Re: [obm-l] probabilidade
Ha 2^4 = 16 casos possiveis (cada elemento pode ser par ou impar, e supomos que isso ocorra com prob. iguais). Para ser impar, o produto da diagonal principal deve ser par e o da secundaria impar, ou vice-versa. Para o da principal ser par, ha 3 casos (PP, PI, IP) e para o da secundaria ser impar, 1 caso (I, I). Mais 3 casos do vice-versa, ha 6 casos favoraveis e a resposta eh 6/16 = 3/8. Em suma, exatamente o que voce fez (a unica finalidade desta mensagem eh tentar explicar um pouco mais o FUI COM BINANDO). Morgado Marcos Reynaldo wrote: Para o determinante ser impar, o produto dos elementosde uma das diagonais deve ser par e na outra serimpar.Eu fiz pegando todos os casos. Escrevi numa unicalinha pra ficar mais facil (a11a22,a12a21)e fuicombinando. Pelas minhas contas deu 6/16=3/8. Gostariade saber do pessoal se tem outra maneira.[]'s Marcos --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Qual a probabilidadedo determinante de uma matriz quadrada 2x2, com coeficientes inteiros, ser mpar? ___Busca Yahoo!O melhor lugar para encontrar tudo o que voc procura na Internethttp://br.busca.yahoo.com/=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] moedas
Acho que é a mesma coisa tirar kkkc e kckk. Não iporta a ordem. Afinal, que ordem, se elas estão sendo jogadas para ar todas de uma vez?E se, por exemplo, asmoedas ficarem na seguinte posição, o que você iria considerar? kcck, cckk, kkcc ou ckkc? Acho que não há diferença nenhuma entre essas possibilidades
kc
kc
Assim o espaço amostral seria {,kkkc,kkcc,kccc,} e haveria probabilidade de 1/5 = 20%.
From: Marcos Reynaldo <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] moedas
Date: Thu, 5 Dec 2002 02:27:28 -0300 (ART)
Sim, realmente eh a mesma coisa, mas soh tem um
detalhe, ao considerarmos isto, veja que os resultados
não ocorrem com a mesma frequencia. Veja:
(a) 1 vez
(b) kkkc, kkck, kckk, ckkk .. 4 vezes
(c) kkcc, kckc, kcck, ckkc, ckck, cckk .. 6 vezes
(d) kccc, ckcc, cckc, ccck .. 4 vezes
(e) 1 vez
Assim o espaco amostral nao eh equiprovavel.
Então uma outra maneira de resolver o problema é
considerar prob de (a) ocorrer (=p(a))como referencia
e a frequencia de cada um como pesos.
Lembrando que a soma das probabilidades dos cinco
resultados é 1, temos:
p(a)+p(b)+p(c)+p(d)+p(e)=1
-- p(a)+4p(a)+6p(a)+4p(a)+p(a)=1
donde conclui-se que p(a)=1/16 e portanto
p(c)=6p(a)=6/16=3/8.
Se vc observar eh mais facil considerar cada ordenacao
como resultado diferente e assim todas com a mesma
probabilidade de ocorrer.
[]'s Marcos
--- pichurin <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:
Jogar as moedas e obter kkkc ou kkck não é obter a
mesma coisa?
Se for a mesma coisa este espaço amostral pode ser
reduzido, passando de
{,kkkc,kkck,KKCC,kckk,KCKC,KCCK,kccc,ckkk,CKKC,CKCK,ckcc,CCKK,cckc,ccck,}
para
{,kkkc,kkcc,kccc,}
Desculpem, mas é que não estou entendendo muito bem
este problema.
--- pichurin <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:
Mas ao jogar as moedas, obter kkkc ou kkck não é a
mesma coisa?
___
Busca Yahoo!
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Re: [obm-l] moedas
Gente, vamos ler com mais atenao a clara e correta explicaao do Marcos
Reinaldo. Voces podem usar o espao amostral
{,kkkc,kkcc,kccc,}, mas isso eh inconveniente porque ele nao eh equiprovavel.
Quem acha que eh deve estar disposto a apostar em contra duas caras
e duas coroas. Topa?
Morgado
Andre Linhares wrote:
Acho que a mesma coisa tirar kkkc e kckk. No iporta a ordem.
Afinal, que ordem, se elas esto sendo jogadas para ar todas de uma vez?E
se, por exemplo, asmoedas ficarem na seguinte posio, o que voc iria considerar?
kcck, cckk, kkcc ou ckkc? Acho que no h diferena nenhuma entre essas possibilidades
kc
kc
Assim o espao amostral seria {,kkkc,kkcc,kccc,} e haveria
probabilidade de 1/5 = 20%.
