[obm-l] V Teorema
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Re: RE: [obm-l] tabuleiro
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 4 Apr 2007 21:45:01 -0300 Assunto: Re: RE: [obm-l] tabuleiro Prezado Cláudio, desculpe a minha falta de conhecimento, mas não entendi como você descobriu que as equações ideais são aquelas e não outras sem precisar escrever todas, ou seja, qual o critério estabelicido para saber que aquelas 10 e não outras são as equações que nos darão a soma desejada. Outra pergunta, esse problema é conhecido em forma de algum teorema ou é apenasm mais um dos vários problemas que envolvem tabuleiros? Um abraço, Vanderlei Em (23:08:54), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Voce achou uma configuracao que funciona. Mas o problema eh provar que qualquer configuracao que obedece ao enunciado tem soma m(m+1). A primeira observacao eh que voce pode reduzir o problema a metade pois se a soma das casas pretas for m(m+1)/2, entao a soma das casas brancas tambem serah m(m+1)/2. Por exemplo, num tabuleiro 8x8 (o problema original), suponha que voce quer descobrir a soma das casas pretas (ou seja, as casas x(i,j) com i+j par - estou supondo que o canto superior esquerdo - casa x(1,1) - eh preto) por meio da solucao de um sistema linear que implementa as condicoes do enunciado. Este sistema consiste de 32 equacoes (uma para cada casa branca) em 32 incognitas (os valores das casas pretas). Por exemplo, algumas das equacoes sao: x(1,1)+x(2,2)+x(1,3)=1 (vizinhos da casa (1,2)) x(3,7)+x(4,6)+x(4,8)+x(5,7)=1 (vizinhos da casa (4,7)) x(7,1)+x(8,2)=1 (vizinhos da casa (8,1)) etc... No entanto, voce quer apenas a soma x(1,1)+x(1,3)+x(1,5)+...+x(8,8) e nao o valor de cada variavel individualmente (ateh porque existe uma infinidade de solucoes - o sistema tem posto 32 - alias, um outro problema interessante eh determinar o posto do sistema ou, equivalentemente, o numero maximo de casas do tabuleiro cujo valor pode ser escolhido arbitrariamente). O que voce tem que fazer, entao, eh tomar um subconjunto dessas 32 equacoes tal que cada variavel aparece em exatamente uma equacao desse subconjunto. Dai, somando as equacoes voce obterah a soma desejada. Um tal subconjunto consiste de exatamente 10 equacoes (veja abaixo). Como o lado esquerdo de cada uma delas eh 1, a soma desejada eh 10. De forma totalmente analoga, voce calcula a soma das casas brancas - tambem igual a 10, claro! Logo, a soma do tabuleiro eh 20. Pra ver que o subconjunto acima consiste de 10 equacoes, o melhor eh visualizar o tabuleiro, onde * representa uma casa branca e letras representam as incognitas das 10 equacoes (duas casas com letras iguais representam incognitas que aparecem numa mesma equacao - por exemplo, a primeira equacao mencionada acima eh representada pela letra a, a terceira pela letra k e segunda nao estah entre as 10): a * a * t * t * c * b * b * e * c * g * h * h * k * g * s * p * O mesmo procedimento funciona no caso geral: num tabuleiro 2mx2m as casas pretas (e as brancas) geram 2m^2 equacoes em 2m^2 incognitas, das quais podemos extrair um subconjunto com m(m+1)/2 equacoes tal que cada incognita aparece em exatamente uma equacao. Uma prova disso pode ser dada por inducao (por exemplo, adicione 2 linhas e 2 colunas ao tabuleiro acima e veja o que acontece) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: [EMAIL PROTECTED] Data: Tue, 3 Apr 2007 19:20:34 -0300 Assunto: RE: [obm-l] tabuleiro Uma configuação que sempre dá certo para um tabuleiro 2nx2n é a seguinte: Imagine uma matriz 2n x 2n em camadas... a camada externa seria composta pela linha 1 e 2n mais as colunas 1 e 2n. A segunda camada seria para as linhas 2 e 2n-1 (excluindo os elementos das pontas, que já fazem parte da camada externa) e as colunas na mesma configuração. Logo, uma matriz 2n x 2n teria n camadas. Uma configuração que sempre funciona é atribuir o valor 0.5 para as camadas ímpares e 0 para as camadas pares. alguns exemplos: 2x2: 0.5 0.5 0.5 0.5 4x4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 6x6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Agora é questão de braço para chegar na fórmula m(m+1) por indução, vamos colocar uma casca nova num tabuleiro 2m x 2m existente. f(m+2) = f(m) + CascaNova, sendo que CascaNova = (m+2) * 4 - 2 (o menos 2 é devido aos vértices) (m+2) * (m+3) = m (m+1) + 4m + 8 -2 E como a fórmula funciona para m=1 (tabuleiro 2x2) e m=2(tabuleiro 4x4) funciona para todos, certo? SDS JG [João Gilberto Ponciano Pereira]
