Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho
(como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite
assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou !
Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
prova de que a resposta é 1/2 ) :
Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
(1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )
+ 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
+ (1 - 1/(n+1) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
+ ...
Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para
os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na
verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que
tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
/ mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
torno!)
Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série ?
Rogério : passo a bola pra você me convencer !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Mas como concluir que é 1/2?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l]
[obm-l] Matemática discreta
O professor da Uerj de matemática discreta, passou um desafio, que consiste no seguinte: Alguém seria capaz, de matematicamente, ensinar o computador jogar purrinha. Acredito que seja escrever um algoritimo, alguém tem idéia ? -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Marcelo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Em primeiro lugar, obrigado : palavras de incentivo nos motivam a prosseguir.
A ideia me parece muito boa por tres razoes :
1) Todas as solucoes ficariam armazenadas em um mesmo lugar, o que
facilitaria consultas.
2) Outras pessoas poderiam aperfeicoar e/ou corrigir as provas
3) Esta nossa lista receberia o link a medida que eu fosse postando as solucoes.
Um problema que ocorre e que eu so posso ir colocando as solucoes na
medida em que vou arranjando tempo livre, o que significa que eu posso
ficar, as vezes, varias semanas sem publicar nada. Se estas ausencias
nao ijmplicarem algum problema maior, podemos tocar este projeto ( o
Arthur Steiner, que gosta muito de Analise, pode querer ajudar. E bom
perguntar a ele ), sem problemas
Eu nao tenho nenhum interesse financeiro, holofotes naome atraem e so
desejo contribuir para o progresso e elevacao desta maravilhosa
ciencia : sou um Matematico, do dedao do pe ate os cabelos da cabeca.
Alem disso, tenho uma divida de gratidao tanto para com o Nicolau, que
aqui me recebeu com lhaneza, respeito e dignidade bem como com outros
professores, com os quais aprendi muito ( Ralph, Gugu, Eduardo Wagner
e o falecido Morgado, so para citar alguns ). Assim, esta lista estara
sempre sob os meus cuidados, mesmo que muitas vezes, por falta de
tempo, eu nao possa dar a ela a devida atencao.
Um Abracao
Paulo santa Rita
7,0B23,050408
Muitos estudantes de outros paises da America do Sul e mesmo de outros
paises costumam nos acompanhar. Vi isso quando traduzi os problemas
russos e recebia em off muitos pedidos.
2008/4/4 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]:
Olá Paulo,
gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas
soluções diretamente em uma wiki?
Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica
disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos
arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;)
Pensei em criarmos alguma coisa assim:
== Análise na reta - Elon ==
* Capítulo 1
** Exercício 1
** Exercício 2
** :
* Capítulo 2
** ...
e assim por diante.
Se quiser, crio para você e mando o link por pvt.
Um grande abraço,
Salhab
2008/4/3 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao,
[obm-l] INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Olá amigos, Estou fazendo um trabalho com meus alunos do ensino médio sobre Inteligência Artificial. Alguém conhece algum site ou livro introdutório ao assunto q seja acessível aos alunos? Grato, Jorge
[obm-l] ajuda
EM UM CICLO DE TRÊS CONFERÊNCIAS, QUE OCORRERAM EM HORÁRIOS DISTINTOS, HAVIA SEMPRE O MESMO NÚMERO DE PESSOAS ASSISTINDO A CADA UMA DELAS. SABE-SE QUE A METADE DOS QUE COMPARECERAM À PRIMEIRA CONFERÊNCIA NÃO FOI A MAIS NENHUMA OUTRA; UM TERÇO DOS QUE COMPARECERAM À SEGUNDA CONFERÊNCIA ASSISTIU A APENAS ELA E UM QUARTO DOS QUE COMPARECERAM À TERCEIRA CONFERÊNCIA NÃO ASSISTIU NEM A PRIMEIRA NEM A SEGUNDA. SABENDO AINDA QUE HAVIA UM TOTAL DE 300 PESSOAS PARTICIPANDO DO CICLO DE CONFERÊNCIAS, E QUE CADA UMA ASSISTIU A PELO MENOS UMA CONFERÊNCIA, O NÚMERO MÁXIMO DE PESSOAS EM CADA CONFERÊNCIA FOI: A) 180 B) 80 C) 156 D) 210 E) 96 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] ajuda
EM UM CICLO DE TRÊS CONFERÊNCIAS, QUE OCORRERAM EM HORÁRIOS DISTINTOS, HAVIA SEMPRE O MESMO NÚMERO DE PESSOAS ASSISTINDO A CADA UMA DELAS. SABE-SE QUE A METADE DOS QUE COMPARECERAM À PRIMEIRA CONFERÊNCIA NÃO FOI A MAIS NENHUMA OUTRA; UM TERÇO DOS QUE COMPARECERAM À SEGUNDA CONFERÊNCIA ASSISTIU A APENAS ELA E UM QUARTO DOS QUE COMPARECERAM À TERCEIRA CONFERÊNCIA NÃO ASSISTIU NEM A PRIMEIRA NEM A SEGUNDA. SABENDO AINDA QUE HAVIA UM TOTAL DE 300 PESSOAS PARTICIPANDO DO CICLO DE CONFERÊNCIAS, E QUE CADA UMA ASSISTIU A PELO MENOS UMA CONFERÊNCIA, O NÚMERO MÁXIMO DE PESSOAS EM CADA CONFERÊNCIA FOI: A) 180 B) 80 C) 156 D) 210 E) 96 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Quando eu fazia a faculdade, ouvi dizer que o livro do Norvig é muito bom ! Realmente, uma olhada nele foi compensadora. MAs não mergulhei na leitura, pois tinha outros trabalhos a fazer. Russell, S.J.; Norvig, P.: Artificial Intelligence : a Modern Approach Há tradução em português / BR. []s Paulo _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Jorge Paulino Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 17:07 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL Olá amigos, Estou fazendo um trabalho com meus alunos do ensino médio sobre Inteligência Artificial. Alguém conhece algum site ou livro introdutório ao assunto q seja acessível aos alunos? Grato, Jorge
[obm-l] RES: [obm-l] Matemática discreta
Dá prá fazer, sem usar matemática discreta. Vejamos: 1. Um módulo para contar as peças que provavelmente esão na mão de cada um 2. Um módulo de estratégia 3. um módulo de regras 4. Um módulo que aprenda o comportamento dos outros jogadores (avançado). Mas veja, isso está mais para a olimpíada de informática (rs..). Veja http://www.sbc.org.br/index.php?language=1 http://www.sbc.org.br/index.php?language=1subject=60content=newsid=6555 subject=60content=newsid=6555 []s Paulo _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Kleber Bastos Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 10:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Matemática discreta O professor da Uerj de matemática discreta, passou um desafio, que consiste no seguinte: Alguém seria capaz, de matematicamente, ensinar o computador jogar purrinha. Acredito que seja escrever um algoritimo, alguém tem idéia ? -- Kleber B. Bastos
[obm-l] Métodos Numéricos - Erros
Senhores, Por favor, alguém pode me ajudar a entender este problema? Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos,base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: x = 0,7237*10^4y = 0,2145*10^-3z = 0,2585*10^1 efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado,supondo que x, y e z estão exatamente representados: a) x + y + zb) x - y - z Eu sei efetuar as operações, mas não sei encontrar o erro relativo As respostas encontradas no livro, para os erros relativos, são: a) abs(ER) 10^-3b) abs(ER) 1,0002*10^-3 Obrigado. Daniel. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
