[obm-l] 17 professores
Lema: Vamos comecar com seis professores que se correspondem sobre dois assuntos, Fisica e Matematica. Provaremos que entre eles hah 3 que se correspondem sobre o mesmo assunto. Representando os professores por pontos, Matematica por azul e Fisica por vermelho, ligaremos dois ponto em azul quando os dois professores associados a esses pontos se correspondem sobre Matematica, e o mesmo para Fisica, em vermelho. O que queremos provar eh que existe um triangulo cromatico (isto eh, com os tres lados da mesma cor). Considere o professor A. No grafico, saem dele 5 segmentos. Logo, como soh hah duas cores, no minimo 3 sao da mesma cor, digamos vermelho. Se algum dos segmentos ligando esses tres pontos eh vermelho, a afirmativa estah demonstrada. Caso contrario, todos sao azuis, e provamos a afirmativa. Agora vamos ao famigerado caso dos 17. Como anteriormente, seja Matemativa azul e Fisica vermelho. Introduzimos Quimica preto. Considere o professor A. No diagrama saem dele 16 segmentos, vermelhos azuis ou pretos. Como soh hah 3 cores, pelo menos 6 devem ter a mesma cor, digamos preto. Se algum dos segmentos ligando esses 6 pontos for preto, provamos o famigerado. Caso contrario, serao todos azuis ou vermelhos, e caimos no lema acima. Perguntinha: Qual o numero minimo de professores, correspondendo-se sobre quatro assuntos, para formar um triangulo cromatico? Abracos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] 17 professoresDate: Mon, 17 Sep 2007 15:28:13 -0300 (ART)Ola' pessoal,numa escola, ha' um grupo de 17 professores que se correspondem de tal forma que quaisquer 2 professores deste grupo trocam ideias sobre exatamente um assunto fixo entre matematica, fisica ou quimica.Prove que ha' pelo menos 3 professores que se correspondem sobre o mesmo assunto (isto e', a correspondencia entre A e B, B e C, assim como entre A e C sao sobre o mesmo assunto).[]'sRogerio PoncePS: nao confundir com "prove que ha' 3 professores que enviam alguma correspondencia sobre um mesmo assunto", que se resolve trivialmente com o "principipo da casa de pombos" (e ja' seria verdadeira para um grupo de 5 professores). Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima)
Quem pede respeito e' justamente quem demonstra gigantesca falta de educacao aliada a um profundo desconhecimento da lingua portuguesa (a interpretacao de textos e' ensinada desde o primario). Descabida e lamentavel. Rogerio Ponce PS: atualmente, transtorno bipolar, psicoses em geral, e mesmo TPM podem e devem ser tratados. ALINE Marconcin [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Colega Carlos Eddy Esaguy Nehab Não estou participando dessa lista para exibir conhecimento pra ninguém,estou apenas para tirar dúvidas e quem sabe solucionar algumas e gostaria de ser respeitada pelo senhor e pelos demais colegas. E quanto ao seu problema com mulheres, sinto muito por você. - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima) Date: Wed, 19 Sep 2007 12:51:05 -0300 Caramba ! Eu ia responder quando percebi que temos mais uma menina para fazer companhia à Bruna (que anda sumida, né)... Portanto, deixarei este privilégio para os milhões de meninos da lista..., apenas deixando uma pergunta à Aline: você sabe o que é homotetia? Nehab At 11:11 19/9/2007, you wrote: Olá Colegas... Estou com dúvida e agradeceria muito se alguém pudesse me ajudar. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem O, de modo que OZ esteja no interior do ângulo XOY. Por cada ponto P em OZ, sejam Q o pé da perpendicular baixada de P sobre OX e S a interseção com OY da paralela a OX passando por P. Prove que a razão PQ/PS não depende do ponto P tomando OZ. Obrigada pela atenção, abraços a todos... - MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
[obm-l] Dúvida Matrizes
Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2x2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2x2 Se alguém puder ajudar Grato,
Re: [obm-l] (Apostol) Função Máximo Inteiro
Olá Otávio, vc quer q prove que existe um, e somente um n inteiro, tal que: n = x n+1 este n nós chamamos de piso de x.. primeiro vamos provar que existe: vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro.. assim: x = a + w, onde a é inteiro e w é real e pertence ao intervalo [0, 1). deste modo, temos que a = x w 1 a+w a+1 ... x a+1... assim: a = x a+1 suponha que existe um k inteiro, tal que: k = x k+1 multiplicando por -1, temos: -(k+1) -x = -k somando, temos: n - (k+1) 0 (n+1) - k isto é: n - k 1 n - k -1 opa.. -1 n - k 1 como a operacao de subtracao eh fechada nos inteiros, temos que n - k pertence aos inteiros.. e como o unico inteiro no intervalo (-1, 1) é 0, concluimos que: n - k = 0 logo: n = k provamos que ele existe e é único... abraços, Salhab On 9/22/07, Otávio Menezes [EMAIL PROTECTED] wrote: (Página 28, exercício 4) Prove que para todo real x, existe um e apenas um inteiro n tal que x é maior ou igual a n e menor que n+1. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
