[obm-l] Res: [obm-l] Questão de Probabilidade
Olá, Adriano, Chame de x1 o número de bolas azuis, x2 o número de bolas verdes, e assim por diante, até x5, o número de bolas brancas. Na verdade, o número de possíveis seleções equivale ao número de soluções inteiras não negativas da equação: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 12, que pode ser calculado como C(12+5-1,5-1) = C(16,4) = 1.820. Observe que, nesse caso, estamos considerando a possibilidade de não serem selecionadas bolas de uma dada cor. Caso não se permita isso, isto é, se desejarmos selecionar pelo menos uma bola de cada cor, o resultado se torna C(12-1,4-1) = C(11,3) = 165, reduzindo bastante o nosso universo. Essas são as chamadas Combinações com Repetição. Para mais detalhes, consulte o livro Introdução à Análise Combinatória, da Ed. Ciência Moderna. Lá, tem tudo explicadinho. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Adriano Dutra Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 5 de Março de 2008 12:19:42 Assunto: [obm-l] Questão de Probabilidade Olá pessoal, Um probleminha de Probabilidade: Considere uma urna com 5 bolas: uma azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha e uma branca. Sabe-se que há reposição das bolas e a ordem que sai as cores não importa, o que importa é quantas bolas saem de cada cor. De quantas maneiras podemos selecionar 12(doze) bolas? Desde já, muito obrigado. Adriano. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
Renji, 1. grato pelo retorno, valeu. Sds Rubens -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rodrigo Renji Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 18:03 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi ao inves de soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n) com soma [k=1, 1] f(k)= f(1) é soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n) com soma [k=1, 1] f(k)= f(1) apareceu um = a mais na primeira que não era pra ter eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas de somatórios acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar apesar de dar uma visão as vezes do que esta acontecendo com o somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes, o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações) se precisar de mais alguma ajuda só postar abraços o/ Em 04/03/08, Rubens Kamimura[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Marcelo Salhab, Muito grato. Sds Rubens Kamimura Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285 CESP - Companhia Energética de São Paulo OMPTD - Capacitação e Desenvolvimento Caixa Postal, 58 - CEP 15385-000 Ilha Solteira/SP - Brasil Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137 Tel./Fax +55-18-3704-6800 www.cesp.com.br email: [EMAIL PROTECTED] Mens In Corpore Tantun Molen Regit UNYK : 132 XOU P Antes de imprimir pense em sua responsabilidade e compromisso com o MEIO AMBIENTE. De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática Olá Rubens, Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia... vou fazer apenas o 2.1 veja que para n=1 é válido vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1. isto é: Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6 Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 Demo: Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6 somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6 k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k + 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6 logo, está provado por indução. abraços, Salhab 2008/3/3 Rubens Kamimura [EMAIL PROTECTED]: Olá turma da LISTA!!! Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão? 1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n pertencente ao conjunto dos números naturais? 2. Como podemos provar por indução matemática: 2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1); 2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1); 2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1); Abraços leigo e neófito... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Jamil Silva has invited you to join Friendster
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
agora me lembrei de outra coisa tb... tem um tempo eu fiz uma página de internet com propriedades básicas de somatório (bem básicas mesmo!! hehehe) o link abaixo se quiser ver http://iishp.5gbfree.com/matematica/soma/somas.html depois vou escrever mais (incluindo aplicação nos problema desse email) e colocar em outra página abraços o/ Em 05/03/08, Rubens Kamimura[EMAIL PROTECTED] escreveu: Renji, 1. grato pelo retorno, valeu. Sds Rubens -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rodrigo Renji Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 18:03 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi ao inves de soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n) com soma [k=1, 1] f(k)= f(1) é soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n) com soma [k=1, 1] f(k)= f(1) apareceu um = a mais na primeira que não era pra ter eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas de somatórios acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar apesar de dar uma visão as vezes do que esta acontecendo com o somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes, o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações) se precisar de mais alguma ajuda só postar abraços o/ Em 04/03/08, Rubens Kamimura[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Marcelo Salhab, Muito grato. Sds Rubens Kamimura Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285 CESP - Companhia Energética de São Paulo OMPTD - Capacitação e Desenvolvimento Caixa Postal, 58 - CEP 15385-000 Ilha Solteira/SP - Brasil Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137 Tel./Fax +55-18-3704-6800 www.cesp.com.br email: [EMAIL PROTECTED] Mens In Corpore Tantun Molen Regit UNYK : 132 XOU P Antes de imprimir pense em sua responsabilidade e compromisso com o MEIO AMBIENTE. De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática Olá Rubens, Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia... vou fazer apenas o 2.1 veja que para n=1 é válido vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1. isto é: Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6 Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 Demo: Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6 somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6 k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k + 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6 logo, está provado por indução. abraços, Salhab 2008/3/3 Rubens Kamimura [EMAIL PROTECTED]: Olá turma da LISTA!!! Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão? 1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n pertencente ao conjunto dos números naturais? 2. Como podemos provar por indução matemática: 2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1); 2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1); 2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1); Abraços leigo e neófito... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
Olá Renji,
concordo que sempre é possível demonstrar usando a notação de somatório, mas
não concordo com a informalidade dos três pontinhos. Veja que é apenas uma
questão de notação, e existe uma bijeção entre elas... isto é, representam
exatamente a mesma coisa.
