[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Função não periódica

2018-04-15 Por tôpico Jeferson Almir 
O Artur já me respondeu algo relacionado .
https://answers.yahoo.com/question/index;_ylt=ArGgI5KmvwfN1NgNFs2qoFPty6IX;_ylv=3?qid=20130107164843AAfIWMj
e em outro email  aqui na lista sobre *g(x) = f(x^a), *

Em 15 de abril de 2018 19:55, Artur Steiner 
escreveu:

> No caso de f(x) = sen(x^2), também podemos fazer assim:
>
> Se f for periódica, então f'(x) = 2x cos(x^2) também é. E como f' é'
> contínua, é limitada. Mas fazendo x_n = raiz(2pi n), n natural, vemos que
> f'(x_n) = raiz(2pi n) vai para oo com n. Temos assim uma contradição que
> mostra que f não é periódica.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Sáb, 14 de abr de 2018 20:16, Artur Costa Steiner <
> artur_stei...@yahoo.com> escreveu:
>
>> Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não
>> uniformemente contínua.
>>
>> Artur
>>
>>
>> Enviado do meu iPad
>>
>> Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?
>>
>> 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não
>>> usei (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>>>
>>> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo,
>>> mas para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
>>> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>>> bernardo...@gmail.com>:
>>>
 Oi Claudio,

 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
 > f é periódica (digamos, de período T > 0).
 >
 > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
 >
 > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT)
 =
 > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
 > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.

 não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y
 é
 múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a),
 para
 todo a.

 > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
 > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
 contraria
 > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.

 Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
 limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
 complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
 contínua"...

 > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <
 artur.costa.stei...@gmail.com>:
 >>
 >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não
 constante. Mostre
 >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
 >>
 >> Artur

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 Â acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =

>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

2018-04-15 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
(interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).

Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
mostrar que a soma não dá mais zero.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Provar que m = n

2018-04-15 Por tôpico Artur Steiner 
Eu acho esse interessante:

Sejam m e n inteiros positivos tais que o produto dos divisores de m
iguale-se ao produto dos divisores de n.  Então, m = n.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Derivadas da função Zeta de Riemann

2018-04-15 Por tôpico Artur Steiner 
No semiplano Re(z) > 1, Zeta é definida pela série Z(z) = Soma (n = 0, oo)
1/n^z. Neste semiplano, as derivadas de ordem n de Z são dadas pelas séries
obtidas diferenciando-se n vezes os termos da série primitiva. Provar este
fato que, incrivelmente, não parece ser muito conhecido, é interessante

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Função não periódica

2018-04-15 Por tôpico Artur Steiner 
No caso de f(x) = sen(x^2), também podemos fazer assim:

Se f for periódica, então f'(x) = 2x cos(x^2) também é. E como f' é'
contínua, é limitada. Mas fazendo x_n = raiz(2pi n), n natural, vemos que
f'(x_n) = raiz(2pi n) vai para oo com n. Temos assim uma contradição que
mostra que f não é periódica.


Artur Costa Steiner

Em Sáb, 14 de abr de 2018 20:16, Artur Costa Steiner <
artur_stei...@yahoo.com> escreveu:

> Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não
> uniformemente contínua.
>
> Artur
>
>
> Enviado do meu iPad
>
> Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
> Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?
>
> 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>
>> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não
>> usei (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>>
>> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas
>> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
>> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com>:
>>
>>> Oi Claudio,
>>>
>>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >
>>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >
>>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>>
>>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y
>>> é
>>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> todo a.
>>>
>>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>>> contraria
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>>
>>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> contínua"...
>>>
>>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <
>>> artur.costa.stei...@gmail.com>:
>>> >>
>>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não
>>> constante. Mostre
>>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>> >>
>>> >> Artur
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

2018-04-15 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima 
Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Douglas Oliveira.