Olá Samir, entendi o que vc disse. Mas nao concordo sobre a rigorosidade.. vejano exercicio que U éo espaco gerado pelos m vetores.. logo, possoescrever qualquer elemento de U como a combinacao linear dos m(independente deles serem LI ou nao..) e o mesmo vale para V..concordo que a demonstracao eh a mesma caso eu tomasse um subconjuntoLI e que gere U (uma base de U), mas como desconheco esse subconjunto,tomei os m mesmo.entendeu pq nao concordo sobre a rigorosidade? abraços,Salhab On 9/22/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Na parte dos espaços iguais; vi q vc usou como limite do somatorio a dimensao de A que eh m; mas a dimensao de V eh k≤m, onde k é o numero de vetores linearmente independentes de A. Obviamente se usar m a demonstracao nao vai falhar, pois vc esta somente introduzindo vetores linearmente dependendentes, e a unica mudanca seriam os coeficientes dos vetores da base na hora de montar um elemento de V; mas do ponto de vista de rigorosidade, deve-se usar k, uma vez que a base de V sera formada somente de vetores linearmente independentes. Em 21/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Samir, não entendi.. em que parte? dos espacos iguais ou da independencia linear? abraços,Salhab On 9/20/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito mais rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠ 0; k seria a dim(V) Em 20/09/07,! Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Klaus, primeiramente vamos mostar que V=W. como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está contido no outro... todos os somatorios sao de 1 até m v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r) logo, x E V... assim: U C V tente agora mostrar que V C U :) para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primei! ra linha pode ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas.. tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero. seja u_ij a j-ésima componente d! o i-ésimo vetor.. seja a_i o i-ésimo componente da comb! inacao linear.. apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos.. entao, a_1 deve ser nulo... agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo... entao, a_2 deve ser nulo.. e assim segue.. deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que os vetores sao LI.. abracos, SalhabOn 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada li! nha de B é obtida por combinação linear das linhas de ! A e vice-versa. justifique que V=W. Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada! são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto. Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Samir Rodrigues = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Samir Rodrigues = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Transformações Lineares
Oi, Klaus, Curiosidade para ficar mais eficaz ajud-lo: em qual livro voc est estudando este assunto, ou dito de outra forma, quais livros de Algebra Linear voc possui? Abraos, Nehab Klaus Ferraz escreveu: Encontre nmeros a,b,c e d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y) =(ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. b) tenha como imagem a reta y=2x e ncleo a reta y=x. Prove que as transformaes abaixo so sobrejetivas e, determine uma base para a imagem: A: R^3--R^2; A(x,y,z)=(2x+y,z); B: R^2--R^2; B(x,y) = (x+y,x-y); Quais os passos que eu devo adotar para mostrar que uma transformao sobrejetiva? Para mostrar que injetiva basta mostrar que ker(A)=0. (?) E sobre as transformaes acima o que posso dizer: BA sobrejetiva-- B sobrejetiva ? BA sobrejetiva-- A sobrejetiva ? BA injetiva-- B injetiva ? Ba injetiva -- A injetiva ? Estou com dificuldades nesse assunto. Espero compreenso dos colegas da lista. Flickr agora em portugus. Voc clica, todo mundo v. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação diferencial