From: Marcos Reynaldo Reply-To:
[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l]
moedas Date: Thu, 5 Dec 2002 02:27:28 -0300 (ART)Sim, realmente
eh a mesma coisa, mas soh tem um detalhe, ao considerarmos isto, veja
que os resultados no ocorrem com a mesma frequencia. Veja: (a)
1 vez (b) kkkc, kkck, kckk, ckkk
.. 4 vezes (c) kkcc, kckc, kcck, ckkc, ckck, cckk .. 6 vezes
(d) kccc, ckcc, cckc, ccck .. 4 vezes (e)
1 vez Assim o espaco amostral nao eh equiprovavel. Ento uma outra
maneira de resolver o problema considerar prob de (a) ocorrer (=p(a))como
referencia e a frequencia de cada um como pesos. Lembrando que
a soma das probabilidades dos cinco resultados 1, temos: p(a)+p(b)+p(c)+p(d)+p(e)=1
-- p(a)+4p(a)+6p(a)+4p(a)+p(a)=1 donde conclui-se que p(a)=1/16
e portanto p(c)=6p(a)=6/16=3/8. Se vc observar eh mais facil considerar
cada ordenacao como resultado diferente e assim todas com a mesma probabilidade
de ocorrer.[]'s Marcos --- pichurin
escreveu: Jogar as moedas e obter kkkc ou kkck no
obter amesma coisa?Se for a mesma coisa este espao
amostral pode serreduzido, passando de {,kkkc,kkck,KKCC,kckk,KCKC,KCCK,kccc,ckkk,CKKC,CKCK,ckcc,CCKK,cckc,ccck,}
para{,kkkc,kkcc,kccc,}
Desculpem, mas que no estou entendendo muito bemeste problema.
--- pichurin
escreveu: Mas ao jogar as moedas, obter kkkc
ou kkck no a mesma coisa?___
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Re: [obm-l] Amigo secreto...
É verdade que o jeito comum, só tem e^-1 de chance de nao dar certo, mas ai e so tirar outro papelzinho. A pior coisa desse método são os ciclos pequenos (que quase sempre acontecem). Por outro lado, se fizer a permutação, a principio, ninguem sabe pra quem vai dar presente. E isso é um problema bem maior, já que você não sabe se compra perfume de homem ou de mulher, CD de forró ou de rock. Pra contornar isso, o sorteio teria que ser um pouquinho mais complicado do que no método usual. - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:08 PM Subject: Re: [obm-l] Amigo secreto... Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo oculto eh fazer uma permutaçao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila) das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundo presenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processo nao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas que trocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica da distribuiçao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente (basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiro etc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos com papeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou a si mesmo). Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% de probabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteou a si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujo numero nao recordo agora, mas que alguem certamente indicarah. Gabriel Pérgola wrote: Boa tarde, Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o número de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa para que desse certo. Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita da confraternização com um número ímpar de pessoas. Por exemplo: três pessoas participando, A, B e C A tira B B tira C C tira A E vi que não importa o número de pessoas. Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato. Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto? Abraços, Gabriel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Amigo secreto...
Na empresa em que trabalho, o homem dos computadores fez programa que gerou a permutaao e expediu e-mails para cada um comunicando quem era o amigo oculto, sem que ninguem visse a permutaao. Morgado Eduardo Azevedo wrote: verdade que o jeito comum, s tem e^-1 de chance de nao "dar certo", masai e so tirar outro papelzinho.A pior coisa desse mtodo so os ciclos pequenos (que quase sempreacontecem).Por outro lado, se fizer a permutao, a principio, ninguem sabe pra quemvai dar presente. E isso um problema bem maior, j que voc no sabe secompra perfume de homem ou de mulher, CD de forr ou de rock.Pra contornar isso, o sorteio teria que ser um pouquinho mais complicado doque no mtodo usual.- Original Message -From: "Augusto Csar Morgado" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:08 PMSubject: Re: [obm-l] A migo secreto... Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo ocultoeh fazer uma permutaao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila)das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundopresenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processonao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas quetrocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica dadistribuiao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente(basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiroetc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos compapeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou asi mesmo).Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% deprobabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteoua si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujonumero nao re cordo agora, mas que alguem certamente indicarah.Gabriel Prgola wrote: Boa tarde,Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha repblica, mas o nmero de pessoas que moram aqui mpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa para que desse certo.Mas depois pensei direito e vi que possvel a realizao perfeita daconfraternizao com um nmero mpar de pessoas.Por exemplo: trs pessoas participando, A, B e CA tira BB tira CC tira AE vi que no importa o nmero de pessoas.S no consegui achar uma explicao matemtica para este fato.Algum poderia me dar uma explicao do porqu disto?Abraos,Gabriel=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] Amigo secreto...
