Ola Pessoal, Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA 11 edicao - 2 impressao Autor : Elon Lages Lima Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes : NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por "m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<" representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal que" ( EXERCICIO 1.14) NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por f(-1)(b) ITEM A : Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a)) => a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como queriamos demonstrar. ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6 } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X ITEM B : No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso por reducao ao absurdo. Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X, vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X. Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e "c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO ! Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA. Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou não, segue que : f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X IMPLICACAO 1 Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X) )=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e injetiva. Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo : f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2 As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 1.18 ) ITEM A : Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao : INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1 Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos, sucessivamente : f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que seja o "m" => UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) => f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=> INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2 As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como queriamos demonstrar. *** ITEM B : Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o "m". Portanto : UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1 Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao, vem : f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" => INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) => f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=> UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2 As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 1.21 ) Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A -> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida. Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por : f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b) Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G : 1) e INJETIVA Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que : f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) => G(f1) # G(f2) Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2) 2) e SOBREJETIVA Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela aplicacao G já definida. Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma bijecao. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,0E06,030408 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================