Em sex, 13 de abr de 2018 13:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Essa identidade:
>  x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i)
> não me parece nada óbvia.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
>> igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
>> genérica
>>
>> Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0
>>
>> Obs: x_i sao raizes.
>>
>> Abraco
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>>
>> Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
>> escreveu:
>>
>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>
>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-15 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Bernardo!
Muito obrigado!
Ficou claro!
Essa diagonal é a "diagonal de Cantor"?
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 15, 2018, 7:04 AM Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> wrote:

> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> > Olá, amigos!
> > Bom dia!
> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> > reproduzi abaixo.
> >
> >
> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> > (...)
> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> > são iguais a zero ou um.
> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
> sequência de
> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
> sequência s
> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
> senão, é
> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
> é 1;
> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
> não
> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
> elementos de
> > C aparecessem como imagem!
> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
> uma
> > bijeção de N em C.
> >
> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>
> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>
> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
> 1 -> 0100101010101
> 2 -> 010101010101
> 3 -> 11001
> 4 -> 
> 5 -> 1110111010101
>
> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
> cada um dos elementos, um a um:
>
> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>
> s = 1
>
> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>
> s = 10
>
> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
> O quarto, s = 1001...
> O quinto, s = 10010
>
> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
> a sequência dos opostos.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-15 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Ronei!
Fiz essa pergunta para o Bernardo...
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró  wrote:

> Não é a tal diagonal de Cantor?
>
> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>> > Olá, amigos!
>> > Bom dia!
>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que
>> eu
>> > reproduzi abaixo.
>> >
>> >
>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> possível
>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> > (...)
>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> termos
>> > são iguais a zero ou um.
>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> sequência de
>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> sequência s
>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> senão, é
>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
>> é 1;
>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
>> não
>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> elementos de
>> > C aparecessem como imagem!
>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> construir uma
>> > bijeção de N em C.
>> >
>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>>
>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>>
>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> 1 -> 0100101010101
>> 2 -> 010101010101
>> 3 -> 11001
>> 4 -> 
>> 5 -> 1110111010101
>>
>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> cada um dos elementos, um a um:
>>
>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>>
>> s = 1
>>
>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>>
>> s = 10
>>
>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> O quarto, s = 1001...
>> O quinto, s = 10010
>>
>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> a sequência dos opostos.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-15 Por tôpico Ronei Lima Badaró 
Não é a tal diagonal de Cantor?

Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> > Olá, amigos!
> > Bom dia!
> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> > reproduzi abaixo.
> >
> >
> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> > (...)
> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> > são iguais a zero ou um.
> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
> sequência de
> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
> sequência s
> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
> senão, é
> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s
> é 1;
> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo,
> não
> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
> elementos de
> > C aparecessem como imagem!
> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
> uma
> > bijeção de N em C.
> >
> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>
> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>
> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
> 1 -> 0100101010101
> 2 -> 010101010101
> 3 -> 11001
> 4 -> 
> 5 -> 1110111010101
>
> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
> cada um dos elementos, um a um:
>
> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>
> s = 1
>
> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):
>
> s = 10
>
> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
> O quarto, s = 1001...
> O quinto, s = 10010
>
> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
> a sequência dos opostos.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-15 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> Olá, amigos!
> Bom dia!
> Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
> reproduzi abaixo.
>
>
> A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
> obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
> (...)
> Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
> são iguais a zero ou um.
> Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada sequência de
> C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma sequência s
> formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o
> primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; senão, é
> zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s é 1;
> senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como
> sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim
> construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo, não
> pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os elementos de
> C aparecessem como imagem!
> Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir uma
> bijeção de N em C.
>
> Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
> construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."

Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.

Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
1 -> 0100101010101
2 -> 010101010101
3 -> 11001
4 -> 
5 -> 1110111010101

Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
cada um dos elementos, um a um:

O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:

s = 1

O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1):

s = 10

O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
O quarto, s = 1001...
O quinto, s = 10010

Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
a sequência dos opostos.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Cantor

2018-04-15 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, amigos!
Bom dia!
Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu
reproduzi abaixo.


A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível
obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
(...)
Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos
são iguais a zero ou um.
Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada sequência
de C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
sequência s formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte
modo: se o primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é
1; senão, é zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo
termo de s é 1; senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo
termo s(n) como sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A
sequência s assim construída difere pelo menos na posição n de cada
sequência f(n). Logo, não pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era
de que todos os elementos de C aparecessem como imagem!
Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir
uma bijeção de N em C.

Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
Agradeço a ajuda e peço duas coisas:  desculpas pela ignorância e a
indicação de um livro sobre este assunto...
Um grande abraço!
Luiz

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.