Sum[i=a .. b] { f(i) } == f(a) + f(a+1) + ... + (b)
É o mesmo que escrevermos df(x)/dx ao invés de f'(x).
abraços,
Salhab
2008/3/4 Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED]:
bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi
ao inves de
soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
é
soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
apareceu um = a mais na primeira que não era pra ter
eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas
de somatórios
acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar
apesar de dar uma visão as vezes do que esta acontecendo com o
somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o
suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes,
o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações)
se precisar de mais alguma ajuda só postar
abraços o/
Em 04/03/08, Rubens Kamimura[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Marcelo Salhab,
Muito grato.
Sds
Rubens Kamimura
Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
CESP - Companhia Energética de São Paulo
OMPTD - Capacitação e Desenvolvimento
Caixa Postal, 58 - CEP 15385-000
Ilha Solteira/SP - Brasil
Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137
Tel./Fax +55-18-3704-6800
www.cesp.com.br
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UNYK : 132 XOU
P Antes de imprimir pense em sua responsabilidade e compromisso com o
MEIO
AMBIENTE.
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome
de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
Olá Rubens,
Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
vou fazer apenas o 2.1
veja que para n=1 é válido
vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
isto é:
Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
Demo:
Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
(k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k
+
6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
logo, está provado por indução.
abraços,
Salhab
2008/3/3 Rubens Kamimura [EMAIL PROTECTED]:
Olá turma da LISTA!!!
Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar
por
indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
pertencente ao conjunto dos números naturais?
2. Como podemos provar por indução matemática:
2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
Abraços
leigo e neófito...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Marte
A primeira expedicao a Marte encontrou somente as ruinas de uma civilizacao. Os exploradores concluiram dos artefatos e desenhos que as criaturas que produziram esta civilizacao tinham quatro pernas, cada uma terminada em um conjunto de garras parecidas com dedos. Após muito estudo foram capazes de traduzir a matematica marciana. Eles encontraram a seguinte equacao: 5x^2-50x+125=0 Esta era uma matematica estranha. O valor x=5 parecia correto, mas x=8 não. Entao os exploradores lembraram a maneira como o nosso sistema de numeracao foi desenvolvido e encontraram evidencias de que o sistema marciano teve uma historia analoga. Quantos dedos tinham os marcianos? Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Equação
Amigos, min dê uma idéia para essa equação : Encontre todas as soluções inteiras (x,y) da equação x^(2006)Y + 1 = Y^(2007) + X.
Re: [obm-l] Equação
Olá Pedro, vamos a algumas soluções triviais: (0, 1), (1, 1), (1, -1) x^(2006)y + 1 = y^(2007) + x y[x^(2006) - y^(2006)] + 1 = x y(x^(1003) - y^(1003))(x^(1003) + y^(1003)) + 1 = x analisando a equacao modx, temos: 1 == y^(2007) (mod x) agora, analisando mody, temos: 1 == x (mod y) logo: x = a*y + 1 portanto, a equação fica: [(a*y+1)^2006]*y = y^(2007) + a*y assim, temos: y*[(a*y+1)^(2006) - y^(2006) - a] = 0 hmm, ainda nao tive nenhuma boa idéia.. assim que tiver eu mando! abraços, Salhab deste modo, temos: y^(2007) 2001/11/1 Pedro [EMAIL PROTECTED]: Amigos, min dê uma idéia para essa equação : Encontre todas as soluções inteiras (x,y) da equação x^(2006)Y + 1 = Y^(2007) + X.
Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
C13,4 On 3/5/08, Adriano Dutra Teixeira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Um probleminha de Probabilidade: *Considere uma urna com 5 bolas: uma azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha e uma branca. Sabe-se que há reposição das bolas e a ordem que sai as cores não importa, o que importa é quantas bolas saem de cada cor. De quantas maneiras podemos selecionar 12(doze) bolas? * Desde já, muito obrigado. Adriano. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
me desculpe, mas como posso selecionar selecionar 12 bolas se a urna só tem 5??? On 3/5/08, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: C13,4 On 3/5/08, Adriano Dutra Teixeira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Um probleminha de Probabilidade: *Considere uma urna com 5 bolas: uma azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha e uma branca. Sabe-se que há reposição das bolas e a ordem que sai as cores não importa, o que importa é quantas bolas saem de cada cor. De quantas maneiras podemos selecionar 12(doze) bolas? * Desde já, muito obrigado. Adriano. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
O enunciado informa que há reposição das bolas. Em outras palavras, a bola é recolocada na caixa depois do sorteio. -- Abraços, Maurício 2008/3/5 Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED]: me desculpe, mas como posso selecionar selecionar 12 bolas se a urna só tem 5??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de Probabilidade
e com reposiçao On 3/5/08, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote: me desculpe, mas como posso selecionar selecionar 12 bolas se a urna só tem 5??? On 3/5/08, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: C13,4 On 3/5/08, Adriano Dutra Teixeira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Um probleminha de Probabilidade: *Considere uma urna com 5 bolas: uma azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha e uma branca. Sabe-se que há reposição das bolas e a ordem que sai as cores não importa, o que importa é quantas bolas saem de cada cor. De quantas maneiras podemos selecionar 12(doze) bolas? * Desde já, muito obrigado. Adriano. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
