Re: [obm-l] tabuleiro
Talvez o enunciado esteja mal escrito! O que ele quiz dizer é que a soma dos números das casas vizinhas de qualquer casa é igual a 1. Na matriz, por exemplo, as vizinhas do elemento a14 são a13 a15 e a24, cuja soma não é 1. Este foi apenas um exemplo, pois existem casas com 4 vizinhas e a soma das quatro deveria ser 1. Eu já tentei muita coisa, mas não estou conseguindo... Em (23:09:48), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola acredito que nao.. veja esta matriz q satisfaz o que ele diz: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 cuja soma é 32.. veja ai abracos, Salhab On 4/2/07, vandermath wrote: Mas tem casa que tem mais de uma vizinha não é verdade? eu acho que a resposta não era essa, era 20. Obrigado! Em (22:12:01), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola, ele é 8x8, entao, a soma de cada fila é 4.. para ver isso, basta pegarmos: (a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16) + (a17 + a18) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 assim será em cada uma das linhas.. logo, a soma de todos os numeros é: 4x8 = 32 abracos, Salhab On 4/2/07, vandermath wrote: Alguém poderia me ajudar com essa? Guilherme escreveu um número em cada casa de um tabuleiro 8 x8 (64 casas), de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada tabuleiro é igual a 1. Calcule a soma de todos os números escritos por Guilherme. Observação: duas casas são vizinhas se possuem um lado comum. Obrigado, Vanderlei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --
[obm-l] PROBLEMAS INVULGARES!
Cada uma das 20 classes de um colégio tem 3 representantes. Uma comissão de 20 alunos representantes de classe, escolhida ao acaso, deverá ser formada para dinamizar a parte cultural e esportiva do colégio. O 2º colegial A está representado na comissão; todas as classes estão representadas. Determinar P(A) e P(B)? Um homem ou dirige seu carro ou toma o trem para ir trabalhar todos os dias. Suponhamos que ele nunca tome o trem dois dias em seguida; mas se ele dirige até o trabalho, então, no dia seguinte, a probabilidade de ele dirigir novamente é a mesma de ele tomar o trem? Suponha que 50 individuos estão a licitar um relógio antigo, tendo cada um uma estimativa não-enviesada do verdadeiro valor do relógio retirada de uma distribuição uniforme no intervalo (0, C) em que C tem um valor desconhecido. A sua estimativa do valor do relógio é de 400 dólares. Quanto deveria oferecer em licitação? Afinal! Qual a escolha mais sensata entre uma perda certa de 750 dólares ou 75% de perder 1000 dólares e 25% de probabilidade de perder 0 dólares? E se ao invés de perda fosse ganho...? Um relógio de pulso digital tem acurácia melhor que 1 minuto em 1 ano. Mostrar que que a acurácia na medida de tempo é da ordem de 0,0002%. A acurácia é uma indicação de quanto o valor experimental de uma grandeza está próxima do valor verdadeiro da mesma. Portanto, a acurácia está relacionada com erros sistemáticos e estatisticos, enquanto a precisão está relacionada sòmente com erros estatísticos... A propósito, existe uma esfera contendo somente um ponto racional em sua superfície? Agora, vem a bomba que pouca gente sabe desativar: Como fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!) Abraços! _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] problema de geometria e link de IMO's
