Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar :
Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao
e^N = Xn + RL, onde
RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte :
Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) = LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N))
Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao.
EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como
esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em
seus valores
naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em
pontos naturais.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
3,080A,080408
2008/4/7 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Gostei do argumento!
Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei.
Abracos
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho
(como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite
assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou !
Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
prova de que a resposta é 1/2 ) :
Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
(1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )
+ 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
+ (1 - 1/(n+1) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
+ ...
Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para
os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na
verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que
tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
/ mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
torno!)
Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série
?
Rogério : passo a bola pra você me convencer !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu
vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u}
[obm-l] [Off-Topic] Por que não chega?
Olá a todos! Por que alguns e-mails que eu mando para a lista da obm-l não chegam? Obrigado
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Eu tentei por aí, mas não deu certo. usi a fórmula de Stirling. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: terça-feira, 8 de abril de 2008 08:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar : Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao e^N = Xn + RL, onde RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte : Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) = LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N)) Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao. EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em seus valores naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em pontos naturais. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,080A,080408 2008/4/7 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Gostei do argumento! Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou ! Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma prova de que a resposta é 1/2 ) : Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1). Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica : (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) + ... + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) + (1 - 1/n ) + 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! ) + (1 - 1/(n+1) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) ) + ... Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra 1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em torno!) Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série ? Rogério : passo a bola pra você me convencer ! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]: Oi Marcelo, quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o Nehab tambem vai :-) Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo. A questao original e' calcular lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da expansao de Taylor para e^n. O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n). Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 , simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n. Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A
RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Ha uma solucao que nao eh dificil, naoi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fernando Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 14:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Prioridade: Alta Olá colega, boa tarde! Eu também encontrei uma solução bastante trivial,... mas a margem é muito pequena para contê-la . r (brincadeirinha...) Devemos manter o bom humor nesta lista, não é mesmo? Amplexo. Fernando _ _ - Original Message - From: Artur Costa Steinermailto:[EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 07, 2008 10:50 AM Subject: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n.
[obm-l] Ângulos no triângulo
Olá! Alguém pode me explicar esse exercício de geometria? Não sei como analisar. Segue o link: http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137pid=1206968600056aid=1206434004 Obrigado.
[obm-l] Exercicios de Analise 5
Ola Pessoal,
Seguem mais 4 solucoes. Reitero que elas se referem aos problemas do Livro
Curso de Analise - Vol 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Vou fazendo conforme vou tendo tempo. As soucoes sao minhas e,
portanto, qualquer erro e culpa unica e exclusivamente minha.
Qualquer pessoa esta desde ja autorizada a copiar, reproduzir e
remeter para amigos e/ou estudantes, mas penso que as
solucoes so serao uteis se antes voce pensar nos problemas. Conforme
voces estao vendo, as questoes sao simples e
imediatas e, enquanto elas permanecerem assim, vou publicando varias
de cada vez.
NOTACAO :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
E = pertence a
(EXERCICIO 4.13)
Se Yn e uma sequencia e LIM Yn = L entao qualquer uma das suas
subsequencias tem limite L.
Assim, so e licito tomar o limite de uma subsequencia de uma sequencia
como o limite desta
sequencia se, previamente, soubermos ou provarmos que a sequencia
original converge.
Isto posto, perguntamos :
E obvio que Xn=(1 + (r/N))^N converge para todo racional r 0 ? Eu
acho que não. Por isso, vou dedicar um tempo para estabelecer esta
convergencia.
Dado um real r 0, seja Yn = Si[0,N : (r^i) / (i!) ]. Esta sequencia
e claramente monotona e crescente. Eu afirmo que ela e limitada. Com
efeito, seja P o menor natural tal que Pr. Tomando o menor natural Q
qualquer tal que Q! P^Q, para todo N = Q teremos :
Yn = Si[ 0,Q -1 : (r^i) / (i!) ] + Si[Q,N:(r^i)/(i!)] Si[ 0,Q -1 :
(r^i) / (i!) ] + Si[ Q,N: (r/P)^i ]
Fazendo A = Si[ 0,Q -1 : (r^i) / (i!) ], vemos que B=Si[ Q,+INF:
(r/P)^i ] e uma progressao geometrica infinita de razao (r/P) 1.
