
um ponto (o que explica a grande quantidade
de
6 desta questao).
Abraco,
Ralph
-Original Message-
From: Marcio
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 7/27/02 9:18 AM
Subject: [obm-l] IMO dia 1, Q1 (solucao?!)
Me ajudem a detectar possiveis falhas nessa
solucao!
Traducao : Seja n 0 inteiro. Seja T_n o
conjunto dos ptos (x,y) do
plano com x,y inteiros nao negativos e x+y
n.
Cada pto de T eh pintado
de
R ou B. Se (x,y) eh R, entao tmb o serao tds
os
ptos (x',y') de Tcom x'
= x
e y'=y. Defina uma X-set como um conjunto de
n
ptos azuis com
coordenadas x
distintas, e uma
Y-set como um conjunto de n ptos azuis com
coordenadas y distintas.
Prove
que o nr de X-sets eh igual ao nr de Y-sets.
Minha solucao foi por inducao na seguinte
proposicao:
Se a n-upla P = (p0, p1, ..., p_(n-1) ) da a
qtd de ptos pintados de B
nas
retas x=0, x=1, ..., x=n-1 (respectivamente),
entao a qtd de B's nas
retas
y=0, y=1, ..., y=n-1 nessa ordem eh dada por
uma permutacao de P. (em
particular nr de X-sets = nr de Y-sets =
Produtorio de p_i).
Em 1o lugar, note que se (x,y)=B, entao (x',
y') = B sempre que x'=x ou
y'=y.
Para n=1, n=2 eh soh considerar todos os
(poucos) casos possiveis e
confirmar que eh verdade.
Suponha valido para inteiros menores ou
iguais
a n, e consideremos o
caso
n+1.
1) Se #X eh nao nulo, entao toda a diagonal
externa x+y=n eh B (de fato,
se
(a,n-a) = R, entao todos abaixo dele sao R e
nessa reta x=a nao existe
nenhum pto B).
Apagando essa diagonal, note que o que sobre
eh
uma configuracao valida
em
T_n e portanto, se nessa configuracao temos P
=
(p0, p1, ..., p_(n-1) )
B's
nas retas x=0,1,...,n-1, teremos /P =
permutacao de P B's nas retas
y=0,...
Reescrevendo a diagonal soh de B's, teremos
P'=(p0+1, p1+1, ..., p_(n-1)
+
1, 1) associada a qtd de ptos pintados de B
nas
retas x=0, x=1,... x=n e
/P'
= (elementos de /P somados de 1 unidade, com
1
no final), donde /P' eh
uma
permutacao de P'.
2) Se #X eh nulo, entao existe k tq a reta
x=k
soh tem R. Apagando o
retangulo de vertices
(0,0)-(k,0)-(k,n-k)-(0,n-k), ficamos com uma
configuracao valida de
T_(k)
(considerada sobre um novo eixo transladado
em
relacao ao original e com
centro em (0, n-k+1) e outra de T_(n-k)
(...centro em (k+1,0) ) nas
quais
podemos aplicar a hipotese de inducao e
proceder como em (1).
Isso conclui a inducao e o problema.
Abracos,
Marcio
PS: Tmb tentei o problema 3, mas o melhor que
eu consegui foi verificar
que
se a divisao vale para infinitos inteiros,
entao o polinomio do
denominador
(em a) deve dividir o polinomio do
numerador..
Depois devo tentar os
problemas do 2o dia..
=
Instruções para entrar na lista, sair da
lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é
[EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da
lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é
Re: [obm-l] pergunta
Caro Rafael, Por definição, retangulo é o polígono de 4 lados que possui dois pares de retas paralelas opostas de modo que seus angulos internos sejam 90º. E o quadrado?! Ele é sim um retangulo pois se enquadra na definicao de um. Também por definicao, um losango é um polígono de 4 lados que possui dois pares de retas de medidas iguais e opostas. E o quadrado? é sim um losango pois também se enquadra na definicao de um. . - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 28, 2002 11:48 PM Subject: [obm-l] pergunta Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte: Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um quadrado é um retângulo? Um quadrado é um losando de lados iguais? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Precisamos de 2 Solucoes!