Sauda,c~oes, No email editado abaixo tem um problema de geometria, sua fonte (um jornal de Hong Kong com o link) e uma discussão de sua solução. Se o Claudio (obrigado pelas demonstrações, muito claras) não conhece, o jornal de HK traz muitos problemas tipo IMO. []'s Luís Dear all my friends: The problem angles is from Mathematical Excalibur Vol 7 nº 3, problem 158 http://www.math.ust.hk/excalibur/v7_n3.pdf Best regard Ricardo Vladimir Dubrovsky wrote: Dear Tuan, Ricardo, Kostas, Tarik, Francois and Nikolaos Somehow I missed some posts and found another solution to Tuan's question. It seems to be shorter, so I decided to add it to the collection. So we have point P on AD such that Angle BPD=Angle BAC=2Angle DPC. Extend AD to meet the circumcircle of ABC at E; let CE=d, BE=e. Then BD:DC=area(ABE) :area(ACE) =ce/bd. (*) Triangle PBE is similar to ABC; hence PE=be/a. (This is, actually, Francois's similarity.) Triangle CPF is similar to A'AB, where AA' is the bisector of A (this is another similarity, but a transformational argument escapes me; maybe Francois can shed light on it). Hence PE= cd/BA' =(b+c)d/a. It remains to equate the two expressions for PE and substitute the resulting e/d=(b+c)/b into (*). Notice that if we take triangle EBC as the initial one (instead of ABC), then P will be on the *extension* of ED. The original relation between the angles is violated, but it will remain the same if we think of angles as oriented angles between lines rather than rays. So, in a certain way, this answers Tarik's question: BD/DC = e(e-d)/dd. Best regards, Vladimir == [QTB] This fact is still true for any triangle ABC. In this case, D divide BC by one simple ratio depending on sides a, b, c. What is this ratio and how is the proof for this general case? [TA] Dear kostas, if the point P is on the extension of the line AD will your proof work there? Moon Bangladesh [ND] We construct a point D on BC such that BD/DC = k =c(b+c)/bb The parallel from D to AC meets AB at E. The circumcircle EBC meets AC at F. The circumcircle EBD meets AD at P. It is easy to prove that DF is parallel to AA' the A_bisector from CA'=ac/(b+c) DC=a/(k+1) AE = c/(k+1) AE.AB = AF.AC and CF/CA = CD/CA' Hence the ratio is k. For b=c we get k=2 as in Barosso's problem. The contruction of D is as follows: We construct the parallelogram BCAC1. The parallel from C to AA' meets AB at C2 The reflection of A in B is the point C3. The circumcircle of C1C2C3 meets the line BC1 at C4. The line AC4 meets BC at the point we want D. Best regards Nikos Dergiades [FR] Here another proof where I have tried to minimize the number of auxiliary points. Let f be the direct similarity of center B sending A to P and E = f(C). By hypothesis, A, P, E are on a same line. We have the following equalities between angles of lines: (CA, CB) = (EP, EB) (invariance of angles by a direct similarity) (EP, EB) = (EA, EB) (for A, B, P are on a same line) So (EA, EB) = (CA, CB) and points A, B, C, E are cocyclic (i.e on a same circle) Now as A is on the perpendicular bisector of segment BC, line EA is a bisector of angle The other bisector is through the point D harmonic conjugate of D wrt BC. But by assumption done on D (i.e BD = 2 DC), C is the middle of BD. Let F be the middle of segment BE. Then FC is parallel to EDand hence perpendicular to line EDPA. Hence C and F are symmetric wrt this last line and we are done : Un abrazo Francois _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] tabuleiro
Ola, acho que agora entendi! a soma de todos eh 1.. eh isso? vou tentar novamente dps abracos, Salhab On 4/3/07, vandermath [EMAIL PROTECTED] wrote: Talvez o enunciado esteja mal escrito! O que ele quiz dizer é que a soma dos números das casas vizinhas de qualquer casa é igual a 1. Na matriz, por exemplo, as vizinhas do elemento a14 são a13 a15 e a24, cuja soma não é 1. Este foi apenas um exemplo, pois existem casas com 4 vizinhas e a soma das quatro deveria ser 1. Eu já tentei muita coisa, mas não estou conseguindo... Em (23:09:48), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola acredito que nao.. veja esta matriz q satisfaz o que ele diz: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 cuja soma é 32.. veja ai abracos, Salhab On 4/2/07, vandermath wrote: Mas tem casa que tem mais de uma vizinha não é verdade? eu acho que a resposta não era essa, era 20. Obrigado! Em (22:12:01), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola, ele