Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Arthur, Eu resolvi brincar com o limite, e o último termo me chamou atenção porque ele é o termo de Stirling : temos que lim n-inf n^n/(n! e^(n) raiz(n)) = 1/raiz(2 pi). Calculando os quocientes entre cada um dos termos da soma (e invertendo a ordem) temos (n^(n-k)/(n-k)!) / (n^(n-k-1)/(n-k-1)! ) = (n - k - 1)/n = 1 - (k+1)/n 1 + 1 (esses são os dois últimos termos, que são iguais !) + (1 - 1/n ) + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) + ... + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) Repare que quando o fator ficar significativamente menor do que 1/raiz(n) a gente já pode parar de fazer as contas (porque tem um raiz(n) que tá sobrando no denominador, e a soma tem n termos no total, logo os termos 1/raiz(n) mesmo somados tendem a zero. Eu estou parado aqui... mas talvez tenha uma dica para o TLC : usando o limite que eu dei (e você dizer que o limite é 1/2) provar o limite é equivalente a provar que lim n - inf ( 1/raiz(n) \sum_0^n (n,k) k!/n^k ) ) = \raiz(pi/2) onde (n,k) é o coeficiente binomial. Repare que se não fosse o k!, a gente teria a soma de Euler que convergiria para e/raiz(n). Mas justamente o k! faz aumentar o fim da soma. Estou até agora tentando achar uma convolução ou coisa do gênero para fazer aparecer o k! 2008/4/2 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME-64/65
Rogerio Ponce, muito obrigado pela resolução. Um colega meu questionou a resolução dizendo que o zero não pode entrar de modo algum. Como fica a resolução se ignorarmos o zero? O que respondo a ele? DESDE JÁ AGRADEÇO Ola' Arkon, podemos escolher C(5,3) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares. Alem disso, eles podem ser permutados ( 6! ). Precisaremos entao descontar os numeros formados com o ZERO na posicao mais significativa, ou seja, C(4,2) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares, podendo permutar todos os 5 algarismos apos o zero ( 5!). Assim temos, (5*4*3) / (3*2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 6! = 72000 E o desconto vale (4*3) / (2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 5! = 7200 Logo, o total vale 72000 - 7200 = 64800 []'s Rogerio Ponce Em 01/04/08, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal alguém conseguiu resolver essa questão que enviei ano passado Será que e tão sinistra assim?? (IME-64/65) Com os algarismos significativos quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podem ser formados? Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Penando
Não sei o que se espera da pergunta. O mais razoável, que acho, é encontrar uma forma mais simplificada para a expressão dada. Não consigo! Citando Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED]: Será que alguém poderia me ajudar nesta questão, já tentei de tudo. Determine o valor de: ( 9 + 10.( 5)^1/2 )^1/2 Agradeço desde já vossas atenções Obrigado -- Arlane Manoel S Silva MAT-IME-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Sufoco
Será que alguém poderia me ajudar nesta questão, já tentei de tudo. Determine o valor de: ( 9 + 10.( 5)^1/2 )^1/2 Agradeço desde já vossas atenções Obrigado
Re: [obm-l] IME-64/65
Ola' Arkon, diga-lhe que o zero e' nao significativo se a ausencia dele nao altera nem o valor, e nem a precisao do numero em questao. No nosso caso, entendo que seriam apenas os zeros 'a esquerda do numero. []'s Rogerio Ponce Em 03/04/08, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rogerio Ponce, muito obrigado pela resolução. Um colega meu questionou a resolução dizendo que o zero não pode entrar de modo algum. Como fica a resolução se ignorarmos o zero? O que respondo a ele? DESDE JÁ AGRADEÇO Ola' Arkon, podemos escolher C(5,3) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares. Alem disso, eles podem ser permutados ( 6! ). Precisaremos entao descontar os numeros formados com o ZERO na posicao mais significativa, ou seja, C(4,2) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares, podendo permutar todos os 5 algarismos apos o zero ( 5!). Assim temos, (5*4*3) / (3*2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 6! = 72000 E o desconto vale (4*3) / (2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 5! = 7200 Logo, o total vale 72000 - 7200 = 64800 []'s Rogerio Ponce Em 01/04/08, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal alguém conseguiu resolver essa questão que enviei ano passado Será que e tão sinistra assim?? (IME-64/65) Com os algarismos significativos quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podem ser formados? Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação envolvendo in teiros!!!