Oi NellyJa mandei a soluçao do problema 63,ta? --- Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros(as) amigos(as) da lista, Estamos trabalhando na Revista Eureka No. 14. Para a secao de problemas propostos estao faltando as solucoes dos problemas 63 e 66 publicados na Revista Eureka! No. 12, se alguem quiser colaborar pode enviar as suas solucoes via e-mail para: [EMAIL PROTECTED](qualquer formato) ou via fax para 21-25295023. Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Notícias da IMO 3
Alguém poderia explicar como é feita a pontuação dos alunos na IMO? Prof. Edmilson Motta e ele me passou as pontuações dos brasileiros na IMO: 1) 0 7 7 6 6 6 2) 7 6 7 7 6 6 3) 1 0 1 1 1 0 4) 3 7 1 4 6 7 5) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 O corte das medalhas sairá na manhã deste doimngo. As pontuações finais dos alunos ficaram assim: BRA 1 Alex - 18 BRA 2 Larissa - 27 BRA 3 Guilherme - 17 BRA 4 Yuri - 20 BRA 5 Davi - 21 BRA 6 Thiago - 20 __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
--- Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas, Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira (2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam suas solucoes... Abracos, Carlos Gustavo Moreira (Gugu) Mas gente,eu sou de Sao Paulo,ta?Se voces puderem fazer algo com computadores,Internet e tal,te que da. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Notícias da IMO 3
Sao 6 questoes, cada uma das quais vale 7 pontos. Em Mon, 29 Jul 2002 16:10:30 -0300, ozorio_loof [EMAIL PROTECTED] disse: Alguém poderia explicar como é feita a pontuação dos alunos na IMO? Prof. Edmilson Motta e ele me passou as pontuações dos brasileiros na IMO: 1) 0 7 7 6 6 6 2) 7 6 7 7 6 6 3) 1 0 1 1 1 0 4) 3 7 1 4 6 7 5) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 O corte das medalhas sairá na manhã deste doimngo. As pontuações finais dos alunos ficaram assim: BRA 1 Alex - 18 BRA 2 Larissa - 27 BRA 3 Guilherme - 17 BRA 4 Yuri - 20 BRA 5 Davi - 21 BRA 6 Thiago - 20 __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Revista da Ibero.
Queridos amigos de esta lista: Ya esta en linea el numero 2 de la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matematica. La direccion es: http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/numero2.htm Abrazos, Nelly. PD. PARABENS LARISSA!! :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Notícias da IMO 3
Obrigado. Mas, ainda não consigo associar os resultados: 1) 0 7 7 6 6 6 2) 7 6 7 7 6 6 3) 1 0 1 1 1 0 4) 3 7 1 4 6 7 5) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 Como cada questão vale 7 pontos teríamos o seguinte: 1) 32 pontos 2) 39 pontos . . 6) 1 ponto. A pergunta é como partindo da pontuação acima chegamos em: BRA 1 Alex - 18 BRA 2 Larissa - 27 BRA 3 Guilherme - 17 BRA 4 Yuri - 20 BRA 5 Davi - 21 BRA 6 Thiago - 20 []'s Luiz. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Sao 6 questoes, cada uma das quais vale 7 pontos. Em Mon, 29 Jul 2002 16:10:30 -0300, ozorio_loof [EMAIL PROTECTED] disse: Alguém poderia explicar como é feita a pontuação dos alunos na IMO? Prof. Edmilson Motta e ele me passou as pontuações dos brasileiros na IMO: 1) 0 7 7 6 6 6 2) 7 6 7 7 6 6 3) 1 0 1 1 1 0 4) 3 7 1 4 6 7 5) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 O corte das medalhas sairá na manhã deste doimngo. As pontuações finais dos alunos ficaram assim: BRA 1 Alex - 18 BRA 2 Larissa - 27 BRA 3 Guilherme - 17 BRA 4 Yuri - 20 BRA 5 Davi - 21 BRA 6 Thiago - 20 __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Notícias da IMO 3