é 8x8, entao, a soma de cada fila é 4.. para ver isso, basta pegarmos: (a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16) + (a17 + a18) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 assim será em cada uma das linhas.. logo, a soma de todos os numeros é: 4x8 = 32 abracos, Salhab On 4/2/07, vandermath wrote: Alguém poderia me ajudar com essa? Guilherme escreveu um número em cada casa de um tabuleiro 8 x8 (64 casas), de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada tabuleiro é igual a 1. Calcule a soma de todos os números escritos por Guilherme. Observação: duas casas são vizinhas se possuem um lado comum. Obrigado, Vanderlei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exclusão da Lista
Solicito minha exclusão da lista OBM. Obrigado. Att, Frederico Reis M. Brito. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sites com problemas olímpicos
Sauda,c~oes, O mesmo Ricardo da mensagem anterior mandou mais dois links. Deixo os três aqui juntos. Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/v7_n3.pdf In http://members.tripod.com/%7EPertselV/RusMath.html http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml there are many problems.. Ricardo Dei uma olhada bem rápido no site russo e peguei este problema: Prove that for every natural n the following inequality is held: (2n + 1)^n = (2n)^n + (2n - 1)^n. []'s Luís _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMAS INVULGARES!
Agora, vem a bomba que pouca gente sabe desativar: Como fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!) Divide cada pão em 10 pedaços e dá sete pedaços pra cada homem. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exclusã o da Lista
On Tue, Apr 03, 2007 at 12:05:32PM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote: Solicito minha exclusão da lista OBM. Peço a todos a cortesia e o bom senso de não mandar para a lista pedidos administrativos como este. Basta ver o rodapé: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Na página acima leia: ... Em caso de qualquer outra dúvida ou dificuldade por favor entrem em contato comigo. (e meu e-mail aparece poucas linhas acima) e principalmente: Nunca escrevam para obm-l AT mat.puc-rio.br pedindo ajuda para inscrever-se ou desinscrever-se. Obrigado pela atenção, Nicolau = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
A titulo de curiosiade, calculei umas somas para k variando ate 15. Para isso, utilizei umas propriedades da Transformada Z. T(1)=(n*(n+1))/2 T(2)=(n*(n+1)*(2*n+1))/6 T(3)=(n^2*(n+1)^2)/4 T(4)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^2+3*n-1))/30 T(5)=(n^2*(n+1)^2*(2*n^2+2*n-1))/12 T(6)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^4+6*n^3-3*n+1))/42 T(7)=(n^2*(n+1)^2*(3*n^4+6*n^3-n^2-4*n+2))/24 T(8)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(5*n^6+15*n^5+5*n^4-15*n^3-n^2+9*n-3))/90 T(9)=(n^2*(n+1)^2*(n^2+n-1)*(2*n^4+4*n^3-n^2-3*n+3))/20 T(10)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(n^2+n-1)*(3*n^6+9*n^5+2*n^4-11*n^3+3*n^2+10*n-5))/66 T(11)=(n^2*(n+1)^2*(2*n^8+8*n^7+4*n^6-16*n^5-5*n^4+26*n^3-3*n^2-20*n+10))/24 T(12)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(105*n^10+525*n^9+525*n^8-1050*n^7-1190*n^6+2310*n^5+1420*n^4-3285*n^3-287*n^2+2073*n-691))/2730 T(13)=(n^2*(n+1)^2*(30*n^10+150*n^9+125*n^8-400*n^7-326*n^6+1052*n^5+367*n^4-1786*n^3+202*n^2+1382*n-691))/420 T(14)=(n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^12+18*n^11+24*n^10-45*n^9-81*n^8+144*n^7+182*n^6-345*n^5-217*n^4+498*n^3+44*n^2-315*n+105))/90 T(15)=(n^2*(n+1)^2*(3*n^12+18*n^11+21*n^10-60*n^9-83*n^8+226*n^7+203*n^6-632*n^5-226*n^4+1084*n^3-122*n^2-840*n+420))/48 Abracos Ricardo ps: observe a expressao para k=15 : A formula nao eh tao simples e bonitinha como para k=1,2 e 3. Divirta-se! - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 02, 2007 3:39 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais O processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas potências dos n primeiros numeros naturais (como, na realidade, a da soma das k-esimas potencias dos n primeiros termos de uma PA) eh um polinomio do grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos coeficientes a determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim eh trabalhoso. O coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1). Artur . -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de J. Renan Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 14:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais Olá à todos! Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k? Para k = 0, temos S = n Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2 Para k=2 pensei no seguinte.. (1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1 (2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1 ... (n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1 Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação: 0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3 Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6 Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2) Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade? -- Abraços, J.Renan -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.446 / Virus Database: 268.18.22/739 - Release Date: 29/3/2007 13:36
[obm-l] Duvida
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ? Abraços. _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] tabuleiro
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Mon, 2 Apr 2007 21:25:39 -0300 Assunto:[obm-l] tabuleiro Alguém poderia me ajudar com essa? Guilherme escreveu um número em cada casa de um tabuleiro 8 x8 (64 casas), de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada tabuleiro é igual a 1. Calcule a soma de todos os números escritos por Guilherme. Observação: duas casas são vizinhas se possuem um lado comum. Obrigado, Vanderlei Acho que o enunciado deveria ser: dada qualquer casa do tabuleiro, a soma dos números nas casas vizinhas a ela é igual a 1 Nesse caso, proponho a seguinte generalização: Dado um tabuleiro 2mx2m (m inteiro positivo) nas condições do enunciado, a soma dos números escritos no tabuleiro é igual a m(m+1). Em particular, num tabuleiro 8x8 (m=4), a soma é 20. []s, Claudio.
[obm-l] Sequencia
Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Sequencia
Ola, primeiramente, vamos supor que a_n e b_n convergem.. entao: lim a_(n+1) = lim a_n = m1 lim b_(n+1) = lim b_n = m2 m1 = (m1 + m2)/2 ... 2m1 = m1 + m2 ... m1 = m2 ou m2^2 = m1*m2 m1 = m2 agora temos que mostrar que estas sequencias convergem :) pela desigualdade das medias, temos: a_(n+1) = b_(n+1) opa! basta provarmos que b_n converge... b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ... opa! b_n é descrescente! mas b_n tbem é limitado, pois só possui termos positivos! logo, b_n converge e, consequentemente, a_n converge! abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:17 PM Subject: [obm-l] Sequencia Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Problema de contagem
Galera da lista estou com um problema nessa questao e se alguem puder me ajudar eu desde de já agradeço: 1) De quantos modos o numero 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RE: [obm-l] tabuleiro