On Thu, Dec 05, 2002 at 10:47:06AM -0200, Augusto César Morgado wrote: Embora eu seja um troglodita em materia computacional, numa empresa em que trabalho o homem da informatica fez um programa que ele diz ser muito simples e automaticamente foram expedidos e-mails para cada participante comunicando quem era o amigo oculto (esta lista eatah cheia de paulistas ou portugueses que falam em amigo secreto!), sem que ninguem tivesse visto a permutaçao. Ha especialistas em computaçao nesta lista que poderiam comentar a dificuldade de execuçap de um tal programa. Morgado Se o computador for confiável (isso é, se todo mundo confiar que ninguém vai tentar craquear o computador para tentar descobrir a permutação) então isso de fato é muito simples. Um desafio maior é pensar no seguinte cenário: não existe um servidor confiável mas cada pessoa tem seu computador e os computadores sabem se falar (pela internet, digamos). Não podemos encarregar uma pessoa de gerar a permutação no seu computador (pois todos são curiosos e iriam olhar a permutação). E agora? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Derivadas
Oi, pessoal!Tenho uma dúvida bem básica sobre derivadas: qual a definição da derivada?Podemos limitar apenas à reta tangente e taxa de variação?Explico o porquê da minha pergunta... Me ocorreu que a identificação daderivada com a reta tangente não seria tão correta assim, uma vez que asderivadas de funções trigonométricas e da exponencial não são equações dereta!Ou seja, as derivadas podem muito bem representar taxas de variação (asquais não entendo muito bem ainda, alguém poderia me explicar aidentificação da derivada com as taxas?), mas a reta tangente não me parecetão boa assim! Alguém explica?Grato!Henrique. ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Amigo secreto...
On Thu, Dec 05, 2002 at 09:26:19AM -0200, Eduardo Azevedo wrote: É verdade que o jeito comum, só tem e^-1 de chance de nao dar certo, mas ai e so tirar outro papelzinho. A pior coisa desse método são os ciclos pequenos (que quase sempre acontecem). Depende do que você considera quase sempre... Com o sorteio simples que você sugere e um grupo de n pessoas, a probabilidade de obtermos um único ciclo é 1/n. A probabilidade de obtermos exatamente dois ciclos (de qualquer tamanho) é significativamente maior: H(n-1)/n. Estou usando a notação H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k ~= log k onde este log é na base e (log na base 10 é uma destas coisas totalmente obsoletas que só sobrevivem em livros escolares). Talvez seja interessante estudar a probablilidade de todos os ciclos terem tamanho pelo menos m em um sorteio com n pessoas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Amigo secreto...
Nao sei se te entendi direito mas voce quer um amigo secreto no qual ninguem se auto-sorteia.Assim sendo basta formar um ciclo,em que A_k tira A_k+1 (adicao dos indices modulo n,em que ha n pessoas na festa) e pronto!Esta e apenas uma das varias soluçoes. Mas se voce quer saber qual a chance de ninguem tirar ninguem,tente ver a funçao das permutaçoes caoticas.Se eu nao me engano tem a ver com uma certa serie de e^(-1) Gabriel_Pérgola [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde,Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o númerode pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoapara que desse certo.Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita daconfraternização com um número ímpar de pessoas.Por exemplo: três pessoas participando, A, B e CA tira BB tira CC tira AE vi que não importa o número de pessoas.Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?Abraços,Gabriel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Derivadas