Res: [obm-l] Sequencia
Vlw. Marcelo. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 5 de Abril de 2007 0:28:36 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Olá Klaus, sabemos que MA = MG [media aritmetica maior ou igual a media geometrica] assim: (a_n + b_n)/2 = (a_n*b_n)^(1/2) a_(n+1) = b_(n+1), n = 0, 1, 2, 3... ou: b_n = a_n, n = 1, 2, 3... sabemos que a_n = b_n, entao: a_n*b_n = b_n^2 ... (a_n*b_n)^(1/2) = b_n logo: b_(n+1) = b_n ... b_n = b_(n+1) opz, troquei no outro email! b_n é crescente para n=1, 2, 3, ... entao vamos por outro lado: b_n = a_n a_n+b_n = 2a_n (a_n+b_n)/2 = a_n ... a_(n+1) = a_n logo, a_n é decrescente para n=1,2,3,4,...!! assim: 0 a_n = a_1 ... opa! a_n é limitada! logo, a_n converge... mas b_n = a_n ... logo, b_n converge... eu tinha dito que b_n é limitado pois é sempre positivo [maior que 0] e decrescente.. isto é: 0 b_n = b_0, para qualquer n mas isto esta furado, pois b_n nao eh decrescente! po.. no primeiro email eu troquei inclusive a desigualdade das medias.. esquece aquele email! ta todo errado! hehe desculpa ae! espero ter ajudado, abracos, Salhab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: RE: [obm-l] tabuleiro
O criterio foi a observacao de que eu nao preciso saber o valor de cada casa preta, mas simplesmente a soma desses valores. No caso, eu simplesmente achei 10 casas brancas tais que as casas pretas vizinhas a cada uma delas nao sao vizinhas de nenhuma das outras 9 e tomei as equacoes relativas aquelas casas brancas. Pra fazer isso eu desenhei um tabuleiro e, apos algumas tentativas, consegui uma particao das casas pretas nas condicoes acima. No caso 8x8, a particao consiste de exatamente 10 subconjuntos disjuntos cuja uniao eh o conjunto das 32 casas pretas. Eu nao conhecia este problema e duvido que seja conhecido como um teorema de combinatoria, ou um caso particular de um tal teorema, ateh porque esta area da matematica eh bem pouco estruturada, ou seja, nao existe uma grande teoria organizada de combinatoria, da mesma maneira que existe uma teoria bem organizada de equacoes diferenciais ou de geometria algebrica. Combinatoria ainda estah na fase em que os problemas sao, em grande parte, resolvidos caso a caso, sem se apelar para uma teoria geral (que nao existe ainda!). []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 4 Apr 2007 21:45:01 -0300 Assunto: Re: RE: [obm-l] tabuleiro Prezado Cláudio, desculpe a minha falta de conhecimento, mas não entendi como você descobriu que as equações ideais são aquelas e não outras sem precisar escrever todas, ou seja, qual o critério estabelicido para saber que aquelas 10 e não outras são as equações que nos darão a soma desejada. Outra pergunta, esse problema é conhecido em forma de algum teorema ou é apenasm mais um dos vários problemas que envolvem tabuleiros? Um abraço, Vanderlei Em (23:08:54), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Voce achou uma configuracao que funciona. Mas o problema eh provar que qualquer configuracao que obedece ao enunciado tem soma m(m+1). A primeira observacao eh que voce pode reduzir o problema a metade pois se a soma das casas pretas for m(m+1)/2, entao a soma das casas brancas tambem serah m(m+1)/2. Por exemplo, num tabuleiro 8x8 (o problema original), suponha que voce quer descobrir a soma das casas pretas (ou seja, as casas x(i,j) com i+j par - estou supondo que o canto superior esquerdo - casa x(1,1) - eh preto) por meio da solucao de um sistema linear que implementa as condicoes do enunciado. Este sistema consiste de 32 equacoes (uma para cada casa branca) em 32 incognitas (os valores das casas pretas). Por exemplo, algumas das equacoes sao: x(1,1)+x(2,2)+x(1,3)=1 (vizinhos da casa (1,2)) x(3,7)+x(4,6)+x(4,8)+x(5,7)=1 (vizinhos da casa (4,7)) x(7,1)+x(8,2)=1 (vizinhos da casa (8,1)) etc... No entanto, voce quer apenas a soma x(1,1)+x(1,3)+x(1,5)+...