Voce achou uma configuracao que funciona. Mas o problema eh provar que qualquer configuracao que obedece ao enunciado tem soma m(m+1). A primeira observacao eh que voce pode reduzir o problema a metade pois se a soma das casas pretas for m(m+1)/2, entao a soma das casas brancas tambem serah m(m+1)/2. Por exemplo, num tabuleiro 8x8 (o problema original), suponha que voce quer descobrir a soma das casas pretas (ou seja, as casas x(i,j) com i+j par - estou supondo que o canto superior esquerdo - casa x(1,1) - eh preto) por meio da solucao de um sistema linear que implementa as condicoes do enunciado. Este sistema consiste de 32 equacoes (uma para cada casa branca) em 32 incognitas (os valores das casas pretas). Por exemplo, algumas das equacoes sao: x(1,1)+x(2,2)+x(1,3)=1 (vizinhos da casa (1,2)) x(3,7)+x(4,6)+x(4,8)+x(5,7)=1 (vizinhos da casa (4,7)) x(7,1)+x(8,2)=1 (vizinhos da casa (8,1)) etc... No entanto, voce quer apenas a soma x(1,1)+x(1,3)+x(1,5)+...+x(8,8) e nao o valor de cada variavel individualmente (ateh porque existe uma infinidade de solucoes - o sistema tem posto 32 - alias, um outro problema interessante eh determinar o posto do sistema ou, equivalentemente, o numero maximo de casas do tabuleiro cujo valor pode ser escolhido arbitrariamente). O que voce tem que fazer, entao, eh tomar um subconjunto dessas 32 equacoes tal que cada variavel aparece em exatamente uma equacao desse subconjunto. Dai, somando as equacoes voce obterah a soma desejada. Um tal subconjunto consiste de exatamente 10 equacoes (veja abaixo). Como o lado esquerdo de cada uma delas eh 1, a soma desejada eh 10. De forma totalmente analoga, voce calcula a soma das casas brancas - tambem igual a 10, claro! Logo, a soma do tabuleiro eh 20. Pra ver que o subconjunto acima consiste de 10 equacoes, o melhor eh visualizar o tabuleiro, onde * representa uma casa branca e letras representam as incognitas das 10 equacoes (duas casas com letras iguais representam incognitas que aparecem numa mesma equacao - por exemplo, a primeira equacao mencionada acima eh representada pela letra a, a terceira pela letra k e segunda nao estah entre as 10): a * a * t * t * * a * b * t * e c * b * b * e * * c * b * h * e c * g * h * h * * g * g * h * p k * g * s * p * * k * s * s * p O mesmo procedimento funciona no caso geral: num tabuleiro 2mx2m as casas pretas (e as brancas) geram 2m^2 equacoes em 2m^2 incognitas, das quais podemos extrair um subconjunto com m(m+1)/2 equacoes tal que cada incognita aparece em exatamente uma equacao. Uma prova disso pode ser dada por inducao (por exemplo, adicione 2 linhas e 2 colunas ao tabuleiro acima e veja o que acontece) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: [EMAIL PROTECTED] Data: Tue, 3 Apr 2007 19:20:34 -0300 Assunto: RE: [obm-l] tabuleiro Uma configuação que sempre dá certo para um tabuleiro 2nx2n é a seguinte: Imagine uma matriz 2n x 2n em camadas... a camada externa seria composta pela linha 1 e 2n mais as colunas 1 e 2n. A segunda camada seria para as linhas 2 e 2n-1 (excluindo os elementos das pontas, que já fazem parte da camada externa) e as colunas na mesma configuração. Logo, uma matriz 2n x 2n teria n camadas. Uma configuração que sempre funciona é atribuir o valor 0.5 para as camadas ímpares e 0 para as camadas pares. alguns exemplos: 2x2: 0.5 0.5 0.5 0.5 4x4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 6x6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Agora é questão de braço para chegar na fórmula m(m+1) por indução, vamos colocar uma casca nova num tabuleiro 2m x 2m existente. f(m+2) = f(m) + CascaNova, sendo que CascaNova = (m+2) * 4 - 2 (o menos 2 é devido aos vértices) (m+2) * (m+3) = m (m+1) + 4m + 8 -2 E como a fórmula funciona para m=1 (tabuleiro 2x2) e m=2(tabuleiro 4x4) funciona para todos, certo? SDS JG [João Gilberto Ponciano Pereira] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of claudio.buffara Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:11 PM To: obm-l Subject: Re:[obm-l] tabuleiro De:[EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 2 Apr 2007 21:25:39 -0300 Assunto: [obm-l] tabuleiro Alguém poderia me ajudar com essa? Guilherme escreveu um número em cada casa de um tabuleiro 8 x8 (64 casas), de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada tabuleiro é igual a 1. Calcule a soma de todos os números escritos por Guilherme. Observação: duas casas são vizinhas se possuem um lado comum. Obrigado, Vanderlei Acho que o