Já ouviu falar do conceito de retas geratrizes ? talvez lhe ajude. Por falar em função tenho uma dúvida muito cruel, sou professor do ensino médio e queria saber se existe alguma forma de provar que a concavidade da equação do segundo grau é para cima quando o a0 sem a utilização de derivadas. Aquele abraço Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI f(Xm)) = Xm f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o m =
INTER Xm f(UNI f(Xm)) = f( INTER Xm) f ( f(UNI f(Xm))) =
f( INTER Xm ) UNI f(Xm) =
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.21 )
Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
- F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento a E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma funcao f_a : B - C, isto e, qualquer que seja o elemento b E
B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.
Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI f(Xm)) = Xm f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o m =
INTER Xm f(UNI f(Xm)) = f( INTER Xm) f ( f(UNI f(Xm))) =
f( INTER Xm ) UNI f(Xm) =
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.21 )
Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
- F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento a E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma
Re: [obm-l] Equação envolvendo inteiros!!!
Ola' Vinicius, eu seguiria uma linha de raciocinio mais ou menos assim: Consideremos a funcao y=A*x^2+B*x+C Podemos reescreve-la da seguinte forma: y + [ B^2 / (4*A) - C ] = A * [ x + B/(2*A) ]^2 Significa que a menos de um deslocamento de B^2 / (4*A) - C no eixo dos y, e um deslocamento de B/(2*A) no eixo dos x, alem de um fator de escala A, a funcao original e' equivalente 'a funcao y = x^2 Agora, a questao e' mostrar como fica a concavidade da curva. Um ponto e' que a curva e' simetrica em relacao ao eixo y. E o outro ponto e' que a medida que x cresce, y cresce ainda mais (isso aqui precisaria da derivada, mas a intuicao ja' e' suficiente). Ou seja, se x e y crescessem da mesma forma, o desenho seria uma reta, mas como y cresce mais rapidamente que x, entao tem que haver uma barriga para baixo. No momento, acho que isso e' a forma mais leiga com que eu consigo justificar. Espero que sirva de inspiracao para algo mais elaborado. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Vinícius Almeida[EMAIL PROTECTED] escreveu: Por falar em função tenho uma dúvida muito cruel, sou professor do ensino médio e queria saber se existe alguma forma de provar que a concavidade da equação do segundo grau é para cima quando o a0 sem a utilização de derivadas. Aquele abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida.
Simão Pedro wrote: Estou com uma dúvida! A resposta dessa questão é 4. Está certo? Qual é o resto da divisão de por 5. Por favor me ajudem! Aguardo resposta. 283 = 3 (mod 5) 283^2 = 3^2 (mod 5) 283^2 = -1 (mod 5) (283^2)^79 = (-1)^79 (mod 5) 283^178 = -1 (mod 5) 283^178 = 4 (mod 5) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Inteiros!!!
02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que: x^3 + y^3 = (x + y)^2
Re: [obm-l] Casas em Praça
Extremamente criativa a idéia das tiras, muito boa mesmo! Agradeço! Em 03/04/08, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Inadvertidamente, apaguei o e-mail cujo problema era: Existem casas em volta de uma praça. Rodrigo e Juan dão uma volta na praça, caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a contar da mesma casa, a 5ª casa de Rodrigo é a 12ª casa de Juan, e a 5ª casa de Juan é a 30ª de Rodrigo. Quantas casas existem em volta da praça? Imaginem-se duas tiras circulares de iguais tamanhos com os números naturais nelas inscritos. A circularidade pode ser substituída pela repetição da retificação. Eis a figura: Rodrigo: 301 2 3 4 5 Juan: 5 6 7 8 9 10 11 12 Naturalmente, são 32 casas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sufoco
nao da pra transformar em soma de raizes. 2008/4/3 Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED]: Será que alguém poderia me ajudar nesta questão, já tentei de tudo. Determine o valor de: ( 9 + 10.( 5)^1/2 )^1/2 Agradeço desde já vossas atenções Obrigado
