Problema da olimpíada
Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
Perguntinha
Eu gostaria de saber por que é que a prova não pode ser comentada até tal data. Não que eu esteja reclamando (eu participei da olimpíada e respeito o regulamento), mas as provas não já foram entregues? Em outras palavras, será que nossos comentários vão modificar os resultados? Eu sei que deve haver uma justificativa para que o pessoal da lista não comente as questões. Cordialmente Douglas
Re: Problema da olimpíada
também, concordo com você. logo, alguém queira me explicar porque tamanho detalhes sobre a solução desse problema, bela banca examinadora? O que os examinadores queriam que observasse nesta questão, para tamanha solução? Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sábado, 2 de Setembro de 2000 23:32 Assunto: Problema da olimpíada Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
OBM !!!
E a pessoal ??? P, j sei que o Nicolau no quer que comente as questes ento, queria apenas saber como vocs foram. Eu, particularmente, achei a prova bem relax... Fiz tudo certinho, mas dei um mole na 4. E vcs ??? Aguardo respostas sem comentrios sobre a prova !! Abraos, Villard !
Re: Análise Combinátoria
Olá, João! Veja uma solução bem criativa para este problema: 1) Vamos colocar primeiramente as vogais, já em ordem alfabética, é claro: A OU Isto só pode ser feito de um modo. 2) Vamos, agora, colocar uma das consoantes (qualquer uma), por exemplo, o L. Para tanto, isto pode ser feito de 4 modos: ___ A ___ O ___ U ___ Feito isto, podemos ter, por exemplo: ___ A ___ L ___ O ___ U ___. 3) Agora vamos colocar o N. Vemos que isto pode ser feito de 5 modos. Resumindo: Número de modos de colocar as vogais: 1 Número de modos de colocar o L: 4 Número de modos de colocar o N: 5 Pelo PFC, temos: 20 Agora veja este: 1) De quantas formas podemos obter soma dos resultados igual a 7 em laçamentos sucessivos de quatro dados de cores diferentes? 2) Qual a probabilidade de, num grupo de 15 pessoas, termos exatamente 3 pessoas fazendo aniversário num mesmo mês? 3) Com uma moeda tendenciosa (dá mais caras do que coroas) e uma outra normal, é possível se ter um jogo honesto, com dois apostadores? Enuncie, se possível, as regras. 4) Um professor reparte aleatoriamente uma turma de 26 alunos em grupos de 4 (deixando os dois restantes de fora), e aposta com a turma que, em pelo menos um dos grupos, encontrará pelo menos duas pessoas (das quatro) do mesmo signo. Pergunta-se; a) qual a probabilidade do professor ganhar a aposta? b) qual a probabilidade de haver apenas um grupo com exatamente 2 pessoas com o mesmo signo? c) qual a probabilidade de haver só 2 grupos com pelo menos 3 pessoas (em cada um dos dois grupos) com o mesmo signo, sem que haja grupo com só duas pessoas do mesmo signo? c) qual a probabilidade de haver pelo menos 3 grupos com pelo menos 2 pessoas com o mesmo signo? d) resolva o item a) para uma turma de n alunos repartida em grupos de k alunos. 5) Arremessa-se um dado até que se obtenha o número 5 (uma vez obtido o número 5, cessam-se os arremessos). Qual a probabilidade de obtermos só um número 4 entre o quinto e o oitavo lançamento? JOSIMAR - RJ -Mensagem original- De: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 29 de Agosto de 2000 23:22 Assunto: Análise Combinátoria Olá. Estou na segunda série do Ensino Médio. Quantos anagramas da palavra "aluno" têm as vogais em ordem alfabética? João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: OBM !!!
Acho que fui bem também, mas eu não acertei a mão na questão 5 e me embananei na 4 :( Douglas -Mensagem original- De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Para: Obm [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 3 de Setembro de 2000 14:49 Assunto: OBM !!! E aí pessoal ??? Pô, já sei que o Nicolau não quer que comente as questões então, queria apenas saber como vocês foram. Eu, particularmente, achei a prova bem relax... Fiz tudo certinho, mas dei um mole na 4. E vcs ??? Aguardo respostas sem comentários sobre a prova !! Abraços, ¡ Villard !