Oi pessoal ! Na verdade é bem mais fácil entender as derivadas pensando nelas como taxas de variação. Imagine o seguinte problema: Temos uma função f qualquer. Queremos saber quanto essa função variou em média entre f(a) e f(b). É fácil perceber que a variação (v: a--b) é (f(b) - f(a))/(b - a) . ( I ) Vamos agora definir o que seria a taxa de variação da derivada com um exemplo que eu vou pegar emprestado da física. Imagine um carro andando com uma velocidade variável v(x) (em que x é o tempo). Em um certo momentot o motorista olha para o velocímetro e vê a velocidade instatânea do carro v(t) . Sabemos que a variação da velocidadev(x) é causada pela aceleração a(x) do carro. A taxa de variação de velocidade no momento té a aceleraçãoinstantânea a(t) que o carro tinha naquele momento. Logo a(x) = v ´(x). Note que tanto a velocidade como a aceleração devem ser instantâneas. Aplicando um raciocínio análogoa ( I ), fazendo b - a tender a 0 (como se os momentos fossem instantâneos),temos que: f ´(x) = lim (h -- 0) (f(x) - f(x+h))/h . Que é a definição formal de derivada. André T. - Original Message - From: Henrique P. Sant'Anna Branco To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 05, 2002 11:17 AM Subject: [obm-l] Derivadas Oi, pessoal!Tenho uma dúvida bem básica sobre derivadas: qual a definição da derivada?Podemos limitar apenas à reta tangente e taxa de variação?Explico o porquê da minha pergunta... Me ocorreu que a identificação daderivada com a reta tangente não seria tão correta assim, uma vez que asderivadas de funções trigonométricas e da exponencial não são equações dereta!Ou seja, as derivadas podem muito bem representar taxas de variação (asquais não entendo muito bem ainda, alguém poderia me explicar aidentificação da derivada com as taxas?), mas a reta tangente não me parecetão boa assim! Alguém explica?Grato!Henrique.___Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] Derivadas
Nao to te entendendo.O valor da derivada diz o coeficiente angular,nao a forma da reta.Por assim dizer o valor da derivada de uma funçaonum certo pointo diz a inclinaçao da tangente nodito ponto.E taxa de variaçao e velocidade.Como v_media=delta s/delta t,derivando com delta t tendendo a zero,fim! "Henrique P. Sant'Anna Branco" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal!Tenho uma dúvida bem básica sobre derivadas: qual a definição da derivada?Podemos limitar apenas à reta tangente e taxa de variação?Explico o porquê da minha pergunta... Me ocorreu que a identificação daderivada com a reta tangente não seria tão correta assim, uma vez que asderivadas de funções trigonométricas e da exponencial não são equações dereta!Ou seja, as derivadas podem muito bem representar taxas de variação (asquais não entendo muito bem ainda, alguém poderia me explicar aidentificação da derivada com as taxas?), mas a reta tangente não me parecetão boa assim! Alguém explica?Grato!Henrique.___Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re:
Ola Frederico,
Nao sei se e exatamente isso que voce quer, mas, vamos la.
Voce so precisa considerar numeros primos. Quanto ao maior primo a ser
considerado, depende unicamente da quantidade de inteiros envolvidos. Vou
falar sobre isso mais embaixo.
Eu estou sem tempo e vou apenas abordar uns casos particulares, por analogia
de forma e de raciocinio voce completa o resto, falou ?
Sejam N1, N2, ..., Np os P inteiros. Suponhamos que Ni Nj se i J. O
produto sera PROD=produtoria de (Nj-Ni), para todos (i,J) com j i.
Vamos agora considerar o fator primo 2.
FATOR PRIMO 2. ( Vou fazer este detalhado, pra servir de modelo )
Claramente que cada Ni so pode ser congruo a 0 ou a 1 modulo 2, isto e,
Ni==0(mod 2) ou Ni==1(mod2). Sejam A={x/x==0(mod2)} e B={x/x==1(mod2)}.E
claro que A e B sao conjuntos disjuntos e que qualquer diferenca entre dois
quaisquer dos inteiros N1, N2, ...,Np sera :
1) Uma diferenca entre dois elementos de A
2) Uma diferenca entre dois elementos de B
3) Uma diferenca entre um elemento de A e outro de B
Nos dois primeiros casos a diferenca sera divisivel por 2, no terceiro nao
sera. Seja portanto Y o numero de elementos de A, o numero de elementos de B
sera W. Claramente que Y+W=P.
Sendo assim o total de diferencas entre elementos de A sera BINOM(Y,2) e
entre elementos de B sera BINOM(W,2). Cada uma destas diferencas sera
multiplo de 2, com certeza, sendo portanto a quantidade minima de fatores 2,
isto e :
S = BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)
E o total de fatores 2 que aparecem. Para nao ficarmos na dependencia dos
inteiros escolhidos, tomamos o minimo de S, isto e :
EXP(2)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2), Y+W=P }
EXP(2) e portanto o EXPOENTE do FATOR PRIMO 2 que sempre dividira o produto
para quaisquer P inteiros escolhidos, dois a dois dintintos.
Veja que estou deixando pra voce a determinacao do minimo, que a parte mais
simples da questao. Para o fator primo 3 voce vai proceder de forma analoga.