Logo : B ( ( (r/P)^Q ) / ( 1 – (r/P) ) ) = C. Portanto :
Yn A + C para todo N natural = Yn e limitada.
Desenvolvendo Xn=(1 + (r/N) )^N segundo o binomio de Newton, e facil
ver que Xn e monotona, crescente e Xn = Yn, para todo N. Portanto,
Xn, sendo monotona, crescente e limitada e convergente. Logo, o seu
limite sera o limite de qualquer das suas subsequencias.
Estabelecida a convergencia, vamos usar o limite de uma subsequencia
para estabeler o limite da sequencia
Seja r=P/Q 0 e consideremos apenas os indices N de Xn = (1 +
(r/N))^N que sejam multiplos de P, isto e, os N tais que N=P*M, M=1,2,
Teremos sucessivamente :
Xm = (1+(r/(P*M)))^(P*M) = (1+(1/QM))^(P*M) = ( (1+(1/QM))^(Q*M) )^(P/Q)
A expressao Zm = (1+(1/QM))^(Q*M) e a subsequencia de Zn=(1+(1/N))^N
com indices multiplos de Q. Como já sabemos que Zn converge para e
entao Zm tambem converge para e. Segue, pela prova do exercicio 12,
que Xm converge para e^(P/Q)=e^r. Mas Xm e uma subsequencia de Xn e já
provamos que Xn converge. Logo, Xn converge para e^(P/Q)=e^r, como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.14 )
Sem perda de generalidade podemos supor que b = a. Fixado isso, e
facil ver que as propriedades dos numeros reais nos permitem fazer,
sucessivamente :
(a^N + b^N)^(1/N) = ( ( (b^N)*( (a/b)^N + 1) )^(1/N) = b*( (1 + (a/b)^N)^(1/N) )
Logo, LIM Xn = LIM b*( (1 + (a/b)^N)^(1/N) ) = b*LIM ( (1 + (a/b)^N)^(1/N) ).
Eu afirmo que LIM ( (1 + (a/b)^N)^(1/N) ).= 1. Para ver isso
claramente, considere :
0 = (a/b) = 1= 0 = (a/b)^N = 1= 1 = 1 + (a/b)^N = 2 =
1 = (1 + (a/b)^N)^(1/N) = 2^(1/N)
Fazendo An=1 e Bn=2^(1/N) temos que LIM An =LIM Bn = 1. Pelo teorema
do confornto (teorema do sandwich) segue que LIM ( (1 + (a/b)^N)^(1/N)
) = 1. Assim :
LIM Xn = b*LIM( (1 + (a/b)^N)^(1/N) ) = b = max{a,b}, como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.15 )
PRIMEIRA PARTE
Seja P = { p1, p2, ..., pn } o conjunto finito dos indices dos termos
destacados.
PRIMEIRA PARTE
1) Consideremos um natural m1 pn. Não pode ser Xm1 = Xn para todo
n m1 pois, neste caso, Xm1 seria um termo destaco e m1 pertenceria
a P. Logo, existe m2 m1 tal que Xm1 Xm2.
2) Consideremos agora m2. Não pode ser Xm2 = Xn para todo n m2
pois, neste caso, Xm2 seria um termo destacado e m2 pertenceria a P.
Logo, existe um m3 m2 tal que Xm2 Xm3
3) Igualmente, considerando agora m3, nao pode ser Xm3 = Xn para todo
n m3 pois, neste caso, Xm3 seria um termo destacado e m3 pertenceria
a P. Segue que existe um m4 tal que Xm3 Xm4
Vemos que reiterando infinitas vezes o raciocinio acima iremos
contruir uma sequencia infinita de naturais m1 m2 m3 m4 ... tais
que Xm1 Xm2 Xm3 Xm4 ... vale dizer, a sequencia Xn admite uma
subsequencia crescente.
