Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Em primeiro lugar, obrigado : palavras de incentivo nos motivam a prosseguir.
A ideia me parece muito boa por tres razoes : 1) Todas as solucoes ficariam armazenadas em um "mesmo lugar", o que facilitaria consultas. 2) Outras pessoas poderiam aperfeicoar e/ou corrigir as provas 3) Esta nossa lista receberia o link a medida que eu fosse postando as solucoes. Um problema que ocorre e que eu so posso ir colocando as solucoes na medida em que vou arranjando tempo livre, o que significa que eu posso ficar, as vezes, varias semanas sem publicar nada. Se estas ausencias nao ijmplicarem algum problema maior, podemos tocar este projeto ( o Arthur Steiner, que gosta muito de Analise, pode querer ajudar. E bom perguntar a ele ), sem problemas Eu nao tenho nenhum interesse financeiro, holofotes naome atraem e so desejo contribuir para o progresso e elevacao desta maravilhosa ciencia : sou um Matematico, do dedao do pe ate os cabelos da cabeca. Alem disso, tenho uma divida de gratidao tanto para com o Nicolau, que aqui me recebeu com lhaneza, respeito e dignidade bem como com outros professores, com os quais aprendi muito ( Ralph, Gugu, Eduardo Wagner e o falecido Morgado, so para citar alguns ). Assim, esta lista estara sempre sob os meus cuidados, mesmo que muitas vezes, por falta de tempo, eu nao possa dar a ela a devida atencao. Um Abracao Paulo santa Rita 7,0B23,050408 Muitos estudantes de outros paises da America do Sul e mesmo de outros paises costumam nos acompanhar. Vi isso quando traduzi os problemas russos e recebia em off muitos pedidos. 2008/4/4 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá Paulo, > > gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas > soluções diretamente em uma wiki? > Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica > disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos > arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;) > > Pensei em criarmos alguma coisa assim: > == Análise na reta - Elon == > > * Capítulo 1 > ** Exercício 1 > ** Exercício 2 > ** : > * Capítulo 2 > ** ... > > e assim por diante. > Se quiser, crio para você e mando o link por pvt. > > Um grande abraço, > Salhab > > > 2008/4/3 Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > > > > Ola Pessoal, > > > > Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do > > excelente Livro : > > > > Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA > > 11 edicao - 2 impressao > > Autor : Elon Lages Lima > > > > Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao > > assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, > > principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. > > Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu > > publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 > > exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que > > achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes : > > > > > > > > > > NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por > > "m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados > > respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<" > > representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo > > de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a > > letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal > > que" > > > > > > > > ( EXERCICIO 1.14) > > > > NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o > > conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y > > ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por > > f(-1)(b) > > > > ITEM A : > > > > Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a > > E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a)) > > => a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto > > estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como > > queriamos demonstrar. > > > > ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se > > para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e > > evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6 > > } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que > > f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X > > > > ITEM B : > > > > No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer > > entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e > > injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso > > por reducao ao absurdo. > > > > Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests > > caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X, > > vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X. > > Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e > > "c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO > > ! > > > > Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA. > > Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou > > não, segue que : > > > > f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X > > IMPLICACAO 1 > > > > Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X) > > )=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e > > injetiva. > > > > Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais > > que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e > > que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo : > > > > f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2 > > > > As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente > > se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar. > > ( EXERCICIO 1.18 ) > > > > ITEM A : > > > > Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a > > propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que > > seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao : > > > > INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1 > > > > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que > > seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos, > > sucessivamente : > > > > f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que > > seja o "m" => > > UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) => > > f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=> > > > > INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2 > > > > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como > > queriamos demonstrar. > > > > > > *** > > > > > > ITEM B : > > > > Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da > > propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o > > "m". Portanto : > > > > UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1 > > > > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que > > seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao, > > vem : > > > > f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" => > > INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) => > > f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=> > > > > UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2 > > > > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como > > queriamos demonstrar. > > > > > > > > > > > > > > > > > > ( EXERCICIO 1.21 ) > > > > > > Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A > > -> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma > > funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a > > e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E > > B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida. > > > > Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para > > todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida > > por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por : > > > > f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b) > > > > Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G : > > > > 1) e INJETIVA > > > > Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e > > f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e > > f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que : > > > > f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) => > > G(f1) # G(f2) > > Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2) > > > > > > 2) e SOBREJETIVA > > > > Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo > > f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que > > f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela > > aplicacao G já definida. > > > > Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma > bijecao. > > > > > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 5,0E06,030408 > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================