FATOR PRIMO 3
Para qualquer dos Ni, Ni==0(mod3) ou Ni==1(mod3) ou Ni==2(mod3). Sejam
A={x/x==0(mod3), B=={x/x==1(mod3) e C=={x/x==2(mod3) e Y, W e V o numero de
elmentos de cada um destes respectivos conjuntos. entao :
EXP(3)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)+ BINOM(V,2), Y+W+V=P }
E, como no caso anterior, EXP(3) e o expoente do FATOR PRIMO 3 do numero que
dividira o produto para quaisquer P numeros inteiros escolhidos, dois a dois
distintos.
Para os outros fatores primos proceda de forma semelhante.
Bom, aqui deve ter ficado claro pra voce que o maior numero natural que
dividira o produto P independente da escolha dos Ni, desde que sejam
inteiros distintos, sera :
D=(2^EXP(2))*(3^EXP(3))*...*(Pu^EXP(P)), *=SINAL DE MULTIPLICACAO
Precisamos saber quem e Pu, o ultimo numero primo a ser considerado.
Para ver como descobrir isso, considere que cada numero primo Q implica em
calcular o minimo de uma soma da forma :
S=BINOM(V1,2)+BINOM(V2,2)+...+BINOM(Vq,2) com q parcelas e
com V1+V2+...+Vq=P, P=quantidade de inteiros dois a dois distintos.
Se esse minimo puder ser zero, entao o fator primo Q nao precisara,
necessariamente, aparecer na decomposicao de D, o maior natural que sempre
dividira PROD independe de quais P inteiros forem escolhidos, desde que dois
a dois distintos.
Claramente que este primo Q sera O MAIOR PRIMO MENOR que P.
Se Q for maior ou igual a P entao podemos IMAGINAR uma solucao de
V1+V2+...+Vq=P na qual cada parcela seja 1 ou ZERO, o que implica num minimo
nulo, pois todos os BINOM(Vi,2) serao nulos, isto e, expoente sera zero e,
portanto, o fator primo nao ira aparecer.
CONVENCOES :
BINOM(N,P)=N!/[P!*(N-P)!] se N = P. Se N P entao BINOM(N,P)=0.
V1+V2+...+Vq=P, Equacao de q variaveis cada uma delas um inteiro
nao-negativo. Vr corresponde a quantidade de Ni's que deixam resto r
quando divididos pelo primo Q.
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1638,051202
From: fredericogomes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Date: Thu, 5 Dec 2002 11:14:39 -0200
(1,1,1) ?
Um Abraço, Fred.
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Re: [obm-l] Derivadas
Falai frizu.. Eu prefiro a definição por tangência, física é um porre. Vamos lá. Dada uma função f(x) contínua num intervalo [a,b]. Queremos aproximar essa função por uma reta, digamos que por razões computacionai (é muito mais fácil calcular uma expressão do tipo y = ax + b do que y = arctanh(x^n)/e^x). Vide figura em anexo. Dado um ponto (x0,f(x0)) = (x0,y0) pertencente ao gráfico da f. Qual é a equação de uma reta que passa por esse ponto? r: y - f(x0) = m(x-x0) y = f(x0) + m(x-x0) Reparemos que o lado direito da expressão, fixados x0 e m, depende somente de x, colocando em notação de função: t(x) = f(x0) + m(x-x0) O que queremos fazer é trocar os valores de f(x) pelos valores dessa nova função t(x). É fácil notar que: t(x0) = f(x0) + m(x0-x0) = f(x0). E que lim [x - x0] f(x) - t(x) = 0. (eq. 1) Ou seja, quando x se aproxima de x0, qualquer que for a reta que tomemos, nossa aproximação vai ter um erro cada vez mais próximo de 0. A pergunta que se faz é a seguinte: qual dentre todas essas retas é a que melhor se aproxima de f(x)? Ou em outras palavras, existe m tal que: lim [x - x0] (f(x) - t(x))/(x-x0) = 0 ? (eq 2.) Analisando essa expressão com mais cuidado: temos um quociente de dois números indo para 0. Isso significa que o numerador é muito menor que o denominador. Mas nós já sabemos que o numerador tende a 0 quando x tende a x0 (vide eq. 1), e que obviamente x-x0 tende a 0 quando x tende a x0. O que isso quer dizer é que o numerador está tendendo a 0 muito mais rapidamente que o denominador, de forma que o erro que nós cometemos ao aproximar f(x) por t(x) vai ser em módulo inferior a x-x0. Voltando a eq2, podemos rescreve-la voltando t(x): lim [x-x0] (f(x) - f(x0) - m(x-x0)) / (x-x0) = 0 lim [x-x0] (f(x) - f(x0)) / (x-x0) - m(x-x0)/(x-x0)) = 0 lim [x-x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) - m) = 0 Mas lim [x-x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) é por definição a derivada de f(x) em x0, logo: f'(x0) - m = 0 = m = f'(x0). Definimos então y = f(x0) + f'(x0) (x-x0) como a *reta tangente* ao gráfico de f em (x0,f(x0)), sendo ela a única reta que goza dessa propriedade. Logo, não só a explicação de derivadas por tangência não é fraca como a *própria definição* de tangência vem das derivadas. Quando ao que você comentou sobre as funções trigonométricas, exponenciais, a derivada é um número, que você calcula em um dado valor do domínio da função. Ela por si só não é a equação de reta, e sim o coeficiente angular da reta. Seja g(x) = sin(x). Qual é a reta tangente ao gráfico de g(x) no ponto (pi/3,sin(pi/3)) ? y = g(pi/3) + g'(pi/3) (x - pi/3) y = sin(pi/3) + cos(pi/3) (x - pi/3) y = 1/2 + sqrt(3)/2(x - pi/3). E o análogo para as funções exponenciais e quaisquer outras, a derivada, se existe, é um número. Quando estamos trabalhando com funções de duas ou mais varíaveis as coisas não mudam muito, o que se passa a definir é plano tangente, superficie tangente, etc, de forma parecida com que se defini a reta tangente. On Thursday 05 December 2002 11:17, Henrique P. Sant'Anna Branco wrote: Oi, pessoal! Tenho uma dúvida bem básica sobre derivadas: qual a definição da derivada? Podemos limitar apenas à reta tangente e taxa de variação? Explico o porquê da minha pergunta... Me ocorreu que a identificação da derivada com a reta tangente não seria tão correta assim, uma vez que as derivadas de funções trigonométricas e da exponencial não são equações de reta! -- []'s Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa attachment: grafico1.eps
[obm-l] quadrilátero
ABCD é um quadrilátero no qual o ângulo D é reto e A=B=60º. Demonstrar que AB + BC=2AD. Por favor me ajudem demonstrar essa afirmação.
Re: [obm-l] Amigo secreto...
Acompanhei a discussão a respeito do amigo secreto, até onde pude. Lembrei-me de um problema surgido com a minha noiva em seu serviço. O sorteio do amigo secreto é feito em junho e no final do ano são entregue os presentes. Durante o semestre há um mural onde se colocam mensagens para o amigo secreto, identificando-o a partir de um pseudonimo que é combinado na hora do sorteio. Ela tirou a diretora da instituição onde ela trabalha (descobri, perguntando o pseudonimo da diretora). Aí o que eu fiquei pensando é o seguinte: Sendo n o número de funcionários, qual a probabilidade do PARTICIPANTEX retirar o PARTICIPANTEY e vice-versa?? Gabriel_Pérgola [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde,Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o númerode pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoapara que desse certo.Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita daconfraternização com um número ímpar de pessoas.Por exemplo: três pessoas participando, A, B e CA tira BB tira CC tira AE vi que não importa o número de pessoas.Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato.Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto?Abraços,Gabriel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=JOÃO CARLOS PAREDE Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] quadrilátero
Title: Re: [obm-l] quadrilátero Prolongue os lados AD e BC. Assim voce forma um triangulo equilatero e as s coisas ficam mais faceis. -- From: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] quadrilátero Date: Thu, Dec 5, 2002, 6:51 PM ABCD é um quadrilátero no qual o ângulo D é reto e A=B=60º. Demonstrar que AB + BC=2AD. Por favor me ajudem demonstrar essa afirmação.
Re: [obm-l] moedas
É a mesma coisa no final, mas precisamos contar a probabilidade depois da
queda de cada moeda ( rimou! ), e não cada resultado possível. Se fosse como
vc diz, a probabilidade do problema seria 1/5 ( podem ocorrer 0, 1, 2, 3 ou
4 caras ).
Fischer
- Original Message -
From: pichurin [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, December 03, 2002 12:34 AM
Subject: Re: [obm-l] moedas
Mas ao jogar as moedas, obter kkkc ou kkck não é a
mesma coisa?
--- Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED]
escreveu: O espaço amostral eh o seguinte:
{,kkkc,kkck,KKCC,kckk,KCKC,KCCK,kccc,ckkk,CKKC,CKCK,ckcc,CCKK,cckc,ccck,
},
onde k=cara e c=coroa
Assim, temos 6 casos em 16 e portanto a
probabilidade
eh 6/16 ou 3/8.