SEGUNDA PARTE
Se P for finito, ja mostramos na PRIMEIRA PARTE que existira uma
subsequencia Xn tal que Xm1 Xm2 Xm3 ..., isto e, a sequencia Xn
admite uma subsequencia monotona. ( monotona crescente ) Se, porem, P
for infinito, digamos P={ p1 p2 ... pn ... }, teremos uma
subsequencia de termos destacados que, por definicao :
Xp1 Xp2 Xp3 ... Xpi ...
E portanto a sequencia Xn admite tambem uma sequencia monotona (
monotona decrescente ). Ora, P sera finito ou infinito, nao havendo
uma terceira possibilidade. Assim, todo sequencia admite uma
subsequencia monotona, como queriamos
[obm-l] geometria olimpíada
Saudações! Gostaria que vocês me ajudassem neste problema. Se as retas r e s são paralelas e distam L entre si e o quadrado ABCD tem lado L também, prove que o ângulo SÔR tem 45 graus. cid:image001.png@01C8.99F2A080 Agradeço muito pela ajuda. JG. No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.519 / Virus Database: 269.22.10/1366 - Release Date: 08/04/2008 17:03 image001.png
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ângulos no triângulo
Basta lembrar que num triângulo (na geometria euclidiana) o maior ângulo opõe-se ao maior lado e use que alguns triângulo são isósceles. Citando Dória [EMAIL PROTECTED]: Olá! Alguém pode me explicar esse exercício de geometria? Não sei como analisar. Segue o link: http://www.orkut.com/AlbumZoom.aspx?uid=3858236080690851137pid=1206968600056aid=1206434004 Obrigado. -- Arlane Manoel S Silva MAT-IME-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Soma !!!
Engalhei na seguinte soma: Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11 + 111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo assim ainda não saiu! S_n = 1 + 22 + 333 + + ... + n ( 111...1) onde (111...1) tem exatamente n dígitos. Desde Já agradeço!!!
[obm-l] Lista séries
Ola pessoal, Alguém tem alguma lista ou conhece algum site que tenha uma lista analisando a convergência de algumas séries ja conhecidas? Abraços Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] geometria olimpíada
tagx/2=rq2-1=rq(1-cosx)/(1+cosx) (1-w)/(1+w)=2-2rq2+1=3-2rq2 3-2rq2-1=-w(4-2rq2) w=-(1-rq2)/(2-rq2)=-(2+rq2-2rq2-2)/2=rq2/2 x=45º 2008/4/8 João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED]: Saudações! Gostaria que vocês me ajudassem neste problema. Se as retas r e s são paralelas e distam L entre si e o quadrado ABCD tem lado L também, prove que o ângulo SÔR tem 45 graus. [image: cid:image001.png@01C8.99F2A080] Agradeço muito pela ajuda. JG. No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.519 / Virus Database: 269.22.10/1366 - Release Date: 08/04/2008 17:03 image001.png
Re: [obm-l] Lista séries
dá uma olhadinha no site de um professor da UFPB ele tem um livro publicado por uma editora internacional, um dos melhores professores que já vi, acho que no site dele tem algumas coisa... o nome do professor é Marivaldo P. Matos e sua página é: www.mat.ufpb.br/matos 2008/4/8 Luiz Guilherme [EMAIL PROTECTED]: Ola pessoal, Alguém tem alguma lista ou conhece algum site que tenha uma lista analisando a convergência de algumas séries ja conhecidas? Abraços -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Soma !!!
(1+n)n/2+(2+n)(n-1)/2+(3+n)(n-3)/2,,, soma(k+n)(n-(k-1))/2=1/2soma(n^2-k^2)+n+k= =1/2(n^3+n^2+(1+n)n/2-n(n+1)(2n+1)/6= =3n(n+1)(6n+3-(2n+1))=12n(n+1)^2 2008/4/8 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Engalhei na seguinte soma: Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11 + 111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo assim ainda não saiu! S_n = 1 + 22 + 333 + + ... + n ( 111...1) onde (111...1) tem exatamente n dígitos. Desde Já agradeço!!!