+x(8,8) e nao o valor de cada variavel individualmente (ateh porque existe uma infinidade de solucoes - o sistema tem posto 32 - alias, um outro problema interessante eh determinar o posto do sistema ou, equivalentemente, o numero maximo de casas do tabuleiro cujo valor pode ser escolhido arbitrariamente). O que voce tem que fazer, entao, eh tomar um subconjunto dessas 32 equacoes tal que cada variavel aparece em exatamente uma equacao desse subconjunto. Dai, somando as equacoes voce obterah a soma desejada. Um tal subconjunto consiste de exatamente 10 equacoes (veja abaixo). Como o lado esquerdo de cada uma delas eh 1, a soma desejada eh 10. De forma totalmente analoga, voce calcula a soma das casas brancas - tambem igual a 10, claro! Logo, a soma do tabuleiro eh 20. Pra ver que o subconjunto acima consiste de 10 equacoes, o melhor eh visualizar o tabuleiro, onde * representa uma casa branca e letras representam as incognitas das 10 equacoes (duas casas com letras iguais representam incognitas que aparecem numa mesma equacao - por exemplo, a primeira equacao mencionada acima eh representada pela letra a, a terceira pela letra k e segunda nao estah entre as 10): a * a * t * t * c * b * b * e * c * g * h * h * k * g * s * p * O mesmo procedimento funciona no caso geral: num tabuleiro 2mx2m as casas pretas (e as brancas) geram 2m^2 equacoes em 2m^2 incognitas, das quais podemos extrair um subconjunto com m(m+1)/2 equacoes tal que cada incognita aparece em exatamente uma equacao. Uma prova disso pode ser dada por inducao (por exemplo, adicione 2 linhas e 2 colunas ao tabuleiro acima e veja o que acontece) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: [EMAIL PROTECTED] Data: Tue, 3 Apr 2007 19:20:34 -0300 Assunto: RE: [obm-l] tabuleiro Uma configuação que sempre dá certo para um tabuleiro 2nx2n é a seguinte: Imagine uma matriz 2n x 2n em camadas... a camada externa seria composta pela linha 1 e 2n mais as
Re: [obm-l] integral
Buenas, Vamos começar pela fórmula da integral por partes: int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du) No caso, temos: u = arctan(pi.x) - arctan(x) v = ln(x) int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = lim(x-oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - lim(x-0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de taylor para arctan(x)). O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode ser: (arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) lim(x-oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) = LHospital = lim(x-oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)^2*x ) = 0 Então ficamos com: int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde: f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x) Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e +oo, e lembrar que, para x E R0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi. Assim: int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx + i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular int(0..oo) f(x) dx = f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com y0, que são: z=i e z=i/Pi. Res(z=i) = lim( x-i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4 Res(z=i/Pi) = lim( x-i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4 +i/2*ln(Pi) int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2* ln(Pi)) int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi) A integral pedida é então: int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx = int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi) []´s Demetrio --- BRENER [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, gostaria de uma ajudinha na integral int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx - Original Message - From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 1:59 PM Subject: Re: [obm-l] PROBLEMAS INVULGARES! Agora, vem a bomba que pouca gente sabe desativar: Como fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!) Divide cada pão em 10 pedaços e dá sete pedaços pra cada homem. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/cgi-bin/imail.cgi?+_u=carlosbrener_l=1,1175669399.534323.4998.aldavila.hst.terra.com.br,4017,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 03/04/2007 / Versão: 5.1.00/4999 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.446 / Virus Database: 268.18.26/746 - Release Date: 4/4/2007 1:09 PM = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