Olá Daniel, y' = y/x + sqrt(xy)dy = (y/x + sqrt(xy)) dx (y/x + sqrt(xy)) dx - dy = 0 vamos supor que F(x, y) é continua... entao: dF = dF/dx * dx + dF/dy * dyonde dF/dx e dF/dy sao as devidadas parciais de F...como F é continua, temos que: d^2F/dxdy = d^2F/dydx.. com sorte, teremos: d/dy [ y/x + sqrt(xy) ] = d/dx [ -1 ]..mas infelizmente nao é verdade..entao, vamos multiplicar ambos os lador por um u(x)...assim, temos que ter: d/dy [ u(y/x + sqrt(xy)) ] = d/dx [ -u ] u(1/x + sqrt(x)/(2sqrt(y))) = -u'isto é: u'/u = -1/x - sqrt(x)/(2sqrt(y))ln(u) = -ln(x) - (2/3) * x^(3/2) / (2sqrt(y)) u = e^[ -ln(x) - x^(3/2) / (3sqrt(y)) ]u = 1/[x * exp(x^(3/2) / (3sqrt(y)) ] deste modo, temos que: entao, temos que:dF/dx = u(y/x + sqrt(xy))dF/dy = -u agora basta integrar dF/dy = -u em y, lembre que a constante agora éfuncao de x..dps derive em relacao a x.. iguale a outra.. e obtenha F.. como DF(x,y) = 0 . temos que a expressao que vc obter é igual auma constante..e assim vc encontra uma equacao para obter y em funcao de x abraços,Salhab On 9/22/07, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Senhores, Alguém pode, por favor, me dar uma dica nessa eq. diferencial? dy/dx = y/x + sqrt(xy) obrigado. Daniel. -- O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioriados especialistas, é através de um acidente. É aí que nós entramos.Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes - NathanielBorenstein = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
Tudo bem, cada um com sua opiniao Em 23/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Samir, entendi o que vc disse. Mas nao concordo sobre a rigorosidade.. vejano exercicio que U éo espaco gerado pelos m vetores.. logo, possoescrever qualquer elemento de U como a combinacao linear dos m(independente deles serem LI ou nao..) e o mesmo vale para V..concordo que a demonstracao eh a mesma caso eu tomasse um subconjuntoLI e que gere U (uma base de U), mas como desconheco esse subconjunto,tomei os m mesmo.entendeu pq nao concordo sobre a rigorosidade? abraços,Salhab On 9/22/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Na parte dos espaços iguais; vi q vc usou como limite do somatorio a dimensao de A que eh m; mas a dimensao de V eh k≤m, onde k é o numero de vetores linearmente independentes de A. Obviamente se usar m a demonstracao nao vai falhar, pois vc esta somente introduzindo vetores linearmente dependendentes, e a unica mudanca seriam os coeficientes dos vetores da base na hora de montar um elemento de V; mas do ponto de vista de rigorosidade, deve-se usar k, uma vez que a base de V sera formada somente de vetores linearmente independentes. Em 21/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Samir, não entendi.. em que parte? dos espacos iguais ou da independencia linear? abraços,Salhab On 9/20/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito mais rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠ 0; k seria a dim(V) Em 20/09/07,! Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Klaus, primeiramente vamos mostar que V=W. como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está contido no outro... todos os somatorios sao de 1 até m v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r) logo, x E V... assim: U C V tente agora mostrar que V C U :) para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primei! ra linha pode ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas.. tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero. seja u_ij a j-ésima componente d! o i-ésimo vetor.. seja a_i o i-ésimo componente da comb! inacao linear.. apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos.. entao, a_1 deve ser nulo... agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo... entao, a_2 deve ser nulo.. e assim segue.. deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que os vetores sao LI.. abracos, SalhabOn 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada li! nha de B é obtida por combinação linear das linhas de ! A e vice-versa. justifique que V=W. Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada! são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto. Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Samir Rodrigues = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Samir Rodrigues = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Samir Rodrigues
Re: [obm-l] Transformações Lineares
Para ser sobrejetora, basta que a imagem coincida com o contradominio, no caso, o R² E para mostrar se eh injetiva mostre que o nucleo eh somente o zero. Em 22/09/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Encontre números a,b,c e d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y) =(ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. b) tenha como imagem a reta y=2x e núcleo a reta y=x. Prove que as transformações abaixo são sobrejetivas e, determine uma base para a imagem: A: R^3--R^2; A(x,y,z)=(2x+y,z); B: R^2--R^2; B(x,y) = (x+y,x-y); Quais os passos que eu devo adotar para mostrar que uma transformação é sobrejetiva? Para mostrar que é injetiva basta mostrar que ker(A)=0. (?) E sobre as transformações acima o que posso dizer: BA sobrejetiva-- B sobrejetiva ? BA sobrejetiva-- A sobrejetiva ? BA injetiva-- B injetiva ? Ba injetiva -- A injetiva ? Estou com dificuldades nesse assunto. Espero compreensão dos colegas da lista. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba maishttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/. -- Samir Rodrigues