Uma outra maneira:
probabilidade de ocorrer k(pk)=probabilidade de
ocorrer c(pc)=1/2
Assim, teriamos
pk.pk.pc.pc=(1/2).(1/2).(1/2).(1/2)=1/16 ,
mas como isso pode ocorrer em outra ordem
multiplique
por 4!/(2!.2!)=6 que é o número de permutações
possiveis. No final terá o mesmo resultado 3/8.
--- pichurin [EMAIL PROTECTED] escreveu:
No
lançamento de 4 moedas honestas, a probabilidade
de
ocorrerem duas caras e duas coroas vale quanto?
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Re: [obm-l] Amigo secreto...
Pensemos na lista. Suponhamos que haja x participantes e que foi feito um sorteio valido. Qual eh a prob. de Andre T tirar Dirichlet e vice-versa? A prob. de Andre T tirar Dirichlet eh 1/(n-1) e, depois disso, a prob. de Dirichlet tirar Andre T eh 1/(n-1). A resposta eh 1/[n-1)^2] JOO CARLOS PAREDE wrote: Acompanhei a discusso a respeito do amigo secreto, at onde pude. Lembrei-me de um problema surgido com a minha noiva em seu servio. O sorteio do amigo secreto feito em junho e no final do ano so entregue os presentes. Durante o semestre h um mural onde se colocam mensagens para o amigo secreto, identificando-o a partir de um pseudonimo que combinado na hora do sorteio. Ela tirou a diretora da instituio onde ela trabalha (descobri, perguntando o pseudonimo da diretora). A o que eu fiquei pensando o seguinte: Sendo n o nmero de funcionrios, qual a probabilidade do PARTICIPANTEX retirar o PARTICIPANTEY e vice-versa?? Gabriel_Prgola [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha repblica, mas o nmero de pessoas que moram aqui mpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa para que desse certo. Mas depois pensei direito e vi que possvel a realizao perfeita da confraternizao com um nmero mpar de pessoas. Por exemplo: trs pessoas participando, A, B e C A tira B B tira C C tira A E vi que no importa o nmero de pessoas. S no consegui achar uma explicao matemtica para este fato. Algum poderia me dar uma explicao do porqu disto? Abraos, Gabriel = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =! JOO CARLOS PAREDE Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que voc procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Notícia
Caro Eduardo, Como poderia conseguir a resolução das provas da Olimpiada Gaucha? Gostaria que você me indicasse sites brasileiros que disponibilizassem problemas de matematica, especialmente, voltados as Olimpiadas de Matematica. Atenciosamente, Fernando. - Original Message - From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, November 30, 2002 8:00 PM Subject: [obm-l] Notícia Caros colegas da lista, hoje, dia 30 de novembro, ocorreu a segunda fase da Olimpíada Regional de Matemática da Grande Porto Alegre (que é, na verdade, aberta a todo o RS). As provas podem ser encontradas no site não-oficial da competição, na seção de Provas, http://www.geocities.com/olimpiadagaucha/. As questões são todas muito criativas e inéditas, com exceção a uma que foi ligeiramente alterada de outra competição. Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Notícia
Fernando, no site da obm, na seção links, você vai encontrar o endereço de várias olimpíadas regionais. A que possui mais material, se me lembro bem, é da olimpíada goiana. Quanto à olimpíada gaúcha. Já corrigimos todas as provas, e em pouco tempo (não sei bem quando exatamente, 1 ou 2 semanas), vamos disponibilizar no site as melhores soluções dos alunos. Aí eu aviso pela lista: afinal a lista é para esse tipo de coisa também ;). A questão que teve menor pontuação foi a questão dos olímpicos. E vou colocar aqui na lista, para ver se alguém dá uma solução diferente da que encontramos. Um olímpico é um natural cuja soma dos algarismos (na base decimal) divide o produto dos mesmos. Mostrar que para todo k0, existe um olímpico de k algarismos. Abraço, Duda. From: Fernando [EMAIL PROTECTED] Caro Eduardo, Como poderia conseguir a resolução das provas da Olimpiada Gaucha? Gostaria que você me indicasse sites brasileiros que disponibilizassem problemas de matematica, especialmente, voltados as Olimpiadas de Matematica. Atenciosamente, Fernando. - Original Message - From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, November 30, 2002 8:00 PM Subject: [obm-l] Notícia Caros colegas da lista, hoje, dia 30 de novembro, ocorreu a segunda fase da Olimpíada Regional de Matemática da Grande Porto Alegre (que é, na verdade, aberta a todo o RS). As provas podem ser encontradas no site não-oficial da competição, na seção de Provas, http://www.geocities.com/olimpiadagaucha/. As questões são todas muito criativas e inéditas, com exceção a uma que foi ligeiramente alterada de outra competição. Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Convergência de uma seqüência de matrizes