Cada coluna corresponde a um aluno e cada linha, a uma questo. ozorio_loof wrote: H017C2$[EMAIL PROTECTED]"> Obrigado. Mas, ainda noconsigo associar os resultados:1) 0 7 7 6 6 62) 7 6 7 7 6 63) 1 0 1 1 1 04) 3 7 1 4 6 75) 6 7 1 2 2 1 6) 1 0 0 0 0 0 Como cada questo vale 7 pontosteramos o seguinte:1) 32 pontos2) 39 pontos..6) 1 ponto.A pergunta como partindo da pontuao acima chegamos em: BRA 1 Alex - 18BRA 2 Larissa - 27BRA 3 Guilherme - 17BRA 4 Yuri - 20BRA 5 Davi - 21BRA 6 Thiago - 20 []'sLuiz. __AcessoBOL, s R$ 9,90! O menor preo do mercado!Assine j! http://www.bol.com.br/acessobol Sao 6 questoes, cada uma das quais vale 7 pontos.Em Mon, 29 Jul 2002 16:10:30 -0300, ozorio_loof [EMAIL PROTECTED] disse: Algum poderia explicar como feita a pontuao dos alunos na IMO? Prof. Edmilson Motta e eleme passou as pontuaes dos brasileiros na IMO: 1) 0 7 7 6 6 62) 7 6 7 7 6 63) 1 0 1 1 1 04) 3 7 1 4 6 75) 6 7 1 2 2 16) 1 0 0 0 0 0O corte das medalhas sair na manh deste doimngo. As pontuaes finais dosalunos ficaram assim:BRA 1 Alex - 18BRA 2 Larissa - 27BRA 3 Guilherme - 17BRA 4 Yuri - 20BRA 5 Davi - 21BRA 6 Thiago - 20 __AcessoBOL, s R$ 9,90! O menor preo do mercado!Assine j! http://www.bol.com.br/acessobol=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] Ajuda!!
Olá amigos , sei que a agitação da IMO esta grande , mais se puderem me ajudar nessas questão que seguem , fico agradecido. 1-Um menino comprou petecas , bolas e bonecos , pagando por cada unidade , respectivamente , R$ 1,00 , R$ 10,00 e R$ 20,00 . Gastou R$ 220,00 em um total de 101 unidades desses brinquedos .Quantas petecas ele comprou? 2- A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números . O menos valor natural desse produto é igual a : Abraço. Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajuda!!
From: [EMAIL PROTECTED] Olá amigos , sei que a agitação da IMO esta grande , mais se puderem me ajudar nessas questão que seguem , fico agradecido. 1-Um menino comprou petecas , bolas e bonecos , pagando por cada unidade , respectivamente , R$ 1,00 , R$ 10,00 e R$ 20,00 . Gastou R$ 220,00 em um total de 101 unidades desses brinquedos .Quantas petecas ele comprou? 2- A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números . O menos valor natural desse produto é igual a : Abraço. Rick. Sejam x petecas, y bolas e z bonecos x+10y+20z=220 x+y+z=101 Temos 9y+19z=119, solução única (y,z)=(9,2) nos inteiros positivos, daí x=90, ou seja, 90 petecas. Seja S=x+y e P=xy, temos x^2-Sx+S=0 daí x,y=S/2+-raiz(S^2-4S)/2, daí x e y são reais distintos de S^2-4S0, se S0 ou S4. Portanto a menor solução natural é S=P=5. Eduardo. Poa, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema 6 da IMO 2002
Segue uma solução para o problema 6 da IMO 2002. Este problema é muito legal! Recomendo que pensem bastante no problema antes de ver a solução. Aliás, tenho notado um medo exagerado dos alunos em relação aos problemas 6 das IMO´s. Apesar de que, tradicionalmente, é o mais difícil, isso sempre depende de quem resolve. E muitos problemas 6 são mais uma questão de insistência do que de idéias brilhantes. Vou deixar um espaço para não atrapalhar aqueles que desejem pensar sozinhos. O enunciado é: Dadas n circunferências de raio 1 no plano, se nenhuma reta corta mais do que 2 circunferências, então a soma dos inversos das distâncias entre todos os pares (não ordenados) de centros é menor ou igual a (n - 1)pi/4. Solução: Você vai ter que fazer vários desenhos para entender esta solução. Seja a_ij a metade do ângulo entre as tangentes à circunferência j traçadas a partir do centro Oi da circunferência i. Claramente, a_ij = a_ji, e o seno de a_ij é igual ao raio dividido pela distância entre os centros, ou seja, igual ao inverso da distância entre os centros. Como o seno de um arco é menor do que o arco, basta provar que a soma de todos os a_ij é menor que (n - 1)pi/4. Para isso, suponha que o fecho convexo do conjunto de centros é formado pelos centros das circunferências 1 até n - k. Logo esses centros formam um polígono convexo P de n - k lados e os outros k centros estão no interior deste polígono. A partir de cada centro, tracemos as tangentes a todas as outras circunferências. Como nenhuma reta corta mais de duas circunferências, as regiôes interiores aos ângulos 2a_ij formados devem ter interseção vazia. Se Oi-1, Oi, Oi+1 são vértices consecutivos de P, o ângulo interno em Oi possui em seu interior os ângulos 2a_ij, para j diferente de i-1 e i+1 além de um ângulo a_ii-1 e outro a_ii+1. Somando em todos os vértices de P obtemos 2L + 4D + 2I, onde L, D, I representam a soma de todos os a_ij para os quais OiOj é lado de P, diagonal de P, ou um segmento unindo um vértice de P a um ponto interior, respectivamente. Logo 2L + 4D + 2I é menor ou igual a (n - k - 2)pi (soma dos ângulos internos de P). Se Oi é um ponto interior, as tangentes traçadas até a circunferência j formam dois ângulos opostos pelo vértice iguais a 2a_ij. Nenhuma circunferência pode cortar o interior de nenhum desses dois ângulos. Portanto, fixado i, o quádruplo da soma dos a_ij para todo j diferente de i é menor ou igual a 2pi. Somando para todos os Oi interiores a P, obtemos 4I + 8C menor ou igual a 2kpi, onde C é a soma dos a_ij tais que Oi e Oj são pontos interiores. Dividindo por 2, temos 2I + 4C menor ou igual a kpi. Finalmente, vamos fazer uma estimativa para L. Nesta parte você vai precisar de um bom desenho. Para simplificar, consideremos O1, O2, O3 vértices consecutivos de P. Trace a reta t, tangente externa comum às circunferências 1 e 3 mais próxima de O2, com pontos de contato X1 e X3. Como a circunferência 2 não corta t, a reta r, paralela a t por O2 dista mais do que 1 de t. Se O1X1 corta r no ponto Y1, temos que O2Y1O1 é um triângulo retângulo em Y1, logo a bissetriz do ângulo em O2 deste triângulo corta o cateto oposto em um ponto mais próximo de Y1 que de O1, portanto tal bissetriz é uma reta por O2 exterior à circunferência 1. Isto implica que a_12 é menor ou igual à metade do ângulo O1O2Y1. Analogamente, a_23 é menor ou igual à metade do ângulo O3O2Y3 (Y3 definido de forma análoga a Y1). Como O1O2Y1 + O3O2Y3 é igual ao ângulo externo a P em O2, concluímos que a_12 + a_23 é menor ou igual à metade desse ângulo externo. Somando em todos os vértices de P obtemos que 2L é menor ou igual à metade da soma dos ângulos externos de P, ou seja, 2L é menor ou igual a 2pi/2 = pi. Juntando tudo, temos: 2L + 4D + 2I menor ou igual a (n - k - 2)pi 2I + 4C menor ou igual a kpi 2L menor ou igual a pi Somando: 4L + 4D + 4I + 4C menor ou igua a (n - k - 2 + k + 1)pi, ou seja L + D + I + C menor ou igual a (n - 1)pi/4. Observe que há apenas estas 4 possibilidades para um par de centros: ambos em P (formando lado ou diagonal) um em P e outro interior ou ambos interiores. Logo L + D + I + C é a soma dos a_ij para todos os possíveis pares (não ordenados) i, j. Bom, não sei se é possível entender algo, mas achei o problema tão legal que não resisti a escrever. Agradeço a quem me apontar erros e melhoras. Tenho uma solução para o problema 5 também, mas acho que é ainda pior de escrever. Talvez mande só as idéias principais. Luciano. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