Re: [obm-l] Soma !!!
sn=1+(2+n)(n-1)/2+10(2+n)(n-1)/2+ 100(3+n)(n-2)+1000(4+n)(n-3),,,+10^n(n+n)*(n-(n-1))/2 =1+(2+n)(n-1)/2+1/2soma10^(k-1)(n+k)(n-k+1)= =(n^2+n)/2+1/20 soma10^k(n^2-k^2)+10^k(n+k)= =(n^2+n)/2+1/20((n^2+n)soma10^k-1/20soma10^k *k^2+1/20somak10^k ) soma a^k=a^2(a^(n-1) -1)/(a-1) derivando em relação a a: soma ka^(k-1)=d(a^(n+1)/(a-1)-a^2/(a-1))/da= = ((n+1)a^n(a-1)-(a^(n+1)))/(a-1)^2-(2a(a-1)-a^2)/(a-1)^2= =a^n/(a-1)^2((n(a-1)-1)) -(a^2-2a)/(a-1)^2 *** fazendo a=10 somak10^k=10(9n-1)(10)^n/81 -800/81 derivando ** em relação a a outra vez ((a^(n+1)+n(n+1)*a^n)(a-1)-na^(n+1))/(a-1)^2 -((n+1)a^n(a-1)^2-a^(n+1)*2(a-1))/(a-1)^4 -((3a^2-4a)(a-1)^2-a^2(a-2)*2(a-1))/(a-1)^4 (1/10)somak^210^k=10^n/81*(9n^2-n+90)-(10^n/9^3)(9n-11)-(10/9^3)*(74)= =(10^n/9^3)(81n^2-18n+821) -740/9^3 somak^2*10^k=(10^(n+1)/9^3)*(81n^2-18n+821)-740/9^3 sn=(n^2+n)/2+1/2((n^2+n)(1/9)(10^n-10)-(1/2)(10^(n)/9^3)*(81n^2-18n+821)+37/9^3+ + 1/2((9n-1)(10)^n/81 -80/81)) 2008/4/8 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Engalhei na seguinte soma: Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11 + 111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo assim ainda não saiu! S_n = 1 + 22 + 333 + + ... + n ( 111...1) onde (111...1) tem exatamente n dígitos. Desde Já agradeço!!!
[obm-l] [OFF} E-mail de contado IMPA
Alguem teria o e-mail de contato do IMPA para me passar por favor? Muito Obrigado - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] RES: [obm-l] geometria olimpíada
Boa Noite! Não consegui compreender direito de onde veio a relação na primeira linha nem como se sucedeu o passo da segunda para a terceira linha. Peço por favor se alguém pode me explicar. Muito Obrigado. JG De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de saulo nilson Enviada em: terça-feira, 8 de abril de 2008 22:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] geometria olimpíada tagx/2=rq2-1=rq(1-cosx)/(1+cosx) (1-w)/(1+w)=2-2rq2+1=3-2rq2 3-2rq2-1=-w(4-2rq2) w=-(1-rq2)/(2-rq2)=-(2+rq2-2rq2-2)/2=rq2/2 x=45º 2008/4/8 João Gabriel Preturlan HYPERLINK mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]: Saudações! Gostaria que vocês me ajudassem neste problema. Se as retas r e s são paralelas e distam L entre si e o quadrado ABCD tem lado L também, prove que o ângulo SÔR tem 45 graus. cid:image001.png@01C8.99F2A080 Agradeço muito pela ajuda. JG. No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.519 / Virus Database: 269.22.10/1366 - Release Date: 08/04/2008 17:03 No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.519 / Virus Database: 269.22.10/1366 - Release Date: 08/04/2008 17:03 No virus found in this outgoing message. Checked by AVG. Version: 7.5.519 / Virus Database: 269.22.10/1366 - Release Date: 08/04/2008 17:03 image001.png
