Re: triângulo com mais de 180o?
Isso significa que poderíamos substituir o axioma das paralelas pelo axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é 180°"? Isto é, a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180° implica o axioma das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos a soma dos ângulos é 180°? From: "Antonio" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: triângulo com mais de 180o? Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300 Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma dos ângulos do triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os mestres da lista comentarem mais o assunto! - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM Subject: Re: triângulo com mais de 180o? A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus na geometria euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, você só pode estar trabalhando com a geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 graus. Mas esse triângulo não é definido na geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos é 180 decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo euclidiana. Certamente, se você considerar uma geometria na superfície de uma esfera, onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será um triângulo sim. Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas, não podemos afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é 180). Abraços, ¡Villard! -Mensagem original- De: vinicius [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 Assunto: triângulo com mais de 180o? considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P - até dois pontos distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa, este triângulo possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o. isto está de acordo com a definição de triângulo? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: triângulo com mais de 180o?
On Sun, 8 Apr 2001, Antonio wrote: At onde eu saiba, em geometrias no euclidianas, a soma dos ngulos do tringulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. Mas como esta no minha especialidade, deixo para os mestres da lista comentarem mais o assunto! No acompanhei bem as mensagens anteriores, mas se voc calcular A + B + C - Pi isto d a integral da curvatura dentro do tringulo, este o teorema de Gauss-Bonnet. Em geometria hiperblica a curvatura constante igual a -1 donde A + B + C = Pi - rea. Isto significa claramente que A + B + C Pi para tringulos no triviais. Isto tambm significa que a rea de um tringulo no mximo Pi. Em uma esfera de raio 1, A + B + C = Pi + rea Em uma geometria de curvatura varivel fica mais complicado. []s, N.
Re: Ajuda no começo
Caro Rodrigo, visivelmente as provas da olimpada brasileira e at da IMO trazem basicamente o seguinte: Teoria dos Nmeros, Geometria, Combinatria e Desigualdades. Se voc puder ir em "SEBOS" (loja de livros usados) sugiro: Teoria dos Nmeros - Anlise Algbrica do Rey Pastor (em espanhol) - R$ 10,00 Geometria F.I.C. - R$ 10,00 - demonstre tudo Em seguida procure o CARONNET (carronet - francs) de Geometria traduzido R$ 10,00. Lies de Combinatria - Possui exerccios tipo A, B, C, D... - excelente Agora, sim voc pode ler os papers da OBM - principalmente o de desigualdades. Depois disso, resolva todas as provas da OBM. Por ltimo, tente resolver as provas da IMO. Se no conseguir, no se preocupe. Voc estar bem perto! Compre o G. Polya em A Arte de Resolver Problemas. Ser um longo caminho, mas no desista. At l e um abrao. Fbio - Original Message - From: romenro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 07, 2001 7:53 PM Subject: Ajuda no comeo Meu nome Rodrigo. Estou iniciando minha preparao para olimpadas. Gostaria de saber por que assuntos comear, quais so os mais impotantes. Gostaria de saber sites bons de pesquisa. Tenho 15 anos e estou no 2 Colegial. Desde j agradeo muito. __ O BOL Top3 no iBest! Vote j para torn-lo Top1! http://www.bol.com.br/ibest.html
Re: geometrias triângulo com mais de 180o?
Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e, para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema. (Axioma algo que no pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta") Vrias geometrias foram construdas ao longo dos tempos, excluindo um ou outro axioma. Em geral, devido a sua no-obviedade, o primeiro axioma a ser excludo era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P no pertencente a r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as geometrias no-euclidianas, com vrias aplicaes tericas e algumas prticas. Resumidamente, so classificadas de acordo com a soma dos ngulos internos de um tringulo: maior que 180 ou menor que 180. A geometria esfrica (ou da esfera de Rienman) aquela onde as retas so os crculos mximos, isto , de centro no centro da esfera e raio at um ponto desta. Com tais retas, pode-se construir um tringulo com trs (!!) ngulos retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se necessrio, pegue um globo terrestre. fcil ver que o V postulado (o axioma das paralelas escrito por Euclides) no vale nessa geometria. A geometria do Plano de Poincar ( essa a geometria elptica?) toma a regio do plano cartesiano onde y0 e adota como retas x = k e arcos de circunferncias centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho primeira vista (e realmente ), mas, assim, vc pode construir um tringulo com menos de 180. J a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um erro de raciocnio que passou indetectado por anos. Isto , todos sabiam que haviam um erro na argumentao dele, mas no conseguiam ach-lo. Quem tiver acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele. Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero tambm que algum me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-) []'s Alexandre Tessarollo PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas noes (e no o estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias no-euclidianas MESMO, s em Geometria II, que eletiva. A propsito, bem vindo, calouro. Abraos do seu veterano.. hehe Rodrigo Villard Milet wrote: Sim ! Se voc tiver soma dos ngulos internos igual a 180, com certeza est presente o axioma das paralelas ! Villard ! -Mensagem original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40 Assunto: Re: tringulo com mais de 180o? Isso significa que poderamos substituir o axioma das paralelas pelo axioma: "Existe um tringulo em que a soma dos ngulos 180"? Isto , a existncia de um tringulo cuja soma dos ngulos 180 implica o axioma das paralelas e, consequentemente, que em todos os tringulos a soma dos ngulos 180? From: "Antonio" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: tringulo com mais de 180o? Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300 At onde eu saiba, em geometrias no euclidianas, a soma dos ngulos do tringulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. Mas como esta no minha especialidade, deixo para os mestres da lista comentarem mais o assunto! - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM Subject: Re: tringulo com mais de 180o? A soma dos ngulos internos de um tringulo s 180 graus na geometria euclidiana. Explicanco melhor : Se voc verificar que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180, voc s pode estar trabalhando com a geometria euclidiana. De fato, num tringuo esfrico, a soma dos ngulos internos do tringulo 180 graus. Mas esse tringulo no definido na geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos 180 decorre do axioma das paralelas, que s definido na geo euclidiana. Certamente, se voc considerar uma geometria na superfcie de uma esfera, onde as retas so os grandes crculos, note que PAB ser um tringulo sim. Mas como nessa geometria no vale o axioma das paralelas, no podemos afirmar nada sobre a soma dos ngulos (s q ela180). Abraos, Villard! -Mensagem original- De: vinicius [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 Assunto: tringulo com mais de 180o? considerem a forma esfrica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (plo norte ou plo sul) - ponto P - at dois pontos distintos pertencentes linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um tringulo? se a resposta for afirmativa, este tringulo
Comprimento da Espiral Equiangular
Bueas! Resolvi parametrizar a espiral equiangular sozinho, no brao. Achei que suas equaes seriam x = Rcos^n(t)cos(nt) y = Rcos^n(t)sen(nt) onde R o raio da circunferncia original, t o ngulo formado entre OP[n] e OP[n+1]. Todavia, quando fui calcular o comprimento com N de zero a infinito, cheguei na srie somatrio(cos^n(t)/n), n= 1, 2.. infinito. pretendia achar algo em funo de t e depois fazer o limite quando t -zero, s que ainda no consegui calcular o valor da srie. Vale lembrar que 0tpi/2. Para quem no sabe o que a espiral equiangular e/ou no entendeu minhas convenes, fiz a construo assim: Seja C um crculo de centro O e raio R; Construa um ngulo inscrito QOP[0] = t; Construa vrios angulos seguidos, no sentido trigonomtrico, todos iguais a t; Marque P[1] como o p da perpendicular baixada de P[0] em relao a OQ; Repita o processo sendo P[n+1] o p da perpendicular baixada de P[n] em relao a OP[n+1]. Para facilitar a visualizao, anexo uma figura em formato wmf, como fig de texto do word num arquivo rtf e, para quem tem no formato do Cabri e no do SketchPad. Ainda para esses, vale a pena pedir o Locus de cada P[n] quando P[0] ou Q se movem. Note que cada programa faz uma figura diferente %=O []'s Alexandre Tessarollo OBS: P[n] leia-se "P ndice n"; cos^n(t) leia-se "n-sima potncia de cosseno de t" sen(nt) leia-se "seno do produto n vezes t" EspEquiang.zip