On Thu, Dec 05, 2002 at 12:39:43AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Olá a todos Estou trabalhando em um programa ligado a energia elétrica e tenho uma matriz quadrada A, de ordem p, na qual cada termo a_i,j está em [0,1]. Além disto, tenho que a soma de cada coluna da matriz é 1. Embora não seja exatamente isto, é como se A fosse uma matriz de probabilidades de transição de estado, conforme aparece em processos estocásticos. Com algum algebrismo verificamos que a soma de cada coluna de A2 também é 1, do que concluímos imediatamente que esta mesma condição vale para qualquer potência inteira de A. De fato. Dizer que as colunas de A somam 1 significa que XA = X onde X é a matriz linha (1 1 1 ... 1) e portanto de XA = X então XAA = XA = X. Dizer que as linhas somam 1 significa que AY = Y onde Y = X^t é o vetor coluna com todas as entradas iguais a 1 e se AY = Y então AAY = AY = Y. Não consegui provar matematicamente, mas, com uma planilha Excel, verifico que, se A não contiver zeros ou 1s, então a seqüência (An) converge para uma matriz na qual todas as colunas são idênticas e correspondem a um auto vetor de A associado ao auto valor 1. De fato, considere T o conjunto de vetores coluna (x1,x2,...,xn) com x1+x2+...+xn = 1, 0 = xi = 1. Este conjunto T é invariante pela transformação linear A e é homeomorfo a um disco. Pelo teorema do ponto fixo de Brower deve existir um ponto fixo de A em T que claramente é um autovetor correspondente ao autovalor 1. Se existisse mais de um ponto fixo então por linearidade o subespaço contendo esses dois pontos seria todo de pontos fixos logo haveria um ponto fixo no bordo do nosso conjunto T, ou seja, haveria um ponto fixo v com uma ou mais coordenadas iguais a 0 e as demais maiores que 0. Se todos os coeficientes de A forem positivos devemos ter todas as coordenadas de Av estritamente positivas, o que é um absurdo. Assim o ponto fixo é único. Acabamos de provar que a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é igual a 1. A multiplicidade algébrica também é igual a 1 pois se existisse nilpotência associada ao autovalor 1 haveria um vetor v para o qual o limite de |A^n v| seria infinito o que é claramente falso: o conjunto dos vetores (x1,x2,...,xn) com |x1| + |x2| + ... + |xn| = 1 é invariante por A. Podemos provar matematicamente que isto, de fato, sempre se verifica? Se a matriz contiver zeros (logo, também 1s) então pode não haver converg6encia, certo? Claro, basta considerar a matriz (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) ou outra matrix de permutação qualquer. Os resultados que você quer são os teoremas de Perron-Frobenius. Você pode achar em livros de álgebra linear um pouco mais avançados do que os livros texto que você deve conhecer. Uma boa referência é: Theory of matrices, Gantmacher, F. R., Chelsea Publishing Co., New York, 1977. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] dúvida combinatória
Não consegui entender esta questão, gostaria de ajuda. (UFSM-2002) De quantas maneiras podemos distribuir 5 livros entre 3 pessoas de modo que cada pessoa receba pelo menos um livro? Obrigado __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Derivadas
On Thu, Dec 05, 2002 at 03:22:16PM -0200, Wagner wrote: ... f ´(x) = lim (h -- 0) (f(x) - f(x+h))/h . Que é a definição formal de derivada. Cuidado, sinal errado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Amigo secreto...
On Thu, Dec 05, 2002 at 02:39:11PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Me lembrei!!!Ha algum tempo alguem pediu uma formula fechada de a_n=(n-1)(a_n-1+a_n-2) ou coisa parecida.Basta encaixar esta formula na probabilidade dos amigos secretos. Assim ninguém entende nada do que você está querendo dizer. Ajudaria bastante dizer o que significa a_n. Ao citar mensagens de outras pessoas, também ajuda deixar mais claro o que é citação e o que é novo. É bom também jogar fora as partes da mensagem citada que não tem mais nada a ver, especialmente as várias cópias das instruções de como sair da lista. Se você não se lembra direito do que é que foi pedido, use o arquivo, você sabe onde encontrá-lo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