pontos de encontro das diagonais
Caros amigos, gostaria de saber se algum de vocês poderia de ajudar com a seguinte questão: Quando traçamos todas as diagonais de um poligono regular convexo em quantos pontos essas dagonais se interceptam? Fora o centro do polígono, no caso em que o úmero de lados é par, existe um outro ponto em que três diagonais se interceptam? Um forte abraço a todos Carlos A. Gomes
RES: Problema da olimpíada
A solucao de vcs nao esta completa, por isso eh menor. Vou comentar o erro que acontece no caso n par. Por um lado, eh claro que se houverem n/2 jogos por domingo, o campeonato acaba no menor numero possivel de domingos (pois dois times nao podem jogar no mesmo domingo). Agora, fica faltando vc mostrar que realmente existe como organizar um campeonato de modo que haja n/2 jogos por domingo do inicio ao fim de modo que cada time jogue uma e so uma vez com cada um dos outros. Uma vez mostrado isso, o resto eh como vc fez. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Marcos Eike Tinen dos Santos Enviada em: Domingo, 3 de Setembro de 2000 12:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Problema da olimpíada também, concordo com você. logo, alguém queira me explicar porque tamanho detalhes sobre a solução desse problema, bela banca examinadora? O que os examinadores queriam que observasse nesta questão, para tamanha solução? Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sábado, 2 de Setembro de 2000 23:32 Assunto: Problema da olimpíada Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
Re: Problema da olimpíada
On Sat, 2 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote: Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Porque sua resposta está incompleta e você só fez a parte trivial da questão. O difícil é demonstrar que existem tabelas de jogos que realizam os valores de m que você encontrou. É fácil montar uma tabela para qq valor pequeno de n mas a solução precisa demonstrar que existe uma tabela sempre, de preferência dando uma receita para construir uma tabela. []s, N.
Re: RPM (e nada mais)
On Sun, 3 Sep 2000, Jorge Peixoto Morais wrote: Eu estava lendo a RPM 8 e vi 2 coisas interessantes. 1) Ela fala de soluções inteiras. Ela mostra algumas equações com aplicações prática, descobre algumas soluções para elas e mostra então que não há outras soluções. Como se generaliza a técnica usada para qualquer outra equação (espero que vocês tenham a RPM 8). A Eureka! 7 fala de Diofantinas, mas até o ponto em que eu pude ler (até ela começar a travar meu micro) ela não falava de como se prova que em uma equação não há soluções além da(s) conhecida(s). Só um comentário com relação a esta travada: a Nelly deve publicar a Eureka em pedaços correspondentes a artigos em formatos *.doc, *.ps e *.pdf. Podem cobrar, mas não exagerem pois a Nelly tem muito mais o que fazer! []s, N.
Re: pontos de encontro das diagonais
On Sun, 3 Sep 2000, Carlos Gomes wrote: Caros amigos, gostaria de saber se algum de vocês poderia de ajudar com a seguinte questão: Quando traçamos todas as diagonais de um poligono regular convexo em quantos pontos essas dagonais se interceptam? Fora o centro do polígono, no caso em que o úmero de lados é par, existe um outro ponto em que três diagonais se interceptam? Um forte abraço a todos Carlos A. Gomes Boa pergunta. Eu tenho a lembrança de já ter visto um exemplo deste fenômeno (treês diagonais se encontrando fora do centro), talvez para n = 18. Provavelmente a resposta geral é difícil. []s, N.
Re: Problema da olimpíada
entendi.. Tudo bem!! Bem que eu vi que estava faltando algo, pois me perguntei será que existem tais tabelas? Ats, Marcos Eike
Re: pontos de encontro das diagonais
Pô, falei besteira sobre a segunda parte eskeçam akilo da simetria !! akilo é só para o centro !! ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 3 de Setembro de 2000 21:44 Assunto: Re: pontos de encontro das diagonais On Sun, 3 Sep 2000, Carlos Gomes wrote: Caros amigos, gostaria de saber se algum de vocês poderia de ajudar com a seguinte questão: Quando traçamos todas as diagonais de um poligono regular convexo em quantos pontos essas dagonais se interceptam? Fora o centro do polígono, no caso em que o úmero de lados é par, existe um outro ponto em que três diagonais se interceptam? Um forte abraço a todos Carlos A. Gomes Boa pergunta. Eu tenho a lembrança de já ter visto um exemplo deste fenômeno (treês diagonais se encontrando fora do centro), talvez para n = 18. Provavelmente a resposta geral é difícil. []s, N.
